Вопрос по статье о финслеровых углах

[В.О.]

Time в сообщении #440539 писал(а):

В форумных баталиях я обычно поступаю с оппонентами ровно так, как они позволяют себе вести со мной. Попробуйте сами быть более корректным, за мной дело не заржавеет.

Позвольте усомниться в Ваших словах, уважаемый Time. Вот с чего началось наше "общение"

В.О. в сообщении #418621 писал(а):

Time, Вы как божество, спустившееся с небес и вмешавшееся в человеческие дела. Сказали нечто невыразимо прекрасное, но абсолютно недоступное для простых смертных.

Мне действительно, было очень интересно, пока не разобрался. Я благоговел перед Вашими С+ С и Н3. Как же оно превратилось в разбрызгивание навоза хвостом в сторону собеседника? Может как-то подсобрать силы и нажать на кнопку Reset?
Мне вот очень интересно построение физической теории в пространстве Н4. Вы ведь обещаете 50 000 долларов за нечто подобное? Собственно, меня интересует отрицательный результат. За него что-то светит?

[Time]

Someone в сообщении #440553 писал(а):

топология на псевдоевклидовой плоскости точно такая же, как на евклидовой. И то, и другое - двумерное многообразие, гомеоморфное $\mathbb R^2$.

Сразу видно, что Вы мало дел имели с псевдометрическими пространствами. В свое время я консультировался по поводу этой проблемы с, вероятно, самым толковым топологом в нашей стране и получил в качестве объяснений примерно тоже, о чем пишет своим собеседникам AlexDem вот на этой странице:
http://webcache.googleusercontent.com/s ... .google.ru

Если б такие соображения возникали у одного исследователя, их еще можно было бы игнорировать, а так (вместе со мной) их уже трое.

Цитата:

Просто на этих плоскостях есть дополнительные структуры: структуры алгебры над полем действительных чисел (отличающиеся операцией умножения) и квадратичные формы (в евклидовом случае - положительно определённая, в псевдоевклидовом - знакопеременная).

Просто это выглядит лишь на первый взгляд неспециалиста. Разрешите поинтересоваться, сколько времени и сил Вы посвятили алгебре, геометрии и теории функций двойной переменной? Если Вас это хоть немного озадачит, сообщу, что эти структуры ни чуть не проще, чем их аналоги для комплексной переменной, а в них, что бы стать специалистами, обычно посвящают несколько лет кропотливого изучения.

Цитата:

Квадратичная форма не может помешать нам нарисовать любую кривую на нашей плоскости. Топология могла бы помешать, но она в обоих случаях одинаковая.

Начнем с того, что рисуете Вы не на псевдоевклидовой плоскости, а на евклидовой поверхности листа бумаги. На самой псевдоевклидовой плоскости Вы никаких замкнутых и при этом односвязных кривых, ни нарисовать, ни еще как то построить в принципе не можете. Печально, если это так трудно для понимания..

Цитата:

Я уже писал Вам, что своей безграмотностью Вы компрометируете то, что пытаетесь здесь пропагандировать. С тех пор уже и другие участники форума стали писать Вам то же самое, только другими словами.

Я Вам также писал, что в обсуждаемых вопросах, скорее, безграмотны Вы, хотя и позиционируете себя как математик. Я таковым хоть себя не называю и даже не считаю. Про пропаганду я так же Вам говорил. Все не впрок. Ну нет у меня нужды хоть что-то здесь пропагандировать. Для этого существуют НА НЕСКОЛЬКО ПОРЯДКОВ более эффективные средства. И как человек дела я о них в отличие от Вас прекрасно осведомлен. Если даже такие прописные истины Вы не воспринимаете, о чем вообще можно вести разговор? Вы совсем недавно принимали кажется решение самоустраниться из диалогов со мной? Вот это было совершенно разумное решение. Может будете последовательны хотя бы в этом?

Цитата:

Может быть, Вы уже угомонитесь?

Вы полагаете, что сказали нечто разумное? Или корректное?

[Kallikanzarid]

AlexDem пишет абсолютно правильно, только вот вы, Time, пишете полную ерунду. Интересно, почему?

[Time]

В.О. в сообщении #440570 писал(а):

Мне действительно, было очень интересно, пока не разобрался. Я благоговел перед Вашими С+ С и Н3. Как же оно превратилось в разбрызгивание навоза хвостом в сторону собеседника?

Я хоть и стараюсь платить той же монетой, что мои оппоненты, но до грубостей и пошлости, что Вы написали выше, ни разу не опускался. Вы не просто не воспитаны, B.O., Вы безнадежно не воспитаны.

В.О. в сообщении #440570 писал(а):

Мне вот очень интересно построение физической теории в пространстве Н4. Вы ведь обещаете 50 000 долларов за нечто подобное? Собственно, меня интересует отрицательный результат. За него что-то светит?

