Какой предел последовательности?

[Valerijsoreui]

Какой предел последовательности?

У нас есть:

$x_{1} = \frac{a _{0}(n_{2}-2)}{b_{0} n_{1}}

$ a_{0} = 15$
$b_{0} = 15$

$a _{1} = a _{0}(n_{2}-2)}$
$b_{1} = b_{0} n_{1}$

$a _{2} = a _{1}(n_{3}-2)}$
$b_{2} = b_{1} n_{2}$

$n_{1} = 7$
$n_{2} = 11$
$n_{3} = 13$

И так далее. N - это простые числа по порядку расположения, от 7, в бесконечность.

Какой предел Х?

Как мне кажется, это плюс-бесконечность, так как числа в знаменателе, увеличиваются в итоге в большее количество раз, а в знаменателе в меньшее. И в итоге Х постоянно возрастает.

Здесь есть исключения. Для чисел-близнецов. Они удалены друг от друга на 2 единицы. И поэтому, к примеру, когда мы в числителе умножаем на (19-2), а в знаменателе на 17. То в итоге мы увеличиваем и числитель и знаменатель на одинаковую величину, и поэтому соотношение не изменяется. В целом же, простые числа удалены далее 2-х единиц, и такое имеет место бесконечно, то и..итог..плюс-бесконечность.
Это моё мнение?
Правильно ли я решил, и как подобное можно кратче и правильнее записать?

[Хорхе]

Как можно понять, правильно ли Вы решили, если даже условия нет? Вы написали только $x_1$. Чему равны все остальные члены последовательности?

[Valerijsoreui]

Хорхе в сообщении #327186 писал(а):

Как можно понять, правильно ли Вы решили, если даже условия нет? Вы написали только $x_1$. Чему равны все остальные члены последовательности?

Пожалуйста

$x_{2} = \frac{a_{1} (n_{3}-2)}{b_{1}n_{2}}$

$x_{3} = \frac{a_{2} (n_{4}-2)}{b_{2}n_{3}}$

И так, бесконечно далее.
Вот меня и инитерисует этот предел всех Х.
Какой он?

[Хорхе]

Короче, $x_n = a_n/b_n$.

Тут дело такое. То, что оно возрастает (точнее, не убывает), еще не означает бесконечность предела. Возьмите, к примеру, $1-1/n$.

Хотя похоже на расходящееся к бесконечности. Сейчас Чапай подумает и отпишет.

-- Чт июн 03, 2010 16:18:11 --

Ну да, $x_n$ можно переписать так:

$$ x_n = \prod_{k=1}^n \frac{n_{k+1}-2}{n_k}. $$

Для всех простых $n_{k+1}>7$, не являющихся старшими близнецами, $n_{k+1}-2\ge n_k+2$.

Тогда $x_n$ оценивается снизу приблизительно таким выражением:

$$ \prod_{k=1}^n \frac{n_{k}+2}{n_k} = \prod_{k=1}^n \Big(1+\frac2{n_k}\Big)\to \infty, n\to \infty. $$

Вам остается объяснить:
1. Почему последнее выражение стремится к $+\infty$.
2. Почему приблизительность оценки не влияет на стремление к бесконечности. Тут пригодится теорема Бруна: ряд, составленный из чисел, обратных к простым-близнецам, сходится.

Возможно, все это можно доказать и проще, учитывая то, что $n_{k+1}-2\ge n_k+2$ -- довольно плохая оценка. Но я пока более простого пути не вижу.

[Valerijsoreui]

Цитата:

А вот цитировать сюда всё предыдущее сообщение никакой нужды не было.
Извольте цитировать только по нужде и аккуратно.
АКМ

Добрый день!

А Чапай не плохо думает!
Спасибо!
Если вдруг будут уточнения, то, ...у меня спасибов хватит.

[Хорхе]

Кстати, никакая теорема Бруна не нужна. Вообще можно обойтись без всяких специфических фактов. Когда ответите на первый пункт, подскажу со вторым.

