2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Объект, дифференциал которого вектор -- что это?
Сообщение22.01.2010, 11:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3361
zbl всё правильно говорит. Просто путаница возникла с дифференциалом как внешней формой - результатом действия оператора внешнего дифференцирования на другие формы и c дифференциалом как вектором - набором компонент - приращений координат точки. В последнем смысле о нем и говорит zbl.

-- Пт янв 22, 2010 11:53:44 --

Внешний дифференциал действует на поля,заданные в окрестности точки, а просто дифференциал можно брать например вдоль кривой. Только это не тензорная это операция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объект, дифференциал которого вектор -- что это?
Сообщение22.01.2010, 11:57 


20/04/09
1067
Padawan в сообщении #282554 писал(а):
zbl всё правильно говорит.

вот это правильно:
zbl в сообщении #281525 писал(а):
дифференциал координаты -- вектор, так как преобразуется по закону $dx=\frac{\partial x}{\partial x'}dx'$.

и вот это правильно
zbl в сообщении #282105 писал(а):
Дифференциал скаляра поэтому скаляр.

ну-ну

 Профиль  
                  
 
 Re: Объект, дифференциал которого вектор -- что это?
Сообщение22.01.2010, 12:02 
Заслуженный участник


11/05/08
30410
Padawan в сообщении #282554 писал(а):
а просто дифференциал можно брать например вдоль кривой

угу. Только это -- просто производная сложной функции в конечном счёте от одной скалярной переменной. Сиречь -- просто вектор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объект, дифференциал которого вектор -- что это?
Сообщение22.01.2010, 12:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3361
Есть кривая $x^i=x^i(t)$. Набор чисел $x'^i(t_0)=\frac{dx^i(t_0)}{dt}$ образуют вектор в точке $x^i(t_0)$. Тогда вектором $dx^i(t_0)=x'^i(t_0)dt$ тоже будет вектором в этой точке. Это и есть дифференциал координат точки. Его значение зависит от величины $dt$. Короче - дифференциал точки(=радиус-вектора) - главная линенйная часть приращения ее координат. Я повторяю, то что говорил zbl. Есть операция абсолютного дифференцирования - она тензорная, и тензорные поля (например, заданные вдоль кривой) переводит в тензорные поля того же типа. В случае скалярного поля она совпадает (вычислительно) просто с взятием дифференциала функции.

-- Пт янв 22, 2010 12:28:52 --

Вопрос топикстартеру: а что такое дифференциал какого-либо объекта, кроме координат? Просто вычисленный в какой-либо системе координат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объект, дифференциал которого вектор -- что это?
Сообщение22.01.2010, 17:23 
Заслуженный участник


14/12/06
874
А ларчик, оказывается, просто открывался.
Не существует нужного мне геометрического объекта: достаточно общий вид закона преобразования продифференцировать, и это станет ясно.
Нужный мне зверь просто не геометрический объект.
Закон его преобразования зависит от преобразования координат, от того, с каких именно координат на какие именно мы переходим.
Если в качестве закона преобразования многокомпонентной величины взять само преобразование координат, то получится, что дифференциал как раз и вектор.
Вопрос ветки для меня теперь исчерпался.

Padawan в сообщении #282572 писал(а):
Вопрос топикстартеру: а что такое дифференциал какого-либо объекта, кроме координат? Просто вычисленный в какой-либо системе координат?

Так ну.
Берём две близкие точки, получаем приращение компонент вектора при переходе из одной в другую -- это и есть дифференциал вектора.
В криволинейных координатах такой дифференциал вектором не является.

Padawan, Вам низкий от меня поклон за понимание.
Остальным так же приношу глубокую признательность за то, что они помогли мне начать понимать статью Арнольда про ненависть к математике; обязательно перечитаю её...

 Профиль  
                  
 
 Re: Объект, дифференциал которого вектор -- что это?
Сообщение14.01.2011, 07:29 


04/04/06
324
Киев, Украина
Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!

