ассоциативность

[zkutch]

не подскажет ли кто достаточных и/или необходимых условий ассоциативности?

заранее спасибо

[bot]

Необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество $x(yz)=(xy)z$.

[zkutch]

bot в сообщении #423428 писал(а):

Необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество $x(yz)=(xy)z$.

Уважаемый, как вы могли представить, что я задаю вопрос не зная определения?

буду благодарен если вы назовете в любой алгебраической структуре достаточные условия, а если их неизвестно, то необходимые условия ассоциативности (которая определятеся разумеется приведенной вами формулой). Может быть существует эквивалентная, отличная от стандартной форма определения.

я встречал в 1-ом томе алгебры Бурбаков (33стр. 1962г. издание) достаточные и необходимые условия для не всюду определенного закона композиции, но это только связь с всюду определенным законом.

[svv]

Как-то не совсем понятно, как может возникнуть такой вопрос. Заданная операция либо ассоциативна, либо нет, обычно из определения ясно, выполняется ли это свойство. А если не ясно, то какой способ узнать это может быть проще, чем проверка $(xy)z=x(yz)$?

Посмотрите http://en.wikipedia.org/wiki/Light's_associativity_test

[zkutch]

svv в сообщении #423514 писал(а):

Как-то не совсем понятно, как может возникнуть такой вопрос. Заданная операция либо ассоциативна, либо нет, обычно из определения ясно, выполняется ли это свойство. А если не ясно, то какой способ узнать это может быть проще, чем проверка $(xy)z=x(yz)$?

Посмотрите http://en.wikipedia.org/wiki/Light's_associativity_test

очень интересно то что вы сами, в последнем предложении-ссылке сталкиваетесь со своим поставленным вопросом: тест Лайта можно проделать только в определенном подмножестве группоида (=магма=мультипликативное множество), Пожалуйста поправьте если ошибаюсь, но это дает ли более простой способ чем проверка определения для всех возможных троек?

я хочу сказать спасибо, так как ваша ссылка вывела меня на великолепную книжку Клиффорда и Престона по полугруппам. Осталось впечатление, что вики списана именно оттуда (т. 1, стр. 24, 1972г.). К сожалению за остальные статьи из вики просют деньги. Нет ли их у кого?

Если вы разбирались с тестом Лайта, то может вы прокоментируете его связь с теоремеой Саса (Ляпин Е.С. Полугруппы. 1960. 23стр.) - по последней если количество элементов в группоиде больше трех то все условия ассоциативности независимы. Сам я тоже на днях попытаюсь найти время.

вопрос же остается в силе, так как не видно, пока ни достаточных ни необходимых условий.

[bot]

Могу повторить только то, что уже сказал - без полной проверки не обойтись. Если будет пропущена хотя бы одна тройка, то гарантировать ассоциативность операции никто не сможет. Речь может идти только лишь об организации этого перебора - например с помощью представления полугруппы (предполагаемой) с помощью отображений или как по ссылке перебором бинарных операций, полученных фиксирования одной из переменных.

[zkutch]

bot в сообщении #423651 писал(а):

Могу повторить только то, что уже сказал - без полной проверки не обойтись. Если будет пропущена хотя бы одна тройка, то гарантировать ассоциативность операции никто не сможет. Речь может идти только лишь об организации этого перебора - например с помощью представления полугруппы (предполагаемой) с помощью отображений или как по ссылке перебором бинарных операций, полученных фиксирования одной из переменных.

аргументы?
доказательство?
ссылки?

и позвольте напомнить, что я спрашивал о том знает ли кто условия для ассоциативности?

[Leox]

Ваш вопрос относится к так называемым алгебрам с тождествами (PI-algebras). Есть книги, например http://lib.mexmat.ru/books/36876 и хорошая обзорная статья http://eom.springer.de/p/p072640.htm.

Я бы искал свойства такого плана, например, если каждый елемент алг. структуры нильпотентен то она (возможно) ассоциативная и т.д. ОБратите внимание на результат Кемера, в конце обзора. Возможно имеет место обратный результат - если алгебра конечно базируема то она ассоциативна.

[arseniiv]

zkutch в сообщении #423671 писал(а):

аргументы?
доказательство?
ссылки?

