Приливы

[anik]

Вот здесь http://www.prosovet4ik.ru/news/detail.php?ID=1107 прочитал объяснение приливов и отливов. Это "объяснение" мало что объясняет. Предлагаю на обсуждение свою версию.
Земля и Луна вращаются вокруг их общего центра масс. Сидерический период (относительно неподвижных звёзд) 27,322 суток. Угловая скорость этого вращения такова, что гравитационные силы взаимодействия, действующие на Землю и Луну, уравновешены центробежными силами инерции.
Предположим временно для простоты рассуждений, что Земля, так же как и Луна, всегда повернута к Луне одной стороной. В этом случае приливная волна не будет перемещаться по поверхности Земли.
Проведём через центры масс Луны и Земли прямую линию и рассмотрим точки Земли, лежащие на этой прямой. Точки этой прямой вращаются с одной и той же угловой скоростью относительно ц.м. Земля – Луна, а расстояния от этих точек до центра вращения различные. Для ближайшей к Луне точки Земли центробежная сила минимальна, а сила тяготения максимальна. Для точки, наиболее удалённой от Луны наоборот, центробежная сила максимальна, а сила притяжения к луне минимальна. Равенство центробежных и гравитационных сил соблюдается только для точек лежащих вблизи ц.м. Земли. Таким образом, наличие горба приливной волны обращённой к Луне обусловлено превышением сил тяготения над центробежными силами, а наличие горба приливной волны с обратной стороны, наоборот, превышением центробежных сил над гравитационными.
Теперь на эту картину можно наложить суточное вращение Земли. К рассмотренным силам добавятся центробежные силы, обусловленные вращением Земли вокруг собственной оси (по принципу суперпозиции), а приливная волна «побежит» по Земле.
Хотелось бы услышать мнение форумчан по этому поводу.

[gris]

Недавно обсуждалась задача Арнольда про приливы.
"В некотором месте произошёл прилив в 12 часов дня. Во сколько он произойдёт на следующий день?"
Задача для младших школьников. Но сам Арнольд в шутку говорил, что эти задачи школьниками щёлкаются, как орешки, а академиков повергают в мучительные размышления. Наивные люди полагают, что он имел в виду тугодумие академиков. Ан нет.
Младший школьник справедливо полагает, что приливы связаны с Луной и предствляют собой просто вздутие воды от притяжения к Луне. Поэтому следующий прилив произойдёт примерно в то же время.
Потом он замечает, что Луна появляется в том же месте на следующие сутки попозже. Потом он узнаёт о приливном горбе с другой стороны Земли. Потом он узнаёт, что Солнце тоже создаёт приливной горб. Потом он узнаёт о силе Кориолиса, приливном потенциале и прочих прочих прочих факторах.
Он повергается в мучительные размышления, поступает на геофак и пишет ещё одну толстую книжку про приливы.

А Ваши рассуждения очень остроумны.
Аналогичные рассуждения можно провести, сравнивая силы притяжения тела на поверхности Земли к собственно Земле и к Луне. И тоже получим два гоба.

[anik]

На земле лежит кирпич. Он притягивается к Земле к Луне, а также к Солнцу и другим планетам. В наибольшей степени он притягивается к Земле. Какие горбы могут быть у твёрдого тела, лежащего на поверхности Земли?

[gris]

Я имел в виду два горба на водной поверхности всей Земли, конечно. А под телом понимал просто некую единичную массу, помещаемую в разные точки на поверхности Земли просто для расчёта потенциала.
Вы делаете то же самое, насколько я понял.

[obar]

Этим рассуждениям не сложно дать математическое описание.