Мне кажется, что эта приостановившаяся острая дискуссия и дискуссия в физическом разделе Какие три функции координат образуют векторное поле? . topic38647.html представляют собой звенья одной цепи. Однако, если бы все участники обсуждения topic38647.html знали об этой дискуссии, то, вероятно, воздержались бы от поспешных эмоциональных комментариев по поводу цитаты из учебника "не всякие три функции координат образуют векторное поле".
Давайте посмотрим отдельные цитаты из сообщений участников обсуждений обеих тем:
zbl в сообщении #282478 писал(а):

…Мне же нужна, если она вообще есть, многокомпонентная величина, дифференциал которой преобразуется как вектор, но координатного преобразования от любых координат к её компонентам не существует.
То есть, есть векторное поле с отличным от нуля ротором и эти векторы равны дифференциалам некоторого зверя, как тот зверь называется, если он вообще существует? как он преобразуется при преобразовании координат?

paha в сообщении #387959 писал(а):
Разумеется, тогда не любая "функция координат" есть вектор. Например, градиент скалярной функции -- не вектор.

Анализируя эти высказывания из разных тем, можно сделать вывод, что оба они подтверждают послужившую поводом для дискуссии фразу из учебника "не всякие три функции координат образуют векторное поле". Ответ на вопрос как тот зверь называется, если он вообще существует? и подтверждение, что градиент скалярной функции -- не вектор содержатся здесь
Александр Козачок в сообщении #380314 писал(а):
…Таким образом общее требование к трем функциям, которые должны образовать векторное поле – это возможность их представления в виде функций одной и той же вспомогательной переменной…
Александр Козачок в сообщении #387642 писал(а):
…После преобразования этих формул получены соотношения, которым должны удовлетворять компоненты сложной вектор-функции, зависящей от одного вспомогательного аргумента

$\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }}
\]$

Это и есть те
необходимые
условия, которым должны соответствовать три функции, формирующие векторное поле в декартовой системе координат.
Упомянутое выше по сути дела представляет собой предварительные итоги двух совершенно независимых дискуссий, посвященных общей проблеме.
А теперь, я надеюсь, что профессионалы смогут сформулировать основные направления неизбежного пересмотра традиционных представлений в этой области знаний и оценить последствия такого пересмотра. Например, каковы последствия признания, что градиент скалярной функции -- не вектор
для Уравнений Эйлера идеальной жидкости

$ \[
\rho \vec F - \operatorname{grad} p = \rho \ddot \vec u
\]$

Или, скажем, для основной теоремы векторного анализа о расщеплении векторного поля на потенциальное и соленоидальное. Или хотя бы для формулы

$\[
\operatorname{rot} _{} \operatorname{rot} \dot \vec u = \operatorname{grad} _{} div\dot \vec u - \nabla ^2 \dot \vec u
\]$

Поскольку градиент не вектор, то что это означает для лапласиана и ротора?
Таких «что означает» в различных областях знаний теперь, вероятно, появится предостаточно.

С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
 
 Re: Объект, дифференциал которого вектор -- что это?
Сообщение24.01.2011, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3441
Швеция
Александр Козачок
Не надо притворяться полным ..., у Вас слишком естественно получается.
Вам в двух темах подробно объяснили, что,
пока не рассматривается поведение при замене координат,
любой набор трех функций является вектор-функцией.

Различие появляется лишь при рассмотрении замен переменных. Градиент тогда-не вектор, а ковектор.

Но даже это различие исчезает, когда фиксирована риманова метрика.
Александр Козачок в сообщении #399687 писал(а):
Александр Козачок в сообщении #387642 писал(а):
…После преобразования этих формул получены соотношения, которым должны удовлетворять компоненты сложной вектор-функции, зависящей от одного вспомогательного аргумента

$\[ \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_i }} \]$

Это и есть те
необходимые условия, которым должны соответствовать три функции, формирующие векторное поле в декартовой системе координат.


Это же полный бред!!! Вам опять же многократно объясняли. Перестаньте хвастаться своим неумением дифференцировать!

