2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.
 
 Уравнение или тождество?
Сообщение13.05.2010, 11:00 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
Встретилось вот такое:
Цитата:
Вот, допустим, приходит человек в магазин, берёт жевачку за 2 рубля, даёт кассиру пятёрку и спокойно ждёт, когда ему дадут три рубля сдачи. Но если того же самого человека посадить за парту, вручить в руки тетрадь и дать задание: "решить уравнение $2+x=5$", то он, с большой вероятностью, начнёт вопить, что математика --- не для него, что он в ней ничерта не понимает и т. п.

И подумалось мне, что такого человек можно понять. Он мог бы подумать:

    В общем случае, я вижу равенство. Когда мы с одной стороны оставим голую переменную, то другой стороны окажется численное выражение, соответствующее числу. Это не похоже на уравнение. Далее, равенство в общем случае может быть составлено из символов переменных, и тогда тождеством такое равенство называют, если для любых подстановок (из допустимой области) в символьные переменные равенство истинно. Тогда что же я вижу? Никакая подстановка для $x$ недопустима. Это похоже на тождество.

    Так что же на самом деле за задачку мне подкинули? Думается мне, это задача с равенством, название которой «упростить выражение», после чего объявить тождеством. А мне предлагают «решить уравнение...». Нет, ни черта я не понимаю в логике этой математики...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение или тождество?
Сообщение13.05.2010, 15:14 
Экс-модератор


17/06/06
5004
errnough в сообщении #318841 писал(а):
Нет, ни черта я не понимаю в логике этой математики...

Читайте про языки предикатов.
Например, Верещагин, Шень, "Языки и исчисления" - отсюда №15.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение или тождество?
Сообщение13.05.2010, 22:37 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
Я совсем не о той логике, которая символьная, и т.д., про которую написано в учебниках... Я про житейскую логику. Ту, по которой релюшки хлопают и компьютеры работают. Вопрос вот в чем:

  • $2+x=5$ это уравнение или тождество?
  • $x=3$ это уравнение или тождество?

      ------------И.М. Виноградов, Математическая энциклопедия, 1977. том5, стр. 539--------------
      УРАВНЕНИЕ — аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при к-рых значения двух данных функций равны. Аргументы, от к-рых зависят эти функции, наз. обычно неизвестными, а значения неизвестных, при к-рых значения функций равны,— решениями, или корнями, У.; о таких значениях неизвестных говорят, что они удовлетворяют данному У. Совокупность решений данного У. зависит от области $M$ значений, допускаемых для неизвестных. У. может не иметь решений в $M$, тогда оно наз. неразрешимым в области $M$. Если У. разрешимо, то оно может иметь одно или несколько, или даже бесконечное множество решений. [...] Если У. имеет решениями все числа области $M$, то оно наз. тождеством в области $M$.
      [...]
      В общем случае У. является записью задачи о разыскании таких элементов $a$ нек-рого множества $A$, что $F (a) = \Phi(a)$, где $F$ и $\Phi$ — заданные отображения множества $A$ во множество $B$. Если $A$ и $B$ — множества чисел, то возникают У. рассмотренного выше вида. Если $A$ и $B$ — множества точек в многомерных пространствах, то получаются системы У. Если $A$ и $B$ — множества функций, то в зависимости от характера отображения могут получаться дифференциальные уравнения обыкновенные, дифференциальные уравнения с частными производными, интегральные уравнения и др. виды У.

      -----------------------------------

Равенство $2+x=5$ сводится к равносильному $x=3$.

Если определение Виноградова истинно и равенство $x=3$ есть уравнение, то по обоим сторонам от знака равенства стоят функции. Число $3$ — функция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение или тождество?
Сообщение13.05.2010, 23:55 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
errnough в сообщении #319085 писал(а):
...то по обоим сторонам от знака равенства...
По обеим сторонам.
(Ну, поскольку Вы ставите роскошное тире (типа "Число 3 — функция?"), подобные мелкие ляпы становятся кричащими.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение или тождество?
Сообщение14.05.2010, 00:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
errnough в сообщении #319085 писал(а):
Число $3$ — функция?