Форму поверхности воды можно приближенно расчитать так. Поверхность воды - эквипотенциальная поверхность. Потенциал состоит из двух составляющих - гравитационного и центробежного и имеет вид (суточным вращением Земли пренебрегаем)

$$ \varphi=\varphi_G+\varphi_c; $$

$$ \varphi_G=G\left(\frac{M}{r}+\frac{m}{L-r\cos\theta}\right); $$

$$ \varphi_c=\frac{\omega^2\rho^2}{2}=G\frac{M+m}{2L^3}\rho^2 $$

где $M$ и $m$ - масса Земли и Луны, $L$ - расстояние между ними, $r$ - расстояние от центра Земли до некоторой точки поверхности воды, $\theta$ - угол между $r$ и $L$, $\rho$ - расстояние от центра масс до рассматриваемой точки на поверхности. Центр масс находится на расстоянии $mL/(M+m)$ от центра Земли. Собирая все вместе, получаем следующее уравнение эквипотенциальной поверхности

$$ \varphi=const\quad\Rightarrow\quad \frac{M}{r}+\frac{mr^2\cos^2\theta}{L^3}=const. $$

Как видно, в ведущем приближении эта поверхность симметрична относительно замены $\theta\rightarrow\pi-\theta$, т.е. оба приливных горба одинаковы. Вращение Земли искажает эту картину. Для высоты прилива получается значение

$$ \frac{\Delta R}{R}=\frac{m}{M}\left(\frac{R}{L}\right)^3\approx 0.4m $$

[anik]

Уважаемый obar!

Я вообще-то не задавался целью расчётов зависимости высоты прилива от различных факторов, просто хотелось найти разумное с точки зрения механики объяснение наличия приливного горба на стороне Земли, противоположной Луне.
С Вашими расчётами я ознакомился и вполне удовлетворён. У меня получилось несколько меньшее значение - 0,36м, но если округлить, то 0,4м. Эти расчёты, по крайней мере, не противоречат идее.
Благодарю за содействие.

[Munin]

anik в сообщении #445829 писал(а):

просто хотелось найти разумное с точки зрения механики объяснение наличия приливного горба на стороне Земли, противоположной Луне.

Можно было просто взять вторую производную от ньютоновского потенциала.

[kolas]

anik в сообщении #445641 писал(а):

Предлагаю на обсуждение свою версию.

В фейнмановских лекциях по физике такая-же версия.

[Munin]

Да это не версия вообще. Это рассуждения по правильному пути, очень странно, что самостоятельные, потому что это везде написано.

[anik]

Скачал Фейнмановский курс лекций. В 1 томе стр. 128-129 прочитал по поводу приливов то же самое, почти слово в слово. Выходит, что я заново "открыл Америку". Порой бывает быстрее додуматься самому, чем найти в море информации то что нужно. Но всё это слабое оправдание для меня.
Возникает только недоумение: почему столь простое объяснение не пользуется популярностью.
Спасибо kolas за поиск информации, который мне нужно было бы провести самому.

[Munin]

anik в сообщении #446440 писал(а):

Возникает только недоумение: почему столь простое объяснение не пользуется популярностью.

Потому что вообще физика не пользуется популярностью. Любой, кто прослушал начальный курс механики, если там хоть чуть-чуть затрагивалась ньютоновская гравитация, об этом объяснении в курсе. Это гораздо проще, чем вычислять кеплеровские орбиты.

[Morkonwen]

Munin в сообщении #446458 писал(а):

Это гораздо проще, чем вычислять кеплеровские орбиты.

Или их приецессии.

Или тот факт, что горбы существенно отстают от луны!

[Morkonwen]

Munin в сообщении #445890 писал(а):

anik в сообщении #445829 писал(а):

просто хотелось найти разумное с точки зрения механики объяснение наличия приливного горба на стороне Земли, противоположной Луне.

Можно было просто взять вторую производную от ньютоновского потенциала.

Лапласиан или какую вы имеете ввиду?

[Munin]

Morkonwen в сообщении #446610 писал(а):

Лапласиан или какую вы имеете ввиду?

Вообще лапласиан, но для понимания второго горба - достаточно частную по радиусу.

[kolas]

anik в сообщении #446440 писал(а):

Выходит, что я заново "открыл Америку".

Но согласитесь, это все-равно приятное чувство