Не я обещаю, а фонд развития исследований в области финслеровой геометрии. На счет всего остального читайте внимательно условия премии.

После Ваших многократных и на все лады упоминаний о навозе как то нет желания продолжать сколь ни будь содержательное общение..

-- Вс май 01, 2011 14:03:22 --

Someone

И еще.. Что бы не возникло желания трактовать слова AlexDem как то иначе, чем в смысле, что у евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей РАЗНЫЕ естественные топологии, посмотрите не только указанную выше страницу, но и следующую, в частности, самые последние строчки последнего поста:
http://forum.lebedev.ru/viewtopic.php?f ... 1&start=30

Я это к тому, что существуют разные точки зрения на эту проблему и считать ситуацию совершенно прозрачной и однозначно решенной - нет ровно никаких оснований.
Так что, я погожу "угомоняться"..

[lavex]

Kallikanzarid в сообщении #440550 писал(а):

Вы хоть знаете, что такое топология? :) Хинт: с (псевдо)-римановой метрикой она не связана никак.

Someone в сообщении #440553 писал(а):

Time в сообщении #440539 писал(а):

На псевдоевклидовой плоскости имеются две изотропные прямые, делящие все многообразие на четыре квадранта и принципиальным образом меняющие его топологию по сравнению с топологией евклидовой плоскости.

Уж извините, но топология на псевдоевклидовой плоскости точно такая же, как на евклидовой. И то, и другое - двумерное многообразие, гомеоморфное $\mathbb R^2$. Просто на этих плоскостях есть дополнительные структуры: структуры алгебры над полем действительных чисел (отличающиеся операцией умножения) и квадратичные формы (в евклидовом случае - положительно определённая, в псевдоевклидовом - знакопеременная). Квадратичная форма не может помешать нам нарисовать любую кривую на нашей плоскости. Топология могла бы помешать, но она в обоих случаях одинаковая.

"Высокоумным" критикам. Топологической базой евклидового пространства любой размерности являются открытые шары. Теперь просьба указать, где вы на псевдоевклидовой плоскости вообще шары видели? Псевдоевклидова окружность - четырехсвязное многообразие, Time совершенно правильно указывает на то, что изотропные прямые в корне меняют не только метрику, но и топологию для псевдоевклидовой плоскости. Не может быть на ней евклидовой топологии, поскольку на ней другая база. Разницу между односвязным шаром (евклидовой окружностью) и четырёхсвязным "шаром" (псевдоевклидова гиперболическая окружность) видите или нет?

[В.О.]

Time в сообщении #440574 писал(а):

Вы не просто не воспитаны, B.O., Вы безнадежно не воспитаны.

Это говорит человек, поливавший меня унижениями только на том основании, что я верноподанически не поддакивал ему. Вы не способны обсуждать математику даже на моем минимальном уровне. Вы не способны выдержать мужского разговора. Чувство юмора отсутствует в принципе. О чем с вами говорить?

[Руст]

Цитата:

"Высокоумным" критикам. Топологической базой евклидового пространства любой размерности являются открытые шары. Теперь просьба указать, где вы на псевдоевклидовой плоскости вообще шары видели? Псевдоевклидова окружность - четырехсвязное многообразие, Time совершенно правильно указывает на то, что изотропные прямые в корне меняют не только метрику, но и топологию для псевдоевклидовой плоскости. Не может быть на ней евклидовой топологии, поскольку на ней другая база. Разницу между односвязным шаром (евклидовой окружностью) и четырёхсвязным "шаром" (псевдоевклидова гиперболическая окружность) видите или нет?

Раз пошло обсуждение с другими участниками я возвращаюсь в тему. В пространстве времени мы пользуемся двумя непрерывными структурами. Обычной Евклидовой топологией и другой (как обычно в функциональном пространстве). Однако, другая непрерывная структура и вообще не является топологией. Я называю это квазитопологией. Которая может быть задана как минимум тремя способами. Все способы задания топологии из Бурбаки. "Общая топология. Основные структуры" здесь работают. Можно задать через операцию замыкания на подмножествах пространства без аксиомы, что операция замыкания есть проекция (т.е. двойное замыкание совпадает с одним замыканием), через открытые или замкнутые множества. Однако здесь они не совсем открыты и не совсем замкнуты. Например, существует базис открытых окрестностей точки, которые являются окрестностью только для самой этой точки. Можно задать через системы ( или базы) окрестностей. Можно задать через сходящиеся фильтры с условием, что пересечение всех сходящихся к точке фильтров так же сходится к этой точке. Т.е. sup сходящихся к точке фильтров интерпретируемая обычно как система окрестностей точки и служит роль окрестностей как в топологии. В любом финслеровом пространстве Минковского типа появляется необходимость в другой более слабой структуре непрерывности. Однако, согласованная с интервалом другой топологии не существует. Это приводит к квазитопологии, согласованной с интервалом. Именно требование непрерывности и относительно этой структуры ограничивает использование не измеримых путей.

