Интересный граф с 240 вершинами, натянутый на 3-сферу

[Droog_Andrey]

Имеется связный граф из $240$ эквивалентных друг другу вершин и $480$ эквивалентных друг другу рёбер, в котором каждая из вершин соединена четырьмя рёбрами с четырьмя другими вершинами.

Этот граф очень удобно рассматривать, натянув его на единичную $3$-сферу так, что длины всех рёбер равны. Декартовы координаты $(x; y; z; t)$ вершин в $4$-пространстве при этом можно задать следующим образом ($\varphi = \frac{\sqrt5+1}{2}$):

$1.$ Все чётные перестановки $(0; \pm\frac{1}{2\varphi}; \pm\frac12; \pm\frac{\varphi}{2})$ (всего $96$ вершин)
$2.$ $(\pm\frac12; \pm\frac12; \pm\frac12; \pm\frac12)$ (всего $16$ вершин)
$3.$ Все перестановки $(\pm1; 0; 0; 0)$ (всего $8$ вершин)
$4.$ Все перестановки $(\pm\frac{\varphi^2}{2\sqrt2}; \pm\frac{1}{2\varphi\sqrt2}; \pm\frac{1}{2\varphi\sqrt2}; \pm\frac{1}{2\varphi\sqrt2})$ с чётным количеством знаков "минус" (всего $32$ вершины)
$5.$ Все перестановки $(\pm\frac{\sqrt5}{2\sqrt2}; \pm\frac{1}{2\sqrt2}; \pm\frac{1}{2\sqrt2}; \pm\frac{1}{2\sqrt2})$ с нечётным количеством знаков "минус" (всего $32$ вершины)
$6.$ Все перестановки $(\pm\frac{1}{2\varphi^2\sqrt2}; \pm\frac{\varphi}{2\sqrt2}; \pm\frac{\varphi}{2\sqrt2}; \pm\frac{\varphi}{2\sqrt2})$ с чётным количеством знаков "минус" (всего $32$ вершины)
$7.$ Все перестановки $(\pm\frac{1}{\sqrt2}; \pm\frac{1}{\sqrt2}; 0; 0)$ (всего $24$ вершины)

Раскрасим $120$ вершин из первых трёх пунктов в белый цвет, а остальные - в чёрный. Оказывается, белые вершины являются вершинами правильного $600$-ячейника (см. вики), причём в каждой пятой тетраэдрической ячейке сидит чёрная вершина. Аналогичным образом чёрные вершины являются вершинами другого правильного $600$-ячейника, в $1/5$ ячеек которого сидят белые вершины. Каждое ребро графа соединяет вершины разного цвета; длина ребра составляет $\sqrt{2-\frac{\varphi^2}{\sqrt2}}$, а расстояние между ближайшими одноцветными вершинами равно $1/\varphi$ и является длиной ребра $600$-ячейника.

Вся $240$-вершинная конструкция является хиральной, т.е. если мы сменим чётность количества знаков "минус" в пунктах $4$, $5$ и $6$ списка координат, то полученное зеркальное отражение нельзя будет совместить с первоначальным графом с помощью одних лишь $4$-поворотов.

Вот так (или зеркально) выглядят ближайшие $16$ соседей белой вершины (помечена единичкой):

Видно, как для белой вершины ближайшие чёрные образуют правильный тетраэдр, а ближайшие белые - икосаэдр.

А вот так (или зеркально, опять же) выглядят ближайшие $58$ соседей:


Отчётливо видны шестичленные циклы (всего их $480$); в каждом таком цикле одна пара вершин находится на расстоянии $\sqrt{2-\sqrt2}$, а остальные пары теснее.

На этом "поле" можно создать аналог игры "го".

* * * * * * *

Мне так кажется, что такой симметричный граф уже должен быть известен и изучен. Есть ли какая-то информация о нём?

[ИСН]

Алмаз!
(Скорее даже лонсдейлит.)

[Droog_Andrey]

Вот именно что не алмаз и не лонсдейлит. Эти два друга - структуры в 3-пространстве с нулевой кривизной, там обычные "кресла". А тут шестичленные циклы в твист-конформации, и кривизна должна быть положительной, чтобы они сконденсировались.

[ИСН]

Да это понятно. Просто мелькнули небольшие узнаваемые фрагменты. Как если "из" графита свернуть фуллерен: ясно, что это что-то новое, но шестиугольники будут бросаться в глаза.

[Droog_Andrey]

Droog_Andrey в сообщении #313767 писал(а):

Отчётливо видны шестичленные циклы (всего их $480$); в каждом таком цикле одна пара вершин находится на расстоянии $\sqrt{2-\sqrt2}$, а остальные пары теснее.

Если раскрасить вершины в пять цветов (скажем, красный, жёлтый, зелёный, голубой и фиолетовый) так, чтобы любая вершина вместе со своими четырьмя соседями исчерпывала всю палитру, то в каждом цикле (здесь и далее речь идёт только о шестичленных циклах) будет только две вершины одного цвета, а именно те самые, расстояние между которыми $\sqrt{2-\sqrt2}$; назовём их крайними вершинами цикла, а остальные четыре - средними.

