2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Избавиться от иррациональности в знаменателе
Сообщение25.06.2006, 15:57 


25/06/06
4
Подскажите, пожалуйста, как избавиться от иррациональности в знаменателе такой дроби:
1/(\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}).

Наверное, как-то похоже решается и такая задача:
найти многочлен с целыми коэффициентами минимальной степени, корнем которого является 1/(\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}).

Жду помощи!
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.06.2006, 17:38 


21/06/06
1661
Ну а что, разве нельзя выражение в знаменателе представить как сумму корней шестой степени?

 Профиль  
                  
 
 Re: Избавиться от иррациональности в знаменателе
Сообщение25.06.2006, 18:09 
Заслуженный участник


09/02/06
4238
Москва
$1/(\sqrt{2} + \sqrt[3]{3})=\frac{2-2^{1/2}3^{1/3}+3^{2/3}}{2^{3/2}+3}=(3-2\sqrt 2 )(2-2^{1/2}3^{1/3}+3^{2/3})$.
Вначале лучше найти многочлен для числа \sqrt{2} + \sqrt[3]{3} а потом поменяв коэффициенты перед старшим членом с коэффициентом перед нулевым и т.д. найдётся требуемый многочлен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2006, 09:18 


25/06/06
4
Как я понимаю, чтобы получить многочлен, нужно возводить \alpha = \sqrt{2} + \sqrt[3]{3} в некоторую степень, потом как-то преобразовывать выражение и снова возводить. В итоге, когда иррациональность исчезнет, получится некий многочлен, среди делителей которого и следует искать минимальный многочлен.
С более простыми случаями разобралась. Но с этим - что-то никак :(
Всё время лезет иррациональность.
В какие степени нужно возводить?
Помогите, пожалуйста!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2006, 10:23 


25/06/06
4
Можно ли поступать так?
$$
(x-\sqrt{2})^3 = 3
$$
$$
x^3 + 6x - 3 = \sqrt{2}(2 + 3x^2)
$$
$$
(x^3 + 6x - 3)^2 = 2(2 + 3x^2)^2
$$
$$
x^6 - 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 36x + 1 = 0
$$


Нужно ли проверять его на минимальность или само построение заведомо выдаёт минимальный многочлен?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2006, 15:38 


24/05/06
72
И вот так можно:
$$ x = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}}$$

$$ x(\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}) = 1$$

$$ x\sqrt{2} + x\sqrt[3]{3} = 1$$

$$ x\sqrt[3]{3} = 1 - x\sqrt{2}

$$ 3x^ 3 = (1 - x\sqrt{2})^3$$

$$ (3x^3 - 6x - 1) = \sqrt{2} (-3x - 2x^ 3)$$
далее возводим в квадрат обе части выражения.
Получаем:
$$x^ 6 - 36x^ 5 +12x^4 - 6x^3 -6x^ 2 +1 = 0$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2006, 15:45 
Заслуженный участник


09/02/06
4238
Москва
batsa писал(а):
Можно ли поступать так?
$$
x^6 - 6x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 36x + 1 = 0
$$
Нужно ли проверять его на минимальность или само построение заведомо выдаёт минимальный многочлен?

Отсюда уравнение для обратного легко записывается переставлением коэффициентов:
$x^6-36x^5+12x^4-6x^3-6x^2+1=0$
Неприводимость этого многочлена следует из того, что корнем этого многочлена являются и все сопряжённые, получающиеся присвоением других значений корней квадратных и кубических.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.06.2006, 16:09 


25/06/06
4
Спасибо за помощь!
Можно более подробно расшифровать вот эту фразу?

Руст писал(а):
Неприводимость этого многочлена следует из того, что корнем этого многочлена являются и все сопряжённые, получающиеся присвоением других значений корней квадратных и кубических.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.06.2006, 11:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
11499
с Территории
А что тут расшифровывать: у нас два разных значения \sqrt{2} и три разных значения \sqrt[3]{3}, ergo, у нас шесть разных значений \sqrt{2}+\sqrt[3]{3}, и все они - корни этого многочлена, то есть меньше шестой степени - никак.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group