 Профиль  
                  
 
 Re: Объект, дифференциал которого вектор -- что это?
Сообщение03.02.2011, 23:22 


04/04/06
324
Киев, Украина
Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!

shwedka в сообщении #403945 писал(а):
Александр Козачок
Не надо притворяться полным ..., у Вас слишком естественно получается.

Ваше …я успел прочитать до правки. И хорошо Вас понимаю. В подобной ситуации сдержать негативные эмоции непросто. Хочу еще сказать, что это сравнение меня не огорчило, если не принимать во внимание, что Ваши непроходящие проблемы с научной этикой сказываются на рейтинге Научного Форума. Ведь подумайте сами: если профессиональный математик после длительных обсуждений не находит убедительных аргументов, кроме всплеска негативных эмоций, то значит затронут архиважный вопрос.
Цитата:
Вам в двух темах подробно объяснили, что,
пока не рассматривается поведение при замене координат,
любой набор трех функций является вектор-функцией.
Не объяснили, мне кажется, а настойчиво утверждали, и в основном Вы, забывая применить по отношению к себе Ваше любимое « Доказательство в студию». К тому же я не уверен, что еще кто-то из участников обсуждения все еще разделяет Вашу позицию.
Цитата:
Различие появляется лишь при рассмотрении замен переменных. Градиент тогда-не вектор, а ковектор.
А Вы попытайтесь это Ваше утверждение положить в основу при формулировании ответа на поставленный мною вопрос:
Александр Козачок в сообщении #399687 писал(а):
каковы последствия признания, что градиент скалярной функции -- не вектор
для Уравнений Эйлера идеальной жидкости

$ \[
\rho \vec F - \operatorname{grad} p = \rho \ddot \vec u
\]$

Или, скажем, для основной теоремы векторного анализа о расщеплении векторного поля на потенциальное и соленоидальное. Или хотя бы для формулы

$\[
\operatorname{rot} _{} \operatorname{rot} \dot \vec u = \operatorname{grad} _{} div\dot \vec u - \nabla ^2 \dot \vec u
\]$

Поскольку градиент не вектор, то что это означает для лапласиана и ротора?

И почему Вас волнует только градиент? Ведь эта тема годичной давности изначально посвящена другому объекту с аналогичными проблемами. Но до моего комментария Вы почему-то эту тему не замечали. А по поводу градиета в другой теме
Александр Козачок в сообщении #388338 писал(а):
… для улучшения взаимопонимания поясните, пожалуйста, эту ситуацию на Вашем же конрпримере; имеется предполагаемый вектор с нулевым ротором и нулевой дивергенцией, компоненты которого $\[
x,y, - 2z
\]$. Скажите, пожалуйста, какими формулами и соответствующими авторитетними ссылками Вы можете подтвердить, что три функции $\[
x,y, - 2z
\]$ действительно образуют векторное поле, т.е. являються компонентами вектор-функции.
«Конрпример убивает теорему». Это когда-то, по-моему, сказала shwedka.
Тогда и проясним ситуацию где находится истина в этой дискуссии
Покажите хотя бы, что ротор будет нулевым, т.е. повороты элеметарного объема будут отсутствовать при любой ориентации системы координат.
shwedka в сообщении #403945 писал(а):
Александр Козачок в сообщении #399687 писал(а):

$\[ \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_i }} \]$
Это и есть те
необходимые условия, которым должны соответствовать три функции, формирующие векторное поле в декартовой системе координат.

