Квадрат разности (помогите найти ошибки в доказательстве)

[Xenia1996]

Докажите, что для любого n ≥ 2 существует n-элементное множество, квадрат разности любых двух элементов, которого делит их произведение.
*Я поняла так, что имеется в виду множество, элементы которого - натуральные числа (прим. ред.).

Источник задачи: Математическая олимпиада США. 1998

Если два элемента $a$ и $a+b$ оба делятся на $b$, то квадрат их разности делит их произведение.
Я попыталась построить по индукции такое множество, что для любых двух его элементов, если разность между ними $b$, то каждый из них делится на $b$.
Для $n=2$ такое множество есть: $\{1, 2\}$.
Предположим, что есть такое множество из $n=k$ элементов (в порядке возрастания): $\{a_1, a_2, \dots, a_k\}$
Построим следующее множество: $\{(a_k)!, (a_k)!+a_1, (a_k)!+a_2, \dots, (a_k)!+a_k\}$
В нём будет $k+1$ элементов, а то свойство, что если разность между ними $b$, то каждый из них делится на $b$ сохранится.

Примеры: для $n=3$ существует множество $\{2, 3, 4\}$
для $n=4$ существует множество $\{24, 26, 27, 28\}$
для $n=5$ существует множество $\{28! , 28!+24 , 28!+26 , 28!+27 , 28!+28\}$

Я почти уверена, что где-то ошиблась, ибо для задачи такой лиги она уж слишком элементарная.
Помогите, пожалуйста, найти ошибки в моей попытке доказательства
Заранее благодарна!

[Sonic86]

Если я не ошибаюсь, то просто индукционный шаг неверен.
Почему например $(a_j-a_i)^2$ делит $(a_k!+a_j)(a_k!+a_i)$? Делаем подстановку $a_j-a_i=m$ и видим, что это неверно.

(Оффтоп)

Xenia1996 писал(а):

для задачи такой лиги она уж слишком элементарная.

ну мало ли, всякое бывает

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #381650 писал(а):

Если я не ошибаюсь, то просто индукционный шаг неверен.
Почему например $(a_j-a_i)^2$ делит $(a_k!+a_j)(a_k!+a_i)$? Делаем подстановку $a_j-a_i=m$ и видим, что это неверно.

(Оффтоп)

Xenia1996 писал(а):

для задачи такой лиги она уж слишком элементарная.

ну мало ли, всякое бывает

Можно конкретный пример? Для какого именно $m$ утверждение ложно?

-- Пн ноя 29, 2010 12:58:47 --

А вот тут http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=25859 мне подсказывают, что моё решение верно. Кому, клин, верить?

[Sonic86]

Думаете я все-таки наврал?
Считаем, что $a_j > a_i$, $m=a_j-a_i$
$(a_j-a_i)^2 | (a_k!+a_j)(a_k!+a_i) \Leftarrow m| a_k! + m + a_i \Leftrightarrow m| a_i$ ($m<a_j < a_k \Rightarrow m| a_k!$)
Ну так $m|a_i$ откуда берется?
Я понимаю, что для указанной Вами последовательности $m|a_i$ может быть верно, но это надо доказывать, а этого я пункта я просто не увидел

-- Пн ноя 29, 2010 14:03:14 --

(Оффтоп)

ладно, считаем, что я тупой

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #381658 писал(а):

(Оффтоп)

ладно, считаем, что я тупой

(С каких-таких пор)

Критерием тупости служат мелкие ошибки и недочёты в математических рассуждениях??? Полагаю, у Колмогорова они тоже встречались (он же человек, а не бог)...

[Sonic86]

(Оффтоп)

Xenia1996 писал(а):

Критерием тупости служат мелкие ошибки и недочёты в математических рассуждениях???

Это мой личный критерий. На его объективности я не настаиваю.

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #381695 писал(а):

(Оффтоп)

Xenia1996 писал(а):

Критерием тупости служат мелкие ошибки и недочёты в математических рассуждениях???

Это мой личный критерий. На его объективности я не настаиваю.

(Ну тогда и Аристо был)

тупым, ибо ошибочно считал, что чем тяжелее тело, тем быстрее оно падает. И лишь спустя много веков (!!!) Галилео сумел опровергнуть сие эмпирическим путём. Мне, кстати, всегда это странным казалось - неужели трудно швырнуть с высоты поднятой руки, скажем, камень и тряпку, и убедиться в ошибочности своих рассуждений?

[Sonic86]

(Оффтоп)

Xenia1996 писал(а):

Ну тогда и Аристо был тупым, ибо ошибочно считал, что чем тяжелее тело, тем быстрее оно падает. И лишь спустя много веков (!!!) Галилео сумел опровергнуть сие эмпирическим путём. Мне, кстати, всегда это странным казалось - неужели трудно швырнуть с высоты поднятой руки, скажем, камень и тряпку, и убедиться в ошибочности своих рассуждений?

вот как раз если тряпку (сухую) и камень бросить, то могут упасть за разное время из-за трения воздуха. А вообще эмпирический метод - та еще штучка, им надо уметь пользоваться. Древние греки, на мой взгляд, еще только начинали думать теоретически, и вполне успешно, так что им это простительно.
А вообще мой критерий только для меня придуман (мной, есс-но). Аристотелю я не судья