параметризация поверхности второго порядка

[carryEx]

не подскажите как параметризуются поверхности второго порядка? Например эта:

$4{x^2} - 9{y^2} + 4{z^2} = 16$

[gris]

$x=u$

$y=v$

$z=\pm\sqrt{4-u^2+2,25v^2}$

Или нет? Ну там добавить что-нибудь про область изменения...

Ну это как пример. Их же много, параметризаций. А вообще её делают в окрестности конкретной точки для решения конкретной задачи.
В Александрове этому много страниц посвящено.

[carryEx]

все на столько просто?) спасибо

[nnosipov]

Здесь можно переписать уравнение в виде $x^2+z^2=\frac{9y^2+16}{4}$ и параметризовать уравнение окружности, считая $y$ параметром. В итоге получится некоторая рациональная параметризация исходной поверхности.

[carryEx]

gris в сообщении #482191 писал(а):

$x=u$

$y=v$

$z=\pm\sqrt{4-u^2+2,25v^2}$

Или нет? Ну там добавить что-нибудь про область изменения...

Ну это как пример. Их же много, параметризаций. А вообще её делают в окрестности конкретной точки для решения конкретной задачи.
В Александрове этому много страниц посвящено.

А. Д. Александров, “Об основах дифференциальной геометрии и их изложении”?

[gris]

Ну для второго порядка чуть пораньше — в линейной алгебре и аналитической геометрии. Там есть теория поверхностей именно второго порядка. Вообще это очень широкая постановка вопроса.
Идея в том, чтобы для задания поверхности использовать две независимые переменные, а не три, или три, но такие, что некоторые формулы в них упрощаются, интегралы беруться и т.п. Способ параметризации зависит от целей и области применения этих поверхностей.
Например, при моделировании какого-нибудь мембранного процесса удобно провести касательную плоскость к середине мембраны в спокойном состоянии и ввести на ней декартовы координаты, а поверхность описывать величиной отклонения. В симметричном случае это будут координаты вроде цилиндрических. При параметризации эллипсоида в окрестности вершины удобны сферические координаты.

Я детектировал появление в теме Великого Параметризатора кривых и поверхностей, а посему скромно умолкаю

[Алексей К.]

gris хороший человек, но предложенная им в самом начале параметризация, по-моему, самая нехорошая. Ну что это за параметризация, с $\pm\sqrt{\ldots}\;?$
С этим тоже трудно согласиться:

gris в сообщении #482191 писал(а):

А вообще её делают в окрестности конкретной точки для решения конкретной задачи.

А ну как мы такое про окружность напишем?

Поверхности второго порядка, как и кривые второго порядка, должны иметь канонические параметризации. Просто для кривых их пишут во всех справочниках, а для поверхностей — ленятся.
Но мы с Корнами не поленились: они написали, а я нашёл: пункт 3.5-10, маленькими буковками.

[gris]

Прав был Козьма Прутков: "Смотри в Корне!"

[Алексей К.]

carryEx в сообщении #482190 писал(а):

$4{x^2} - 9{y^2} + 4{z^2} = 16$

А здесь должно быть совсем просто. У Вас $X^2+Z^2-Y^2=1$, $X=\frac12 x$, $Y=\frac34y$, $Z=\frac12 z$.
$X^2+Z^2=\ch^2u$, $Y=\sh u$, т.е.

$$X=\ch u\cos v,\quad Z=\ch u\sin v,\quad Y=\sh u.$$

Чудится мне, что я впервые в жизни отпараметризовал поверхность...

[carryEx]

большое вам спасибо)

[Алексей К.]

Пожалуйста. Не забывайте о возможности перейти к тангенсам (для синуса-косинуса) и танхенсам (для шинуса и чосинуса) половинных углов и получить тем самым рациональную параметризацию, если надобно.

[carryEx]

а не могли бы еще посоветовать задачник в котором есть примеры с решениями по дифференциальной геометрии?

[Алексей К.]

Я не могу: не знаю.

[eugrita]

как ни странно этот вопрос - не частного характера.
Если есть удачные параметризации поверхности ее легко строить в математических пакетах,
например в Матлабе с помощью meshgrid
грубо говоря, для плоских эллипсов-гипербол параметризация очевидна
$x=a\cos(\varphi), y=b\sin(\varphi)$ - эллипс
$x=a\ch(\varphi), y=b\sh(\varphi)$ - гипербола

Для поверхностей 2 порядка в случае положительных собственных чисел (эллипсоид)
$\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2 +\lambda_3y_3^2=d^2 $
удобно перейти к углам Эйлера
$ y_1=\frac{d}{\sqrt\lambda_1}\sin(\theta)\cos(\varphi)$
$ y_2=\frac{d}{\sqrt\lambda_2}\sin(\theta)\sin(\varphi)$
$ y_3=\frac{d}{\sqrt\lambda_3}\cos(\theta)$
Правда для перехода к исходным координатам в окончательной параметризации надо знать ортогональную матрицу поворота С для приведения формы к каноническому виду. но в матем. пакетах нет проблемы ее получить.
Матрица поворота - это нормированная и транспонированная матрица собственных векторов,
которую в матлаб вычислит функция eig (или даже есть не помню что), что вычислит окончательный вариант, включая нормировку)

[Алексей К.]

eugrita в сообщении #550138 писал(а):

удобно перейти к углам Эйлера

Замечу (даже не лазя в справочник за воспоминанием об углах Эйлера), что вышеиспользованные $\theta$ и $\varphi$ не могут быть углами Эйлера, поскольку это в натуре не углы. Так, один из них когда-то был полярным углом (в плоскости XY), но после того, как бывшую сферу сплюснули в нынешний эллипсоид, он перестал быть таковым, и остался просто параметром. "Бывшим углом".