Сумма первых n членов ряда

[reformator]

Сумма первых $n$ членов ряда

$7+77+777+7777+...$

А как ее найти? Вот мои соображения:

Перепишем сумму в виде:

$7\cdot 10^0+7(1+ 10^1)+7(1+10^1+10^2)+...+ 7(1+10^1+10^2+10^{n-1})$

Перепишем сумму в виде:

$7\Big(n+10(n-1)+10^2(n-2)+...+10^{n-1}\Big)$

А что можно сделать дальше?

[arseniiv]

Может, для $n + 10 (n - 1) + 10^2 (n - 2) + \ldots + 10^{n-1}$ можно написать рекуррентное уравнение? (А потом решить.)

[kiyanyn]

reformator в сообщении #514478 писал(а):

А что можно сделать дальше?

Ее можно записать в виде

$\sum_{i=1}^n(7\sum_{j=1}^i10^{j-1})$

Сумма в скобках легко находится (как геометрическая прогрессия) - $7(10^i-1)\over 9$.
Дальше точно так же получаем окончательный ответ -

${7\over 81}(10^{1+n}-9n-10)$

Вроде бы так...

[Legioner93]

Можно так:
$n+10(n-1)+100(n-2)+\cdots10^{n-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(n-k)10^k$. Раскрываете скобки, получаете две суммы. Первая - геометрическая прогрессия, теперь по поводу второй.

$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}k x^k$$

$$\frac{f(x)}{x}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}k x^{k-1}$$

$$\int \frac{f(x)dx}{x}= \sum\limits_{k=0}^{n-1}x^{k}$$

[reformator]

kiyanyn в сообщении #514497 писал(а):

Ее можно записать в виде

$\sum_{i=1}^n(7\sum_{j=1}^i10^{j-1})$

Спасибо!!! А можно как-то проще, без "вложенных" сумм?)

-- 11.12.2011, 22:32 --

arseniiv в сообщении #514494 писал(а):

Может, для $n + 10 (n - 1) + 10^2 (n - 2) + \ldots + 10^{n-1}$ можно написать рекуррентное уравнение? (А потом решить.)

Вы имели ввиду что-то в этом духе? Вроде как не очень вас понял.

$S_1=10 (n - 1)$

$S_2= 10^2 (n - 2)+ 10^1 (n - 1)$

.....

$S_n=10^2 (n - 2)+ 10^1 (n - 1)+...10^{n-1}$

$S_n-S_{n-1}=10^{n-1}$

-- 11.12.2011, 22:37 --

Legioner93 в сообщении #514498 писал(а):

$$\int \frac{f(x)dx}{x}= \sum\limits_{k=0}^{n-1}x^{k}$$

Спасибо! А можно ли школьными методами решить эту задачу?))

[arseniiv]

reformator в сообщении #514507 писал(а):

$S_n-S_{n-1}=10^{n-1}$

Неправильно. Но имел в виду такое.

reformator в сообщении #514507 писал(а):

Спасибо, но можно как-то проще, без "вложенных" сумм?)

Так там же просто получается! kiyanyn же сразу свёл к одному знаку суммы.

-- Пн дек 12, 2011 01:47:07 --

Кстати, $1 + 11 + 111 + \ldots = \frac19 \left(9 + 99 + 999 + \ldots \right) =$$\frac19 \left(10 - 1 + 100 - 1 + 1000 - 1 + \ldots \right) = \frac 19 \left( -n + 10 + 100 + 1000 + \ldots \right)$. Собственно, то же самое уже приведено выше в других видах. Может, это представление вам понравится больше.

[Legioner93]

reformator
Я суммировал такие вещи в 10 классе. Что конкретно из написанного мной не умеют делать школьники старших классов? Здесь не нужны никакие теоремы о сходимости, как при интегрировании бесконечных рядов. Здесь я просто беру интеграл $\int k x^{k-1} dx$. Это не проходят в школах теперь? А в каком вы классе?
Кстати, если будете решать моим методом, не забудьте добавить там константу. Ну она всё равно потом уберется.

[reformator]

arseniiv в сообщении #514514 писал(а):

reformator в сообщении #514507 писал(а):

$S_n-S_{n-1}=10^{n-1}$

Неправильно. Но имел в виду такое.

А почему неправильно?

$S_n=10^1 (n - 1)+10^2 (n - 2) +...+10^{n-2}\cdot 2+ 10^{n-1}$

$S_{n-1}=10^1 (n - 1)+ 10^2 (n - 2)+...+10^{n-2}\cdot 2$

$$S_n-S_{n-1}=\Big(10^1 (n - 1)+10^2 (n - 2) +...+10^{n-2}\cdot 2+ 10^{n-1} + 10^{n-1}\Big) - \Big(10^1 (n - 1)+ 10^2 (n - 2)+...+10^{n-2}\cdot 2\Big)=10^{n-1}$$

$$=10^{n-1}$$

-- 11.12.2011, 22:58 --

arseniiv в сообщении #514514 писал(а):

Кстати, $1 + 11 + 111 + \ldots = \frac19 \left(9 + 99 + 999 + \ldots \right) =$$\frac19 \left(10 - 1 + 100 - 1 + 1000 - 1 + \ldots \right) = \frac 19 \left( -n + 10 + 100 + 1000 + \ldots \right)$. Собственно, то же самое уже приведено выше в других видах. Может, это представление вам понравится больше.

