Интегралы. Разложение на простейшие дроби.

[Mikle1990]

Сейчас в учебнике рассматриваю пример. Напишу часть его.

Найти интеграл $\int \frac{x^3-2x}{(x^2+1)^2}\,dx$

Решение. Так как $\frac{x^3-2x}{(x^2+1)^2} = \frac{Ax+B}{(x^2+1)^2} + \frac{Cx+D}{(x^2+1)} $
А теперь стоп
Как это они так разложили на простейшие дроби? Формулу знаю, но применять не очень получается.

Немного поразмышлял.
Написал вот так:

$\frac{x^3-2x}{(x^2+1)^2} = \frac{Ax}{(x^2+1)^2} +\frac{B}{(x^2+1)^2}+ \frac{Cx}{(x^2+1)} + \frac{D}{(x^2+1)} $

Ещё подумал над этим: $1\cdot x^3+0\cdot x^2-2\cdot x + 0\cdot x^0$
(как решать дальше я понимаю)

Но всё-таки я не понимаю как так разложили:
$\frac{x^3-2x}{(x^2+1)^2} = \frac{Ax}{(x^2+1)^2} +\frac{B}{(x^2+1)^2}+ \frac{Cx}{(x^2+1)} + \frac{D}{(x^2+1)} $

[ewert]

Теорема есть такая: правильная дробь единственным образом раскладывается на все возможные простейшие дроби вида ${A\over x-a}$, ${A\over(x-a)^2}$, ..., ${A\over(x-a)^2$, ${B\over x^2+px+q}$, ${B\over(x^2+px+q)^2}$, ${B\over(x^2+px+q)^k}$ и ${Cx\over x^2+px+q}$, ${Cx\over(x^2+px+q)^2}$, ${Cx\over(x^2+px+q)^k}$, где $k$ -- кратность соответствующего корня знаменателя.

Причина: это -- базис в линейном пространстве дробей вида ${P_{n-1}(x)\over Q_n(x)}$ (где знаменатель фиксирован, а числители -- какие угодно). Поскольку те простейшие дроби между собой линейно независимы, и их ровно столько, сколько нужно.

[Mikle1990]

Я даже не понимаю что такое $A,Bx,C...$ А почему $Bx$ c $x$, а $A$ - без?

Может ли кто-нибудь объяснить на моём примере, да так, чтоб самый тупой понял?(

[meduza]

Mikle1990
Это неопределённые коэффициенты, вы их потом из уравнений найдёте. Если в знаменателе простейшей дроби стоит многочлен без действительных корней (т. е. квадратный трёхчлен $x^2+px+q$, у которого дискриминант $p^2-4q<0$), то в числителе будет неопределённый многочлен первой степени (т. е. $Ax+B$, $Cx+D$,..), если же действительные корни будут (т. е. в знаменателе $(x-a)$ в какой-то степени), то в числителе будет просто неопр. коэффициент ($A$,$B$,..).

Почитайте это: http://www.ksu.ru/infres/zelt/N_int.pdf. И в учебнике наверняка есть разобраные примеры. Ну и в Демидовиче и Антидемидовиче тоже примерчики есть.

[ewert]

Mikle1990 в сообщении #290824 писал(а):

Может ли кто-нибудь объяснить на моём примере,

Хорошо, Ваш пример:

$$\frac{\alpha x^3+\beta x^2+\gamma x+\delta}{(x^2+1)^2} = \frac{Ax}{(x^2+1)^2} +\frac{B}{(x^2+1)^2}+ \frac{Cx}{(x^2+1)} + \frac{D}{(x^2+1)}.$$

Множество всех дробей слева (по всем возможным коэффициентам $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\delta$) -- это линейное пространство. Его размерность равна четырём (грубо говоря, поскольку коэффициентов четыре). Дроби справа (если взять вверху единичные коэффициенты) линейно независимы, т.е. ни одна из них не может быть получена как линейная комбинация остальных. Каждая из них входит в пространство левых дробей, т.е. является некоторым частным случаем дроби слева. И их тоже четыре штуки, т.е. их количество равно размерности пространства. Следовательно,это -- базис. Т.е. любая дробь слева может быть единственным образом представлена как некоторая их линейная комбинация. Т.е. для любого набора коэффициентов слева найдётся единственный набор коэффициентов справа, при котором равенство выполняется.

[Mikle1990]

Вот, может так я пойму.

$\frac{x^3-2x}{(x^2+1)^2} = \frac{Ax}{(x^2+1)^2} +\frac{B}{(x^2+1)^2}+ \frac{Cx}{(x^2+1)} + \frac{D}{(x^2+1)} $
1) Почему справа 4-ре слагаемых?
2) Почему у одних слагаемых в знаменателе $(x^2+1)^2$, а у других $x^2+1$ ?
3) Почему у некоторых слагаемых в числителе (Какая-то буква)$\cdot x$, а у других просто (Какая-то буква) ?

Очень сложно для меня

[ewert]

Mikle1990 в сообщении #290843 писал(а):

1) Почему справа 4-ре слагаемых?