Это же полный бред!!! Вам опять же многократно объясняли.
Но ведь именно эти формулы дают ответ, каким требованиям должен отвечать « Объект, дифференциал которого вектор». Этот объект должен быть истинным вектором, т.е. удовлетворять упомянутым выше необходимым условиям. К тому же после длительной и весьма жесткой дискуссии по поводу вывода этих же формул
Вы в сообщении #139088 писал(а):
И до чего же увлекательно присутствовать при создании новой математики и даже своим скромным поддакиванием в том соучаствовать.
_________________
Думать полезно…
Однако два с половиной года назад ни я, ни Вы, вероятно, не думали, что эти формулы дадут дополнительные импульсы к обсуждению не только новых направлений исследований, но и необходимости пересмотра устоявшихся фундаментальных представлений. И вот, видите, в ходе этих обсуждений выяснилось, что такие импульсы уже были и раньше, причем в разных университетских учебниках.
А вот еще пример Ваших полярных заключений, навеянных эмоциями, причем, по однму и тому же поводу, но в разное время:
Цитата:
Перестаньте хвастаться своим неумением дифференцировать!
shwedka в сообщении #160777 писал(а):
Александр Козачок дифференцировать и комбинировать умеет, в чем ему не откажешь. Руками машет отменно. Наукообразной терминологией владеет.Книжек начитался.
Не подумайте, что этой подборкой цитат я хочу Вас обидеть. Я с пониманием воспринимаю украшенную эмоциями критику shwedk-и, как своего давнего и талантливого оппонента, которого считал и считаю одним из лучших эрудитов Форума. Поэтому хочу, чтобы Вы стали еще лучше. Для Международного Научного Форума научная этика - фактор немаловажный.
Мне кажется, при обсуждении спорных вопросов следует привыкнуть к мысли, что какая-то одна или даже обе спорящие стороны ошибаются. Поэтому следует брать пример с наших предшественников. Великие математики Эйлер и Даламбер тоже много лет спорили. А это значит, что кто-то из них или оба в чем-то ошибались. И, тем не менее, несмотря на их ошибки и печальные последствия этих ощибок для различных приложений, они остаются для нас и будущих поколений Великими. Свое отношение к этим печальным последствиям, связанным с незавершенностью дискуссии Эйлера и Даламбера и ставших азбучными истинами для прикладников, я сформулировал здесь http://a-kozachok1.narod.ru/first.doc . Поэтому призываю Вас и других участников Научного Форума аналогичным образом отнестись и к ошибкам других наших выдающихся предшественников, имена которых были названы при обсуждении тем topic38647.html , topic29521.html . Нашему Форуму, и поэтому всем нам, выпала такая честь разобраться в этих ошибках и дать действенный импульс для анализа их последствий в различных областях знаний.
Успеха Вам в решении этих необычйно тяжелых задач!

С уважением,
Александр Козачок

 Профиль  
                  
 
 Re: Объект, дифференциал которого вектор -- что это?
Сообщение04.02.2011, 00:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3441
Швеция
Цитата:
каковы последствия признания, что градиент скалярной функции -- не вектор
для Уравнений Эйлера идеальной жидкости

$ \[ \rho \vec F - \operatorname{grad} p = \rho \ddot \vec u \]$

Или, скажем, для основной теоремы векторного анализа о расщеплении векторного поля на потенциальное и соленоидальное. Или хотя бы для формулы

$\[ \operatorname{rot} _{} \operatorname{rot} \dot \vec u = \operatorname{grad} _{} div\dot \vec u - \nabla ^2 \dot \vec u \]$

Поскольку градиент не вектор, то что это означает для лапласиана и ротора?

Да никаких последсвий. Поскольку мы не интересуемся здесь заменами переменных, то, как Вам много раз объясняли, и не только я, разница нежду векором и ковектором неощутима, имеется каноническое отождествление.

Так что ответ. Никаких последствий.

Цитата:
Покажите хотя бы, что ротор будет нулевым, т.е. повороты элеметарного объема будут отсутствовать при любой ориентации системы координат.

Ротор преобразуется естественным образом, умножением на матрицу преобразования координат. Нулевой вектор при омножении на любую матрицу дает нулевой вектор. Вот и все доказательство.


Цитата:
shwedka в сообщении #403945 писал(а):
Александр Козачок в сообщении #399687 писал(а):

$\[ \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_i }},_{} \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x_i }} \]$
Это и есть те
необходимые условия, которым должны соответствовать три функции, формирующие векторное поле в декартовой системе координат.