[Kallikanzarid]

lavex
Домашнее задание: нарисуйте одномерные пространственноподобную, светоподобную и времяподобную псевдосферы. Укажите их компоненты связности. Вопрос: что считать шаром, "ограниченным" такой сферой. Упс, да?

Time

Time в сообщении #440574 писал(а):

И еще.. Что бы не возникло желания трактовать слова AlexDem как то иначе, чем в смысле, что у евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей РАЗНЫЕ естественные топологии, посмотрите не только указанную выше страницу, но и следующую, в частности, самые последние строчки последнего поста:
http://forum.lebedev.ru/viewtopic.php?f ... 1&start=30

Вы не понимаете суть вопроса. Чтобы определить (псевдо)-риманову структуру на множестве, на нем нужно сначала задать на нем топологию (причем удовлетворяющую аксиомам многообразия) и дифференцируемую структуру. Кроме того, если вы хотите обсуждать топологию, индуцируемую псевдоевклидовой структурой, вы должны:
1) Понимать, что она играет необычную роль, на пространстве уже есть одна топология, и именно ее мы принимаем за основную.
2) Предварительно определить на пространстве псевдометрику в смысле метрического пространства. ЕМНИП, это можно сделать через геодезические. Этого сделать нельзя, потому что даже псевдометрика должна, как это ни странно, быть вещественной функцией. То, как вы это пытаетесь делать, - смехотворно неверно.

Если вы хотите заниматься дифференциальной геометрией, ознакомьтесь хотя бы с азами предмета.

[lavex]

Руст в сообщении #440610 писал(а):

В пространстве времени мы пользуемся двумя непрерывными структурами. Обычной Евклидовой топологией и другой (как обычно в функциональном пространстве). Однако, другая непрерывная структура и вообще не является топологией. Я называю это квазитопологией.

Это терминологический, хотя и очень существенный вопрос. Насколько я понимаю Time (прошу поправить, если неправ), именно квазитопологию он и рассматривает в качестве естетственной топологии псевдоевклидовой плоскости (по всей видимости, согласованную с интервалом). И, на мой взгляд, совершенно справедливо. Дело в том, что светоподобные прямые делят всю плоскость на 4 связных области. Да, может, и можно внутренность таких областей наделить евклидовой топологией. Но это для псевдоевклидовой плоскости неестественно. Причина тому - возможность начало любого вектора считать началом координат. А значит, вся плоскость "покрывается" такими изотропными "крестиками" делителей нуля, возле каждой точки будут 4 связных области. В связи с этим предложение Kallikanzarid

Kallikanzarid в сообщении #440613 писал(а):

Домашнее задание: нарисуйте одномерные пространственноподобную, светоподобную и времяподобную псевдосферы. Укажите их компоненты связности. Вопрос: что считать шаром, "ограниченным" такой сферой. Упс, да?

уже само по себе показывает, что для псевдоевклидовой плоскости евклидова топология неестественна.

[Kallikanzarid]

lavex в сообщении #440646 писал(а):

Это терминологический, хотя и очень существенный вопрос. Насколько я понимаю Time (прошу поправить, если неправ), именно квазитопологию он и рассматривает в качестве естетственной топологии псевдоевклидовой плоскости (по всей видимости, согласованную с интервалом). И, на мой взгляд, совершенно справедливо.

Можете дать определение квазитопологии?

lavex в сообщении #440646 писал(а):

Дело в том, что светоподобные прямые делят всю плоскость на 4 связных области. Да, может, и можно внутренность таких областей наделить евклидовой топологией. Но это для псевдоевклидовой плоскости неестественно. Причина тому - возможность начало любого вектора считать началом координат. А значит, вся плоскость "покрывается" такими изотропными "крестиками" делителей нуля, возле каждой точки будут 4 связных области.

Вам неуд за неумение отличать касательное пространство от самого многообразия. Сферы, кстати, нарисовали? И сколько у них компонент связности? УПД: что значит "делителей нуля"? У нас на псевдоевклидовой плоскости уже откуда-то появилась структура кольца?

lavex в сообщении #440646 писал(а):

уже само по себе показывает, что для псевдоевклидовой плоскости евклидова топология неестественна.

И, тем не менее, именно она там задана (25 кеглем и болдом). Другой у вас там нет.

-- Вс май 01, 2011 20:36:47 --

Кстати, вы знаете определение базы топологии? Могут ли, скажем, внутренности однополостных гиперболоидов образовывать базу какой-нибудь топологии? Если нет, то почему?