Потому, что слева в числителе -- вообще говоря, тоже четыре. То, что два из них в этом примере нулевые, дела не меняет: метод-то общий.

Mikle1990 в сообщении #290843 писал(а):

2) Почему у одних слагаемых в знаменателе $(x^2+1)^2$, а у других $x^2+1$ ?

Потому, что если в исходном знаменателе стоит $(x^2+1)$ в некоторой степени, то после разложения дробь с такой степенью, конечно, тоже должна присутствовать. Но и появления любой меньшей степени исключить нельзя. Вот аналогия: как раскладывается на простейшие $\dfrac{2x^3+4x^2+5x+7}{x^4}$ ?...

Mikle1990 в сообщении #290843 писал(а):

3) Почему у некоторых слагаемых в числителе (Какая-то буква)$\cdot x$, а у других просто (Какая-то буква) ?

Потому, что, например, $\dfrac{5x+6}{x^2+1}$ никак не может быть представлена в виде $\dfrac{Bx}{x^2+1}$. И в виде $\dfrac{C}{x^2+1}$ тоже. А вот в виде $\dfrac{Bx+C}{x^2+1}$ -- может.

[Mikle1990]

Спасибо всем. Буду думать.

Тема ещё не исчерпана.

[bot]

(Оффтоп)

Если учесть, что числитель нечётный многочлен, то можно обойтись без разложения на простейшие: отрываем от числителя множитель $x$ и заносим его под дифференциал. При $t=x^2+1$ получаем $\frac12\int (\frac{1}{t}-\frac{3}{t^2})\, dt$

[vvvv]

Mikle1990, почитайте Курс высшей алгебра А.Г. Куроша параграф 25 - Рациональные дроби

[Mikle1990]

Ну что это вообще такое(
Уже и гуглил и в книгах смотрел, но все-равно не понимаю. Везде уже рассчитано, что я дофига знаю...
У меня школа не математическая была

$\frac{x^3-2x}{(x^2+1)^2} = \frac{Ax}{(x^2+1)^2} +\frac{B}{(x^2+1)^2}+ \frac{Cx}{(x^2+1)} + \frac{D}{(x^2+1)} $

В числителе стоит: $x^3-2x$
Вопрос: Куда это исчезает?

$Ax$ - значит ли это то, что А какое-то число умноженное на $x$? И почему в $Ax$, $x$ - всегда в первой степени?


1) Почему справа 4-ре слагаемых?

ewert в сообщении #290846 писал(а):

Потому, что слева в числителе -- вообще говоря, тоже четыре. То, что два из них в этом примере нулевые, дела не меняет: метод-то общий.

А почему нулевых слагаемых 2, а не 10, 20, 100000? И откуда они вообще взялись?


Я вообще ничего не понимаю

[ИСН]

Старшина так сказал. Не ломайте голову. Ваше дело - найти A, B, C...

[ewert]

Mikle1990 в сообщении #291039 писал(а):

В числителе стоит: $x^3-2x$
Вопрос: Куда это исчезает?

Никуда, так и остаётся. Вы же вроде жаловались только на вид правой части, а дальнейшее Вам понятно, не так ли?...

Mikle1990 в сообщении #291039 писал(а):

И почему в $Ax$, $x$ - всегда в первой степени?

Потому, что от возможного икса в первой степени в числителе избавиться никак нельзя, разве что случайно повезёт (и я Вам объяснял,почему). А вот ото всех высших степеней -- можно.

Mikle1990 в сообщении #291039 писал(а):

А почему нулевых слагаемых 2, а не 10, 20, 100000? И откуда они вообще взялись?

[/quote]
Потому, что там так написано в Вашей конкретной задаче, а мог бы в числителе слева стоять вообще любой многочлен третьей степени -- вид, в котором надо искать правую часть, от этого совершенно не закисит. Вы не в ту сторону думаете.

[meduza]

$$\begin{gathered} \frac{x^5+2x^4+3x^3+4x^2+5x+6}{(x-7)^4 (x^2+8)^3 (x+9)}\equiv \underbrace{\frac{A}{(x-7)^4}+\frac{B}{(x-7)^3}+\frac{C}{(x-7)^2}+\frac{D}{x-7}}_{\text{это от $(x-7)^4$, корни которого {\it действительные}}}+\\ +\underbrace{\frac{Ex+F}{(x^2+8)^3}+\frac{Gx+H}{(x^2+8)^2}+\frac{Kx+L}{x^2+8}}_{\text{это от $(x^2+8)^3$, у которого {\it нет действ. корней}}}+ \underbrace{\frac{M}{x+9}}_{\text{это от $x+9$ с {\it действит. корнем}}}\end{gathered}$$

Фирштейн?

[AD]

Mikle1990 в сообщении #291039 писал(а):

Вопрос: Куда это исчезает?

$$\frac{Cx}{x^2+1}=\frac{Cx(x^2+1)}{(x^2+1)^2}$$