правая часть данного уравнения является постоянной функцией


я тут уже цитировал лекцию В. А. Рохлина "О преподавании математике нематематикам". В этой лекции автор приводит интересный пример (экзаменационного вопроса! в некий ВУЗ)... не помню дословно, но смысл в том, что $ax+b=0$ и $ax=b$ -- уравнения, которые должны решаться разными(!!!) способами

(Оффтоп)

$\sin{x}$ не функция и не морфема, а четыре совершенно разные буквы

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение или тождество?
Сообщение14.05.2010, 00:17 
Заслуженный участник


26/07/09
1559
Алматы
2errnough
Но ведь обычно под тождеством понимают всегда верное (всегда являющееся равенством) уравнение... То есть, если написано $f(x)\equiv 0$, значит эта функция равна нулю для всех $x$; а если эту формулу рассматривать именно как уравнение $f(x)=0$, то есть ещё шанс найти конкретные значения $x$ при которых уравнение становится равенством... Какая-то у вас проблема чисто философская...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение или тождество?
Сообщение14.05.2010, 00:18 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
2 AKM

Большое спасибо за замеченную опечатку. А по сути вопроса, число три — функция?

В благодарность возвращаю:
В буквально предыдущем этому сообщению, буквально 15 минут назад, Вы написали:
AKM в сообщении #319097 писал(а):
По-моему, даже вшивая парабола не предоставляет исключения.


Исправляйте, я уже своё не могу, время правки сообщения закончилось... А кстати, нормальную тире набрать несложно: Alt+0151 — это типографически правильное тире, Alt+0150 — это типографически правильный минус, а та коротенька черточка, что на цифровой клавиатуре, это дефис и знак переноса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение или тождество?
Сообщение14.05.2010, 00:29 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
errnough в сообщении #319120 писал(а):
А по сути вопроса, число три — функция?
Да я в этой вашей математике особо не рулю.

-- Пт май 14, 2010 01:31:46 --

"Предоставляет" --- высокопарное от "типа даёт", "даёт нам в руки". Я просто отвысокопарился малость. Исправлять нечего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение или тождество?
Сообщение14.05.2010, 00:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
errnough в сообщении #319120 писал(а):
А по сути вопроса, число три — функция?

Число -- не есть функция. Однако же функция -- вполне может быть числом. Это отношение не симметрично. Зараза оно, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение или тождество?
Сообщение14.05.2010, 00:44 
Заслуженный участник


26/07/09
1559
Алматы
2ewert
Цитата:
Число -- не есть функция

Зато число можно воспринимать как оператор, т.е., почти функцию... :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение или тождество?
Сообщение14.05.2010, 01:00 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
errnough в сообщении #319085 писал(а):
Число $3$ — функция?
paha в сообщении #319117 писал(а):
правая часть данного уравнения является постоянной функцией

paha, а Вы можете это высказывание записать математически? Желательно в терминах определения Виноградова. Общий вид уравнения это $$F(a) = \Phi(a)$$ тогда, Вы хотите сказать, что а) число «три» это функция (неважно, постоянная или еще какая); и б) эта функция вида $\Phi(a)$ для нашего подопытного уравнения $x=3$. При этом нужно разыскать такие $a$, которые дадут верное равенство $x=3$. Не понимаю, где в числе три помещается функция с переменной $a$?

2 Circiter:

Здесь существенна запись равенства: $x=3$. Вы же предложили совсем другую, обозначение функции $f$ аргумента $x$. Вот этот переход мне непонятен. В Ваших обозначениях, общий вид $f(x)=\phi(x)$. Запись «3» это математически верная запись функции $\phi(x)=3$? Эти записи тождественны? Но если записи тождественны, то не следует ли из этого, что число есть одновременно функция?

ewert в сообщении #319128 писал(а):
Число -- не есть функция. Однако же функция -- вполне может быть числом. Это отношение не симметрично.

Хм. А как это записать математически?
$F(a)=3\;\;\; \not\equiv \;\;\;3=F(a)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение или тождество?
Сообщение14.05.2010, 01:02 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
errnough в сообщении #319120 писал(а):
А по сути вопроса, число три — функция?
"число три" -- это 9 типографских значков, которые могут означать совершенно разные вещи.