[Valerijsoreui]

Хорхе в сообщении #327248 писал(а):

Кстати, никакая теорема Бруна не нужна. Вообще можно обойтись без всяких специфических фактов. Когда ответите на первый пункт, подскажу со вторым.

[Хорхе]

Что это значит? Первый пункт не получается? Мало времени прошло, думайте еще.

[Valerijsoreui]

Хорхе в сообщении #327301 писал(а):

Что это значит? Первый пункт не получается? Мало времени прошло, думайте еще.

Тогда до завтра..до вечера завтра.

[paha]

прочел только

Хорхе в сообщении #327198 писал(а):

Короче, $x_n = a_n/b_n$.

Может быть, по теореме Штольца? http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A8%D1%82%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86%D0%B0

[Хорхе]

Я думал о ней, но ничего не придумал. Если у Вас получилось, поделИтесь.

[RIP]

Так, наверно, проще будет. Действуя очень грубо, получаем

$$x_m=\frac{n_{m+1}-2}{n_1}\prod_{k=2}^m\left(1-\frac2{n_k}\right)\ge\frac{n_{m+1}-2}{7}\prod_{k=2}^m\left(1-\frac1k\right)=\frac{n_{m+1}-2}{7m}.$$

Последнее выражение стремится к бесконечности (лень думать, можно ли избежать использования теоремы Эйлера и ограничиться только тривиальными соображениями).

-- Fri 04.06.2010 00:50:21 --

Впрочем, можно ограничиться следующими не совсем тривиальными соображениям, которые, тем не менее, не требуют знания каких-либо нетривиальных результатов про простые числа (из которых, разумеется, моментально следует, что $x_m\sim\frac{cm}{\ln m}$). По индукции легко получаем, что $n_k\ge3k$ (поскольку $n_{k+2}\ge n_k+6$), поэтому

$$x_m\ge\frac{3m+1}{7}\prod_{k=2}^m\left(1-\frac2{3k}\right)\asymp m^{1/3}.$$

[Хорхе]

Да. Простенько так. Впрочем, мне моё тоже нравится, особенно вариант без теоремы Бруна.

[Valerijsoreui]

Добрый вечер!
Спасибо Вам за то что уделили столько времение моей проблеме...
Тогда, если можно, объясните пожалуйста следующее.
Вот допустим мы будем высчитывать площадь круга), выстраивая внутри круга многоугольники.
выстроили 4-х угольник и определили площадь, и она к примеру 3.0
Далее построили 8-и угольник. И получилась площадь 3,1
И так далее..мы приближаемся к Пи.

Так вот о чём я, ..здесь мы видим что величина площади увеличивается бесконечно до Числа Пи.
В моём примере мы также видим бесконечное увеличение.

А как уловить разницу, что стремление идёт к иррациональному числу, или же в бесконечную даль.

Если к иррациаональному числу, то его предел это иррациональное число, и с Пи мы видим что до 4 мы не дойдём. Это запредельно.

А вот при удалении в бесконечную даль, то, как я понимаю, как бы быстро или же медленно шло удаление, но мы можем, к примеру указать впереди любое число, и мы его рано или поздно но достигнем.
А вот для Пи, уже числа 4 мы не достигнем.

И насколько я понимаю, в моём примере, мы достигнем любого числа, и запредельного нет!

И как бы медленно мы не шли вперёд. Вот к примеру, для моего примера Х(55) равно 7,09, а это n+1=269
а вот n+1=53 когда X(12)=2,60. Увеличение относительно медленное, но мы же не станем отрицать..что когда Х достигнет и 1000000 и более до бесконечности великого числа.

Вот, как отделить то что мой пример не уходит к иррациональному числу?!

[Хорхе]

Ну так доказать, что оно стремится к бесконечности.

Надеюсь, Вы когда-нибудь слушали курс математического анализа. Если да, ответьте на следующее: в каком случае сходится бесконечное произведение $\prod_{k=1}^\infty(1+z_k)$, где $z_k$ -- положительные числа?