Мы можем установить ассоциативность операции, в конечном итоге, только по определению (признаки ведь всегда опираются на соответствующие определения), а определение ассоциативности таково: ${\color{red} \forall a, b, c \in M} \; (a * b) * c = a * (b * c)$, где $M$ — носитель операции. Из определения мы должны проверить все тройки. (Мне казалось, что это вообще не требует объяснений.)

[zkutch]

arseniiv в сообщении #423681 писал(а):

zkutch в сообщении #423671 писал(а):

аргументы?
доказательство?
ссылки?

Мы можем установить ассоциативность операции, в конечном итоге, только по определению (признаки ведь всегда опираются на соответствующие определения), а определение ассоциативности таково: ${\color{red} \forall a, b, c \in M} \; (a * b) * c = a * (b * c)$, где $M$ — носитель операции. Из определения мы должны проверить все тройки. (Мне казалось, что это вообще не требует объяснений.)

вряд ли повторение тезиса можно выдавать за доказательство тезиса. Доказательство математическое. Если хотите взглянуть глубже, то я приводил выше теорему Саса. Она касается следующей постановки вопроса: определение ассоциативности разумеется же говорит о всех возможных тройках и вопрос ставится следующим образом - нет ли некоторых таких троек выполнение ассоциативности для которых влечет выполнение для некоторых других. Потрудитесь посмотреть Ляпина. В этом свете подсказка про тест Лайта была очень кстати.


Leox - спасибо. Пошел смотреть.

[Leox]

arseniiv писал(а):

Мы можем установить ассоциативность операции, в конечном итоге, только по определению

Не обязательно, вот я вам сейчас приведу пример как можно уставить коммутативность операции не пользуясь явно определением коммутативности. Хорошо известна теорема Веддерберна утверждающая что всякое конечное тело (коммутативность не предполагается) является полем, тоесть операция умножения коммутативна. Суть вопроса топикстартера аналогична - найти условия на алгебраическую структуру(алгебру, кольцо), какието дополнительные свойства, которые бы гарантировали ее ассоциативность. Просто он в самом начале не очень внятно задал свой вопрос.

[zkutch]

Leox в сообщении #423702 писал(а):

[quote="arseniiv в [url=http://dxdy.ru/post423681.html#p423681]Мы можем установить ассоциативность операции, в конечном итоге, только по определению

Цитата:

Не обязательно, вот я вам сейчас приведу пример как можно уставить коммутативность операции не пользуясь явно определением коммутативности. ...

ну из дифференцируемости вытекает непрерывность, из непрерывности интегрируемость ... полно таких условий. Даже странно, что может быть непонятным математику, когда его просят привести достаточное условие для названного свойства.

и как это более внятно спросить? я постарался максимально лаконично, но наверняка дело в том, что обычно о таких общих свойствах вопросов мало. Но с моей точки зрения это фундаментальные вопросы.

Leox, нет ли у вас (или у кого-нибудь) ссылки для скачивания книги Jacobson N. ? На http://reslib.com/book/Pi_Algebras она неудобна для работы. А обзор хорош. И идея насчет Kemer-а.

[Maslov]

zkutch в сообщении #423754 писал(а):

Leox, нет ли у вас (или у кого-нибудь) ссылки для скачивания книги Jacobson N. ?

Nathan Jacobson. PI-algebras: An introduction.

[bot]

zkutch в сообщении #423671 писал(а):

аргументы?

Вы сами их привели:

zkutch в сообщении #423647 писал(а):

если количество элементов в группоиде больше трех то все условия ассоциативности независимы

Согласно этому

bot в сообщении #423651 писал(а):

Если будет пропущена хотя бы одна тройка, то гарантировать ассоциативность операции никто не сможет

Никакой дополнительной структуры на группоиде у Вас нет, так что в общем случае никаких других условий (перефразировки не в счёт) не бывает.
При наложении таковой условия могут появиться. Например, в ассоциативной (предположительно) алгебре, достаточно и необходимо проверить тождество только на базисных элементах.

[zkutch]

bot

я ждал этого замечания раньше, спасибо, что прочитали мои слова. Теперь, пожалуйста обратите внимание на следующее.

У Клиффорда(я выше указывал) в разборе теста Лайта есть предложение:
" если a и b ассоциативны со всеми элементами из S, то тем же свойством обладает и их произведение ab"

впечатления?