[Руст]

Цитата:

Это терминологический, хотя и очень существенный вопрос. Насколько я понимаю Time (прошу поправить, если неправ), именно квазитопологию он и рассматривает в качестве естетственной топологии псевдоевклидовой плоскости (по всей видимости, согласованную с интервалом). И, на мой взгляд, совершенно справедливо.

Судя по статье его и Панчелюги он ничего не понимает даже в азах обычной топологии.
Всвязи с интересом к этой тематике дам определение квазитопологической структуры над категорией множеств. На множестве А задана квазитопология, если задано монотонное отображение:
$cl:2^A\to 2^A$, удовлетворяющее следующим аксиомам:
1. Для любого подмножества Х множества А
$X\subset cl(X)$
2. Замыкание объединения X и Y есть объединение замыканий.
3. Замыкание пустого множества пусто.
Последнее скорее для удобства. Замыкания пустых множеств играют роль отмеченных точек. От того, что рассматриваем непрерывные структуры с "отмеченными точками" или без них суть не меняется.
Отображение $f$ из квазитопологического пространства А в квазитопологическое пространство B назовем непрерывным, если $f(cl(X))\subset cl(f(X)) \ \forall X\subset A$.
Как я упомянул раньше есть и много других способов задания этой структуры.
К этим структурам я еще пришел, когда студентом 3 го курса прочитал Фрелехера, Бухера "Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы". По сути они используют именно эту структуру, только описанную на языке фильтров. Как раз на языке фильтров очень сложно выразить дополнительное требование к топологии:

$$(1) \ \ cl(cl(X))=cl(X).$$

На самом деле это требование больше алгебраическое а не свойство непрерывности и служит мостом к гомотопиям. Для некоторых непрерывных структор оно скорее мешает. Демонстрирую это на Финслеровых пространствах Минковского типа. В этом случае индикатриса уходит в бесконечность как гипербола. Если окрестности точки задаются такой базой, где все они гомотетичные фигуры ограниченных кривыми типа гипербол с вершинами в заданной точке, то эти окрестности не являются окрестностями не для одной другой точки, кроме заданной, так как они не содержат других фигур с вершинами в другой точке. Поэтому такая непрерывная структура не может быть описана никакой топологией. Мешает этому то, что открытые множества не являются окрестностями для всех своих точек. На языке замыканий $cl(cl(X))\not \subset cl(X)$. Поэтому соответствующее условие (1) топологии можно назвать Евклидовостью квазитопологии.

[Kallikanzarid]

Руст
Можно ссылку на вводную статью/учебник по таким структурам? Довольно интересно.

[Руст]

Kallikanzarid в сообщении #440679 писал(а):

Руст
Можно ссылку на вводную статью/учебник по таким структурам? Довольно интересно.

Я не встречал это ни в одной книге. По сути вы сами сможете написать это в качестве упражнения взяв выше цитированную Бурбаки и переписать все это с некоторыми изменениями для квазитопологий. Я когда то то это проделывал в курсе пятом, но они не сохранились даже в бумажном виде. Можете посмотреть выше цитированного Фрелехера. Только они не догадались об эквивалентности этой структуры к приведенному мною. Разные обобщения топологий встречаются только в статьях. Но и тут я не могу предложить ничего удовлетворительного. Я затронул это в одной статье 2007 г. Наберите в гугл: Многообразия непрерывных структур.
Сразу наткнетесь на эту статью. Еще две или три статьи в ВИНИТИ выйдет в этом году связанный с финслеровыми пространствами. В одной из них я приводил явное построение структурных функторов, указывающих изоморфность разных описаний для квазитопологий.

[Kallikanzarid]

Еще вопрос: над какими еще категориями можно определить такую структуру? Вы используете довольно тяжелые теоретико-множественные понятия, сгодится ли тут что-то слабее топоса?

Почему бы вам не написать отдельную статью? Обобщение топологии не каждый день увидишь :)

[Руст]

Kallikanzarid в сообщении #440693 писал(а):

Еще вопрос: над какими еще категориями можно определить такую структуру? Вы используете довольно тяжелые теоретико-множественные понятия, сгодится ли тут что-то слабее топоса?

Почему бы вам не написать отдельную статью? Обобщение топологии не каждый день увидишь :)

Обобщения топологий я старался определить над произвольной категорией для того, чтобы показать некоторую двойственность между алгебраическими структурами типа универсальных алгебр и непрерывными структурами. Из-за отсутствия самодвойственности в категории множеств, без этого не вполне осознается такая двойственность. Топосы я по сути не использовал. Только упомянул мимоходом то, что некоторые структуры над категорией множеств легко переносятся на топосы.