2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 изоморфизмы функциоеальных пространств
Сообщение04.01.2011, 10:52 


02/10/10
376
Оно конечно понятно, что один дурак может столько вопросов задать, что десять умных не справятся.

Тем не менее: изоморфны ли $L^a(0,1)$ и $L^b(0,1)$?; $C[a,b]$ и $C^1[a,b]$? Этим вообще кто-нибудь интересовался? Ведь формулировки на поверхности лежат.

 Профиль  
                  
 
 Re: изоморфизмы функциоеальных пространств
Сообщение04.01.2011, 11:43 
Заслуженный участник


11/05/08
30615
Если я правильно понимаю, вопрос навеян вот этой темой; но если так, то тут какая-то аберрация. Если бы $L^a[0;1]$ было бы изоморфно $L^b[0;1]$, то (при $a>b$, для определённости) $L^a[0;1]$ было бы подпространством $L^b[0;1]$. Что, естественно, невозможно, т.к. первое плотно во втором, но не совпадает с ним.

 Профиль  
                  
 
 Re: изоморфизмы функциоеальных пространств
Сообщение04.01.2011, 11:52 


02/10/10
376
ewert в сообщении #395103 писал(а):
Если бы $L^a[0;1]$ было бы изоморфно $L^b[0;1]$, то (при $a>b$, для определённости) $L^a[0;1]$ было бы подпространством $L^b[0;1]$. Что, естественно, невозможно, т.к. первое плотно во втором, но не совпадает с ним.


Это просто неверные рассуждения. Контрпример. Если через $\tilde H^1(0,1)$ обозначить подпространство $H^1(0,1)$, состоящие из функций периода $1$, то $\tilde H^1(0,1)$ плотно в $L^2(0,1)$ и не совпадает с $L^2(0,1)$, но при этом $\tilde H^1(0,1)$ изоморфно $L^2(0,1)$.

Это если говорить формально. А по-существу,
ewert в сообщении #395103 писал(а):
Если бы $L^a[0;1]$ было бы изоморфно $L^b[0;1]$, то (при $a>b$, для определённости) $L^a[0;1]$ было бы подпространством $L^b[0;1]$

педагогам следует понимать, что из того, что два пространства $(X,\|\cdot\|_X)$ и $(Y,\|\cdot\|_Y)$, $X\subseteq Y$ изоморфны совсем не следует, что топология в $X$, индуцированная из $Y$ должна совпадать с родной топологией $X$ порожденной нормой $\|\cdot\|_X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: изоморфизмы функциоеальных пространств
Сообщение04.01.2011, 18:25 
Заслуженный участник


11/05/08
30615
moscwicz в сообщении #395104 писал(а):
Это просто неверные рассуждения.

Да, это каюсь (хотя и не понял, зачем там периодичность). Придётся к случаю -- ещё подумаю.

--------------------------
ПысПыс насчёт педагогичности, да ещё и назойливой -- не понял совершенно

 Профиль  
                  
 
 Re: изоморфизмы функциоеальных пространств
Сообщение04.01.2011, 19:29 


02/10/10
376
периодичность удобна (мне) потому, что $\{e^{2\pi i x k}\}$ это базис в $L^2(0,1)$ и в $\tilde H^1(0,1)$ (но не во всем $H^1(0,1)$). Из этих соображений изоморфизм очень легко выписывается. Но можно и просто $H^1(0,1)$ использовать, да два бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространства изоморфны

 Профиль  
                  
 
 Re: изоморфизмы функциоеальных пространств
Сообщение05.01.2011, 01:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
61296
Чё-то я не понял. Я вижу два вопроса:
и как мне кажется, их формулировки не совпадают. Нельзя ли пояснить, ответы на эти вопросы совпадают, или в теме приведён ответ только на один из них (какой)?

 Профиль  
                  
 
 Re: изоморфизмы функциоеальных пространств
Сообщение05.01.2011, 09:41 


02/10/10
376
Munin Второе это не вопрос, а попытка решения
Ни на один мой вопрос ответа дано не было, я думаю, что эти вопросы не очень простые. Не в рамках этого форма, не очень простые, а вообще.

 Профиль  
                  
 
 Re: изоморфизмы функциоеальных пространств
Сообщение05.01.2011, 10:17 
Заслуженный участник


11/05/08
30615
Munin в сообщении #395408 писал(а):
и как мне кажется, их формулировки не совпадают.

Если речь о скобках, то в случае интегральной метрики не важно, квадратные они или круглые.

 Профиль  
                  
 
 Re: изоморфизмы функциоеальных пространств
Сообщение05.01.2011, 10:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
61296
А разве вы не огласили уже ответа? По крайней мере на "второй вопрос". Если на ваш ("первый") вопрос ответ сложен, то он меня пока и не интересует.

-- 05.01.2011 10:19:39 --

ewert
Для метрики, может быть, неважно, а для объёма пространства важно. Впрочем, это моя смутная догадка, а так - полагаюсь на ваши пояснения.

 Профиль  
                  
 
 Re: изоморфизмы функциоеальных пространств
Сообщение05.01.2011, 10:30 
Заслуженный участник


11/05/08
30615
Munin в сообщении #395499 писал(а):
Для метрики, может быть, неважно, а для объёма пространства важно

А что такое "объём пространства"?...
Если имелись в виду множества функций, образующих пространство, то они фактически одинаковы, т.к. эти функции всё равно определены лишь с точностью до подмножеств меры ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: изоморфизмы функциоеальных пространств
Сообщение05.01.2011, 12:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
61296
То есть функции, неограниченно растущие на краю интервала, одинаково входят или не входят в то и в другое пространство, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: изоморфизмы функциоеальных пространств
Сообщение05.01.2011, 12:22 
Заслуженный участник


11/05/08
30615
Munin в сообщении #395564 писал(а):
То есть функции, неограниченно растущие на краю интервала, одинаково входят или не входят в то и в другое пространство, так?

В частности.

 Профиль  
                  
 
 Re: изоморфизмы функциоеальных пространств
Сообщение06.01.2011, 23:26 
Экс-модератор


17/06/06
5004
$L_1$ и $L_\infty$ никому не изомофрны, потому что у них шар квадратный (ну последнее еще и несепарабельно, но это скучно). $L_2$ никому не изомофрно, потому что у него шар круглый. Имхо, надо как-то измерить "круглость" шаров в пространстве. Может, как-то замерять отклонение от равенства параллелограмма? Я в это время суток ничего не соображаю, но вдруг кого-нибудь наведёт ...

На всякий случай также подмечу, что $C_1[a,b]\sim C[a,b]\oplus\mathbb{R}$ (неопределенный интеграл же)

Просто надеялся, что иногда повторять всякие тривиальности - полезно.

А еще на всякий случай надо бы уточнить, идет ли речь об изоморфизме пространств как банаховых, или, скажем, как линейных топологических.

 Профиль  
                  
 
 Re: изоморфизмы функциоеальных пространств
Сообщение07.01.2011, 00:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
61296
А что такое "шар квадратный"?

 Профиль  
                  
 
 Re: изоморфизмы функциоеальных пространств
Сообщение07.01.2011, 09:16 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Munin в сообщении #396141 писал(а):
А что такое "шар квадратный"?
Ну в смысле не строго выпуклый. Сфера содержит отрезки. Это из области что норма не дифференцируема. Слышал краем уха какую-то теорию по этому поводу даже.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group