Это же полный бред!!! Вам опять же многократно объясняли.
Но ведь именно эти формулы дают ответ, каким требованиям должен отвечать « Объект, дифференциал которого вектор». Этот объект должен быть истинным вектором, т.е. удовлетворять упомянутым выше необходимым условиям. К тому же после длительной и весьма жесткой дискуссии по поводу вывода этих же формул


Дискуссия по поводу вывода этих формул состояла в указании многочисленных Ваших ошибок.

Цитата:
Это и есть те
необходимые условия, которым должны соответствовать три функции, формирующие векторное поле в декартовой системе координат.

Это утверждение Вами никогда доказано не было.
Более того, Вы, несмотря на мои многочисленные просьбы, так и не сподобились
привести такое определение вектор-функции, которое ВЫ признаете.

Пока Вы такое определение не дадите, любая дискуссия на эту тему контрпродуктивна.

-- Чт фев 03, 2011 23:04:00 --

Я приведу цитаты из нескольких книг по векторному анализу, взятых наугад.

Фиников. Векторный анализ.Гл. 2. Стр.139.
Цитата:
Любые три функции образуют векторное поле.

(Вопрос о замене системы координат не рассматривается)

Шилов, Лекции по векторному анализу. Стр.9
Векторное поле:
Цитата:
каждой точке области пространства сопоставлен вектор.


(Вопрос о замене системы координат не рассматривается)

Кочин. векторное исчисление и начала тензорного анализа. §11 Стр.101
Цитата:
задание векторного поля равносильно заданию трех скалярных функций.

В этой части Вопрос о замене системы координат не рассматривается.
Далее, в гл. 4, §3, в общей теории векторов и тензоров рассматривается вопрос о замене.. Вводится понятие ковариантных и контравариантных векторов -- векторов и ковекторов в современной терминологии. Об*ясняется разница.В частносси, объясняется все про градиент.

Борисенко, Тарапов, векторный анализ и начала тензорного исчисления.
Раздел 2.3, стр 55-58

Цитата:
Три числа или функции, определяющие вектор, меняются
при изменении пространственной системы координат, но по
такому закону, что в любой из координатных систем они опре-
деляют один и тот же вектор.


Вводится понятие ковариантных и контравариантных векторов, и далее там же

Если в пространстве задан вектор А, то его компоненты А{
определятся, если выбрана какая-то система (К) декартовых
координат.

На стр. 58 написано именно то, что Вы отказываетесь понять.

Цитата:
Вектор—это величина, определяемая в любой системе коор-
динат тремя числами (или функциями) , которые при изме-
нении пространственной системы координат преобразуются в
по закону
....
Три величины являются компонентами вектора.
Обратно, если при изменении пространственной системы коор-
динат три числа изменяются по закону B.6), то эти числа
определяют вектор.
Если компоненты вектора заданы в одной системе декартовых
координат (К), то, используя закон B.6) преобразования ком-
понент вектора, можно определить компоненты в любой дру-
гой системе, оси которой составляют с осями первой системы
углы с косинусами ....



Г. Лаптев. Элементы векторного исчисления.
Гл. 14. стр.239.
Цитата:
1. Если в каждой точке пекоторой части пространства
определен вектор -В, то говорят, что в этой части простран-
ства определено векторное поле (поле вектора К). Иначе
говоря, векторное поле определяется заданием переменного
вектора Л, который становится определенным вектором в
каждой точке рассматриваемой части пространства. Этот
переменный вектор R называется вектором поля.
В каждом конкретном случае вектор поля изображает
какую-либо конкретную физическую величину.


И так во всех источниках, без счета.



Все они подтверждают то, что я и другие вам втолковывали.
В фиксированной системе координат любые три функции задают векторное поле.


Вы сможете привести хотя бы один аргумент в противоположную сторону, кроме неправильно понятой цитаты из Лойцянского и своих вычислений с детскими ошибками?

Но никакого обсуждения не будет, пока Вы не приведете определение векторного поля, с которым Вы согласны.
И никакие разговоры типа ...
прежде разберемся... не принимается. Определение на стол!

