Пересечение открытых множеств

[mirh]

Лемма:
Пересечение конечного числа отрытых множеств-открыто.
Объединение конечного числа замкнутых множеств-замкнуто.

Почему именно конечного числа? Например, рассмотрим шар $B(y,r)$,
где $r>0$-открытые множества. Рассмотрим $F=\bigcap \limits_{r>0} B(y,r)=\lbrace y\rbrace$ Получили точку-не открытое множество. Но ведь если рассмотеть и конечное число $B(y,r)$, все равно при пересечении получится точка.

[chessar]

Потому, что есть контрпримеры, например Канторово множество, может быть представлено как пересечение счетного числа открытых множеств, но само оно является замкнутым.
А вы почему-то взяли один только пример с шарами, тогда уж попробуйте доказать, что для любой совокупности (в том числе и бесконечной) открытых множеств, их пересечение открыто.
Также и со 2-ым утверждением леммы, можно указать контрпример, т.е. такую бесконечную совокупность замкнутых множеств, что их объединение не замкнуто.

[Gortaur]

mirh
Наиболее популярные примеры:

$$ \bigcap_n \left(0-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right) = [0,1] $$

и

$$ \bigcup_n \left[0+\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}\right]= (0,1). $$

[Jnrty]

mirh в сообщении #460980 писал(а):

Но ведь если рассмотеть и конечное число $B(y,r)$, все равно при пересечении получится точка.

Это интересно. Ну покажите нам конечное число открытых шаров, пересечение которых не открыто. Например, на плоскости или на прямой.

[mirh]

Два шарика с общим центром

[Gortaur]

mirh
Тогда один из них лежит в другом и их пересечение является одним из этих щаров.

[mirh]

Почему тогда пересечение бесконечного числа шаров с одним центром-точка, а пересечение конечного числа шаров не точка?

[Gortaur]

А? Вы чем недовольны-то? Пересечение конечного числа шаров - открытое множество (т.к. они открыты и берется конечное пересечение). Это не значит, что бесконечное пересечение не может быть точкой. Собственно, в этом и есть суть утверждения: конечное пересечение открытых множество открыто, бесконечное - не обязательно.

[AD]

mirh в сообщении #461094 писал(а):

Почему тогда пересечение бесконечного числа шаров с одним центром-точка, а пересечение конечного числа шаров не точка?

Вы вообще знаете, что такое пересечение? Сформулируйте здесь, чтобы мы убедились.

[Alexander24]

Ищу доказательство этой теоремы - про то, что получается в результате счетных или конечных пересечений замкнутых или открытых множеств. Подскажите, где найти?

[apriv]

Alexander24 в сообщении #594850 писал(а):

Ищу доказательство этой теоремы - про то, что получается в результате счетных или конечных пересечений замкнутых или открытых множеств. Подскажите, где найти?

В определение открытых множеств входит утверждение о том, что объединение произвольного набора открытых множеств открыто. Если Вы имеете в виду какое-то другое определение открытых множеств — поясните, какое именно.

[Alexander24]

Я имел ввиду определение открытых множеств в пространстве R^n, что если точка принадлежит множеству, то принадлежит и с некоторой своей окрестностью. Я уже нашел, в Зориче.