Да, так нагляднее, спасибо! Довел до ответа, попробую другими способами!

[arseniiv]

reformator в сообщении #514525 писал(а):

А почему неправильно?

Вы гляньте на суммы $1 + 11 + 111$ и $1 + 11 + 111 + 1111$. Они что, на $1000$ отличаются?

[reformator]

Legioner93 в сообщении #514519 писал(а):

reformator
Я суммировал такие вещи в 10 классе. Что конкретно из написанного мной не умеют делать школьники старших классов? Здесь не нужны никакие теоремы о сходимости, как при интегрировании бесконечных рядов. Здесь я просто беру интеграл $\int k x^{k-1} dx$. Это не проходят в школах теперь? А в каком вы классе?
Кстати, если будете решать моим методом, не забудьте добавить там константу. Ну она всё равно потом уберется.

Все хорошо, интегралы знаю как брать=) $\int k x^{k-1} dx=x^k+C$ Просто вы способ очень нестандартный придумали... Интересно)

-- 11.12.2011, 23:03 --

arseniiv в сообщении #514528 писал(а):

Вы гляньте на суммы $1 + 11 + 111$ и $1 + 11 + 111 + 1111$. Они что, на $1000$ отличаются?

На 1111, ок подумаю -- в чем дело!

-- 11.12.2011, 23:15 --

Legioner93

Тогда я попробую еще раз понять ваш способ!

$n+10(n-1)+100(n-2)+\cdots10^{n-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(n-k)10^k=n\sum\limits_{k=0}^{n-1}10^k-\sum\limits_{k=0}^{n-1}k10^k$

$\sum\limits_{k=0}^{n-1}10^k=\dfrac{10^{n}-1}{10-1}=\dfrac{10^{n}-1}{9}$

$f(n)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}k10^k$

Цитата:

$$\int \frac{f(x)dx}{x}= \sum\limits_{k=0}^{n-1}x^{k}$$

А чем нам это поможет?!

[kiyanyn]

reformator в сообщении #514507 писал(а):

kiyanyn в сообщении #514497 писал(а):

Ее можно записать в виде

$\sum_{i=1}^n(7\sum_{j=1}^i10^{j-1})$

Спасибо!!! А можно как-то проще, без "вложенных" сумм?)

...
Спасибо! А можно ли школьными методами решить эту задачу?))

Вот эта "вложенная сумма" и есть школьное решение задачи: две геометрические прогрессии. На мой взгляд, еще проще - уже некуда

[reformator]

kiyanyn в сообщении #514537 писал(а):

Вот эта "вложенная сумма" и есть школьное решение задачи: две геометрические прогрессии. На мой взгляд, еще проще - уже некуда

Да, действительно, оказалось просто, сначала я стормозил!

Вы записали просто, кратко и изящно, спасибо!

(Оффтоп)

-- 11.12.2011, 23:41 --

А, кажется я понял зачем интегрировать!

$\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^{k}=\dfrac{10^n}{9}$

$\sum\limits_{k=0}^{n-1}kx^{k-1}=\Big(\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^{k}\Big)'=\Big(\dfrac{10^n}{9}\Big)'=\dfrac{10^n\cdot \ln {10}}{9}$

Тут еще логарифм вылез, видимо я неправильно понял)

[Legioner93]

reformator
Вот смотрите.
Мы с вами хотим посчитать $\sum\limits_{k=0}^{n-1}k 10^k$. Немного обобщим задачу. Посчитаем $\sum\limits_{k=0}^{n-1}k x^k$. Обозначим эту сумму как функцию $f(x)$. Тогда $f(10)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}k 10^k$.
Проделаем несколько манипуляций с функцией. Сначала разделим её на $x$ (дальше будет понятно, зачем).

$$\frac{f(x)}{x}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}k x^{k-1}$$

Теперь второй пункт. Проинтегрируем левую и правую часть.

$$\int\frac{f(x)dx}{x}=\int \left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}k x^{k-1}\right)dx=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\int k x^{k-1}dx\right)$$

Интеграл суммы равен сумме интегралов, это вы знаете. В свою очередь

$$\int k x^{k-1}dx=x^k+C$$

Получаем

$$\int\frac{f(x)dx}{x}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(x^k+C)=\frac{x^n-1}{x-1}+nC$$

Зачем мы всё это делали? Да чтобы избавиться от знака суммы. Продифференцируем обе части равенства. Интеграл слева превратится в просто функцию, а производную от дроби вы брать умеете. Производная от $nC$ нуль.

$$\frac{f(x)}{x}=\left(\frac{x^n-1}{x-1}\right)'+(nC)'=\frac{nx^n-nx^{n-1}-x^n+1}{(x-1)^2}$$

$$f(x)=\frac{nx^{n+1}-nx^{n}-x^{n+1}+x}{(x-1)^2}$$

.
Вот мы и вычислили функцию $f(x)$Теперь просто подставляем вместо $x$ десятку.

$$f(10)=\frac{n10^{n+1}-n 10^{n}-10^{n+1}+10}{(10-1)^2}$$

Это выражение можно немного упростить и тогда вы получите верный ответ (наверное).
Ну как, разобрались?

[reformator]

Да, разобрался, спасибо!

[Sonic86]

Добавлю также, что нахождение сумм типа $\sum\limits_{k=1}^n P(k)a^k$ есть в книге Кнута Грэхема Паташника Конкретная математика.