(Оффтоп)

Спасибо, paha :)


В данном случае:

$2 + x = 5$ -- это уравнение, являющее записью задачи о разыскании таких элементов $x$ нек-рого множества $X$, что $F (x) = \Phi(x)$, где $F(x) = 2 + x, \Phi(x) = 5$

$x = 3$, в зависимости от контекста, может являться

1) уравнением, являющимся записью задачи о разыскании таких элементов $x$ нек-рого множества $X$, что $F (x) = \Phi(x)$, где $F(x) = x, \Phi(x) = 3$
2) результатом решения этого уравнения; в этом случае более корректной является запись $x \in \{3\}$ или $X = \{3\}$, но обычно проблем с неоднозначностью не возникает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение или тождество?
Сообщение14.05.2010, 01:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
errnough в сообщении #319138 писал(а):
paha, а Вы можете это высказывание записать математически? Желательно в терминах определения Виноградова.


Цитата:
="Виноградов в своей инциклопии писал" ФУНКЦИЯ — одно из основных понятий матема-
тики. Пусть заданы два множества $X$ и $Y$ и каждому
элементу $x\in X$ поставлен в соответствие элемент
$y\in Y$, к-рый обозначен через $f(x)$. В этом случае гово-
рят, что на множестве $X$ задана функция $f$ (а также —
что переменная $y$ есть функция переменной $x$, или что
$y$ зависит от $x$) и пишут $f:X\to Y$.

Так вот в Вашем случае $X=Y=\mathbb{R}$ и каждому элементу $x$ поставлен в соответствие элемент $3\in\mathbb{R}$... вот такая функция $f(x)=3\,\,\forall x\in\mathbb{R}$









а теперь я скажу Вам, что Вы - тролль. Это моя награда за копание в Виноградове

-- Пт май 14, 2010 01:23:34 --

(Оффтоп)

Maslov Спасибо, что оценили

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение или тождество?
Сообщение14.05.2010, 06:20 
Экс-модератор


17/06/06
5004
errnough в сообщении #319085 писал(а):
Я совсем не о той логике, которая символьная, и т.д., про которую написано в учебниках... Я про житейскую логику.
 i  А, ну вот и замечательно. Переезжаем в "флейм".
(с учётом наблюдения paha, а также того, что темы автора уже закрывали за троллинг)


-- Пт май 14, 2010 07:28:30 --

errnough в сообщении #319085 писал(а):
Если определение Виноградова истинно и равенство $x=3$ есть уравнение, то по обоим сторонам от знака равенства стоят функции. Число $3$ — функция?
Если $x=3$ - уравнение, то $3$ - функция: $3(x)\equiv 3$. Но тогда оно - не число (и даже не "оно").

Понятие "решить уравнение" определяется через подстановку вместо переменных некоторых числовых значений. При этом число $3$ подставляется как в левую, так и в правую часть: $\left.x\right|_{x=3}=3$, $\left.3\right|_{x=3}=3$, то есть получаем верное числовое равенство $3=3$.

Можно и по-другому рассматривать: уравнение - это когда слева функция, справа число. Тогда уравнение - это лишь формальная запись ("бумага всё стерпит"), а при определении решения уравнения подставлять будем только в левую часть, и снова вся содержательная часть будет корректной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение или тождество?
Сообщение14.05.2010, 10:51 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/05/09

366
из эпохи Аристотеля
2 Maslov
Вы утверждали, что $x = 3$ есть уравнение, и в соответствии с определением термина уравнение из Виноградова, это выглядит так: $$\xymatrix@=5pt{& x\ar[ddl] & = & 3\ar[ddr] &\\& & & & &\\F(x)& & &  & \Phi(x) &}$$
Поскольку знак $3$ Вы считаете записью функции (здесь правда, отвечающие разошлись во мнениях и привели противоречивые записи), и определение термина функция из Виноградова считается истинным, то значение функции обозначается записью $f(x)$ и это всё изобразим диаграммой:
$$\xymatrix@=5pt{& Y\ar[ddl]_{y\in R} & \leftarrow & X\ar[ddr]^{x\in X} &\\&\\f(x)& & = & & 3 & &}$$

Теперь сведем всё вместе и посмотрим на Ваше объяснение:
$$\xymatrix@=5pt{& Y\ar[ddl]_{y} & & \leftarrow & X\ar[ddr]^{x} & & & & & &\\&\\f(x)& & & = & & 3\ar[dd] & & & & & &\\&\\& & & & &g(x)=&3\ar[dd] & & & &\\& & & & & & & & & &\\& & & & & & h(x)=& 3\ar[dd]& & & &\\&\\& & & & & & &\dots\\}$$

Красиво, правда? Только красота эта называется порочный круг. Ваше объяснение, очевидно, несостоятельно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 111 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group