Доказательство неравенства

[Ramos08]

Доказать, что если $f(x)$ непрерывно дифференцируема и $f(1)-f(0)=1$, то

$$\int\limits_0^1 (f ' (x))^2\,dx \ge 1$$

Есть некоторая наработка, необходимо проверить правильность:
Введем функцию $g(x)=f(x)-x-f(0)\quad \Longrightarrow\quad f(x)=g(x)+x+f(0)$

$g(0)=f(0)-0-f(0)=0$;
$g(1)=f(1)-1-f(0)=0$

$$\int\limits_0^1 (f ' (x))^2\,dx = \int\limits_0^1 (1+g ' (x))^2\,dx = \int\limits_0^1 (1)\,dx + 2\int\limits_0^1 (g ' (x))\,dx + \int\limits_0^1 (g ' (x))^2\,dx = 1 + 2\,g(x)\,\bigg|_0^1,dx + \int\limits_0^1 (g ' (x))^2\,dx$$

$$ = 1 + 2(0-0) + \int\limits_0^1 (g ' (x))^2\,dx = 1+\int\limits_0^1(g'(x))^2\,dx \ge1 =>$$

$$=> \int\limits_0^1 (f ' (x))^2\,dx \ge 1$$

[AKM]

Пожалуйста, исправьте написание формул в соответствии с Правилами.
Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин.
Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

[AKM]

ВСЕ формулы следует набирать в Латехе.
Исправил, вернул.

[мат-ламер]

Может попробовать свести к задаче вариационного исчисления?

[ИСН]

Нафига? И так же всё получилось хорошо.

[мат-ламер]

ИСН в сообщении #446854 писал(а):

Нафига? И так же всё получилось хорошо.

Извиняюсь. Я бегло прочёл условие и сделал неверный вывод, что если человек задаёт вопрос, значит ничего не получается. Оказывается не всегда так.

-- Вт май 17, 2011 21:26:04 --

Причём уравнение Эйлера-Лагранжа даёт только необходимое условие оптимальности. А достаточность проще всего доказать как в первом посту у топикстартера.

[Ramos08]

В условии не дописал, что f(x) непрер.дифф. на отрезке [0;1], будет ли введенная функция g(x) также непрер. диф. на этом отрезке?

[ewert]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #446882 писал(а):

Я бегло прочёл условие и сделал неверный вывод, что если человек задаёт вопрос, значит ничего не получается.

Я, кстати, ровно так же. Сперва не вчитался в набор значков (ибо лень), и предложил выход из положения. А потом, поняв, что автор приблизительно ровно то же и предлагает -- стёр.