Поиск оптимального управления

[satanastya]

Здравствуйте. Ищу помощи в решении задачи:
Формализованная постановка задачи об оптимизации ставки налога на прибыль
будет иметь вид:

Переменные состояния: $x_1 $, $x_2 $, $x_3 $, $x_4 $
Переменные управления: $v(t)$
Уравнения процесса:
$\frac{dx_1 }{dt} = \mu (1 - v)(x_3 ^\gamma x_4 ^{1 - \gamma } \cdot x_1^{1 -\gamma } - x_1 ) - x_1 ;$
$\frac{dx_2 }{dt} = e^{ - \delta t}(x_3 ^\gamma x_4 ^{1 - \gamma } \cdot x_1^{1 - \gamma } - x_1 )v;$
$\frac{dx_3 }{dt} = b^{ - 1}(1 - v)(1 - \alpha )(1 - u)\upsilon - \chi x_3 ;$
$\frac{dx_4 }{dt} = nx_4 .$
Начальные значения:
$x_1 (0)$ =$x_{1}_{0}$,
$x_2 (0)$ =$x_{2}_{0}$,
$x_3 (0)$ =$x_{3}_{0}$,
$x_4 (0)$ =$x_{4}_{0}$,
$t \in [0,T]$.
Ограничения на фазовые переменные:
$x_1 > 0,x_2 > 0,x_3 > 0,x_4 > 0$
Ограничение на управление:
$0 \le v(t) \le v_{\max }$
Целевая функция: $x_2 \to \max $
Параметры:
$\mu ,\delta ,b,\alpha ,u,\upsilon ,\chi ,n,\gamma $
Значения параметров являются постоянными.

Хотелось бы получить численно-аналитическое или численное решение.
В маткаде не получилось: для простенького примера все считается, а при подстановке нужных формул возникает ошибка в одной из функций.
Одно численное решение уже было найдено с помощью пакета OptCon. Но нужно сравнить с другим результатом.
Так же есть в распоряжении пакет Tomp, но как сделать для него постановку - непонятно.

[AD]

Тема перемещена в карантин.
Оформите формулы в $\TeX$е. Введение здесь.
Для редактирования своих сообщений воспользуйтесь кнопкой .
Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

[zhoraster]

Возвращено.

[mserg]

Для расчтетов нужны значения численные значения параметров:
$\mu ,\delta ,b,\alpha ,u,\upsilon ,\chi ,n,\gamma, x_{1}_{0},x_{2}_{0},x_{3}_{0},x_{4}_{0}, T, v_\max $

[satanastya]

Численные значения параметров:
$x_1 (0) = 0,214, $x_2 (0) = 0,0023, x_3 (0) = 0,087, x_4 (0) = 0,200$;
$\mu =0,4, \delta=0,0649, b=0,6, \alpha =0,2, u=0,36, \upsilon =0,450, $
\chi=0,03, n=0,165, \gamma =0,4$;
$T = 15$;
$0,6 \le v(t)\le v_{\max }, где v_{\max } = 2,4$.

[mserg]

Ни в одном уравнении не вижу искомую управляющую функцию $v(t)$. Т.е. получается, что управление ни как не участвует в модели.
За то фигурирует нечто $v$, но оно, согласно описанию - есть константа.

[satanastya]

Это Тех так отобразил похоже две разные буквы. Константа используется только в третьем уравнении (множитель за скобкой).
На вот этом рисунке вроде заметна разница:

[mserg]

В скане есть константа 2,4, а Tex-варианте ее нет.
Чему верить?
Лучше бы все выверить, и значения констант в особенности.
Пока моя программа говорит, что система не имеет решения.

[mserg]

Есть еще различие со сканом - это ограничение управляющей функции $v(t)$ значением 0.6
Это ограничение загоняет $x_2$ в минус на начальном интервале времени - и система не имеет решения.

[satanastya]

Вот так должно быть:

satanastya в сообщении #486459 писал(а):

Уравнения процесса:
$\frac{dx_1 }{dt} = \mu (2,4 - v)(x_3 ^\gamma x_4 ^{1 - \gamma } \cdot x_1^{1 -\gamma } - x_1 ) - x_1 ;$
$\frac{dx_2 }{dt} = e^{ - \delta t}(x_3 ^\gamma x_4 ^{1 - \gamma } \cdot x_1^{1 - \gamma } - x_1 )v;$
$\frac{dx_3 }{dt} = b^{ - 1}(2,4 - v)(1 - \alpha )(1 - u)\upsilon - \chi x_3 ;$
$\frac{dx_4 }{dt} = nx_4 .$


Ограничение на управление:
$0,6 \le v(t) \le 2,4 $

А что делать с ограничениями я даже не знаю. Когда решала другим пакетом, то там ограничивала штрафами. И Через пару шагов $x_2$ становилось положительным.

[mserg]

Тогда нужны результаты расчета этим пакетом, т.е. массив полученных значений $x_1(t),x_2(t),x_3(t),x_4(t),v(t)$. Лучше в каком-нибудь текстовом виде или Excel.
Я смогу подставить их в свою модель и увидеть невязки уравнений. Это и покажет разницу в моделях.

[satanastya]

Ссылка на документ с результатами: https://docs.google.com/spreadsheet/pub?hl=en_US&hl=en_US&key=0AkYeQ7TbmeiGdFp6UklXTVdTOTBDQjEyS1ZtVUdaaHc&single=true&gid=0&output=html

[mserg]

Сразу видны две проблемы:
* Отрицательные значения $x_2(t)$, что противоречит условиям задачи
* Управление выходит за рамки - достигает 2.5 вместо разрешенных 2.4

С высокой вероятностью можно утверждать, что задача не имеет решения. Quick NP с помощью интервального анализа доказывает, что задача противоречива - но это с точностью до аппроксимации производных.

Поэтому нужно что-то делать или с моделью, или с параметрами, или с начальными условиям. Для примера, если снять ограничение на управления снизу (т.е 0 вместо 0.6), то задача решается.

[satanastya]

Можно попробовать снять ограничение с переменных состояния. А потом с управления.

[mserg]

У переменных состояния наверняка есть некоторый экономический смысл. Снятие с них требования неотрицательности вызывает у меня в душе внутренний протест. Я бы начал с начальных условий и функции управления. Но, не суть.

Чтобы было что сравнивать, расчеты нужно делать для одинаковых моделей, параметров и начальных условий. Посчитаете – нужно будет выложить все данные.