Таким образом, любая вершина графа является крайней для шести циклов и средней для двенадцати других циклов. Для каждой вершины есть шесть ближайших к ней вершин одного с ней цвета; они являются вершинами правильного октаэдра. На каждый цвет приходится $48$ вершин.

Например, все вершины, координаты которых перечислены в пунктах $2$, $3$, $7$ списка координат в заглавном сообщении темы, - одного цвета, причём $16$ вершин из пункта $2$ являются вершинами тессеракта, $8$ вершин из пункта $3$ лежат над центрами его кубических ячеек, а $24$ вершины из пункта $7$ - над центрами его граней (здесь "над" означает "на одном радиусе, но дальше от начала координат").

Если теперь каждую вершину затемнить или осветлить так, чтобы каждое ребро графа связывало одну затемнённую и одну осветлённую вершину (аналогично чёрно-белой раскраске в заглавном сообщении темы), то получим десять оттенков (тёмно-красный, светло-красный, тёмно-жёлтый, светло-жёлтый, ...). Каждая группа из $24$ вершин одного оттенка будет в этом случае представлять собой набор вершин правильного $24$-ячейника (см. вики), причём в каждой из пяти пар "светлый-тёмный" эти многоячейники будут двойственны друг другу с точностью до масштабирования.

[VAL]

Не оно?

[ИСН]

Нет, куда там. Это просто уродец какой-то по сравнению с.

[Droog_Andrey]

VAL, очевидно, что не оно.

Хотя по ссылке тоже $240$ вершин, и каждая соединена четырьмя рёбрами с четырьмя соседями, это менее симметричная структура, чем описанная в заглавном сообщении.

Добавил в заглавное сообщение условия эквивалентности, чтобы описание стало определением, а также внёс некоторые другие корректировки и уточнения.

[Droog_Andrey]

Гугл подсказал вот эту ссылку: http://elibrary.ru/item.asp?id=9117690

Текст статьи: http://www.unn.ru/pages/issues/vestnik/9999-0192_West_fisika_2001_1(4)/13.pdf

Цитата:

В политопе $\{3,3,5\}$ можно выбрать $120$ тетраэдров, центры которых образуют конгруэнтный ему политоп $\varphi\{3,3,5\}$, где $\varphi$ - энантиоморфное вращение в $E^4$, $O(4) \ni \varphi \notin [3,3,5]$; при этом в каждом икосаэдре из $\{3,3,5\}$ центрируются $4$ тетраэдра, центры которых образуют тетраэдр (рис. 1а). Соединение «белых» вершин исходного политопа $\{3,3,5\}$ с ближайшими к ним «черными» вершинами политопа $\varphi\{3,3,5\}$ приводит к образованию в $S^3$ энантиоморфной структуры из $240$ тетракоординированных вершин, соединенных $480$ ребрами, которые образуют неплоские гексациклы («твист-ванны»). Эта структура получила название нерегулярного политопа $\{240\}$ [2,3,4]. Граф политопа $\{240\}$ представляет собой регулярный бихроматический граф степени $4$ и обхвата $6$

Ещё одна статья, где упоминается сабж:
Талис А.Л. Конструкции алгебраической геометрии как основа моделирования тетраэдрических и тетракоординированных упорядоченных структур.
Текст доступен здесь: http://geoksc.apatity.ru/print/files/m5.pdf

Судя по всему, сабж был впервые описан ещё Кокстером: http://www.jstor.org/stable/91273

[Droog_Andrey]

Пытаюсь получить указанный набор вершин преобразованием системы корней E8. Как-то не получается пока...

P.S. Ещё одно упоминание в литературе: http://books.google.com/books?id=xSBLtJwFWc0C&pg=PA29

[Droog_Andrey]

Droog_Andrey в сообщении #313767 писал(а):

На этом "поле" можно создать аналог игры "го".

В игре участвуют два игрока, один играет зелёными шарами, другой - красными. Ходом является установка своего шара в любую свободную вершину графа либо объявление "пас". Первый ход делается красным шаром, далее игроки ходят поочерёдно. Окончанием игры является момент, когда оба игрока подряд объявили "пас".

Ребро графа становится красным, если соединяет вершины с красными шарами, и зелёным, если соединяет вершины с зелёными шарами.

Пока существуют вершины, не занятые шарами, для каждого шара должен существовать хотя бы один маршрут хотя бы к одной из них, не содержащий вершин с шарами противника. Шары, для которых это условие перестаёт выполняться, изменяют свой цвет на цвет шаров противника.

Побеждает игрок, окрасивший большее количество рёбер в свой цвет на момент конца игры.

[Kallikanzarid]

Монструозный граф

[INGELRII]

Droog_Andrey, Вы не пробовали искать все возможные изогоны и изоэдры в четырехмерном пространстве? Ваш граф вполне можно рассматривать как один из них.

[Droog_Andrey]

INGELRII, думаю, этот поиск был осуществлён задолго до меня

[INGELRII]

Droog_Andrey, не думаю. При гуглении слов "четырехмерные изоэдры" получаем кучу ссылок на БСЭ. Где гордо значится "на настоящий момент все четырехмерные изоэдры неизвестны". И еще горстка других ссылок, из которых трудно извлечь что-то вразумительное. Или может есть англоязычные опубликованные результаты? Не подскажете?