 Профиль  
                  
 
 Re: Объект, дифференциал которого вектор -- что это?
Сообщение16.02.2011, 00:43 


04/04/06
324
Киев, Украина
Глубокоуважаемые Участники Научного Форума!

Создается впечатление, что shwedka считает меня автором этой темы и поэтому своим утверждением противоречит ее названию:
shwedka в сообщении #408820 писал(а):
…я и другие вам втолковывали.
В фиксированной системе координат любые три функции задают векторное поле.
Задают-то поле, но не обязательно векторное, которое лишь может оказаться векторным, если удовлетворяет дополнительным требованиям.
Цитата:
Вы сможете привести хотя бы один аргумент в противоположную сторону, кроме неправильно понятой цитаты из Лойцянского и своих вычислений с детскими ошибками?
Пример? А вот он перед Вами, вытекающий после осмысления названия темы, автор которой пока молчит.

Но, давайте без лишних эмоций, попытаемся разобраться по частям. Например, в любой прямоугольной декартовой и, как Вы добавляете
фиксированной, системе координат
общеизвестные выражения для компонент ускорения имеют вид

$\[
\begin{gathered}
  \hfill \ddot u_x  = \frac{{d\dot u_x }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}, \\
  \hfill \ddot u_y  = \frac{{d\dot u_y }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}, \\
  \hfill \ddot u_z  = \frac{{d\dot u_z }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}. \\ 
\end{gathered} 
\]$

Поле, которое задают эти три объекта, традиционно считается векторным в авторитетных учебниках и не только. Однако, если эти выражения представляют собой компоненты истинного вектора, то дивергенция этого вектора даст скаляр. Этот вопрос уже обсуждали:
paha в сообщении #388668 писал(а):
дивергенция истинного векторного поля всегда скаляр, в какой бы системе координат мы ее не вычисляли

можете перечитать (или прочитать, если до сих пор не читали) 83 "Теории поля" Ландау и Лифшица -- там говорится о том же, только авторитетней
Проверим это авторитетное утверждение, записав выражение для дивергенции

$\[
\begin{gathered}
  \operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{{\partial \ddot u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \ddot u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \ddot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \dot \vec u +  \\ 
   + \left[ {\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}} \right)^2  + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}} \right)^2  + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}} \right)^2  + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}} \right)} \right] \\ 
\end{gathered} 
\]$

Как видите, из этого выражения можно получить

$\[
\operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{d}
{{dt}}\operatorname{div} \dot \vec u + (\operatorname{div} \dot \vec u)^2 
\] $

Но для этого необходимо соблюсти дополнительное условие

$\[
\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}} \right)^2  + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}} \right)^2  + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}} \right)^2  + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}} \right) = (\operatorname{div} \dot \vec u)^2 
\]$

Это условие, в свою очередь, может быть выполнено, если

$\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}
\]$

Это означает, что входящие в исходные соотношения величины должны быть компонентами истинного вектора. В этом случае, как видите из третьего по порядку выражения, получается и то, что вызывает Вашу постоянную критику
shwedka в сообщении #388619 писал(а):
У него уже давняя и бредовая идея о занулении дивергенции ускорения.
Дивергенция истинного вектора ускорения равна нулю при нулевой дивергенции скорости

Именно эти формулы и дают ответ, каким требованиям должен отвечать « Объект, дифференциал которого вектор». Этот объект должен быть истинным вектором, т.е. удовлетворять упомянутым выше необходимым условиям.

Я уже отмечал в другой теме, что мы прикоснулись лишь к вершине айсберга. Открытий здесь будет предостаточно. Работы хватит всем желающим и математикам, и физикам. И я надеюсь среди авторов этих открытий увидеть Вас, shwedka, и других участников наших дискуссий. Вот, например, попробуйте проверить решение jormakka для уравнений Навье-Стокса на соответствие упомянутым требованиям.

С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
 
 Re: Объект, дифференциал которого вектор -- что это?
Сообщение16.02.2011, 01:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3441
Швеция

(Оффтоп)

Александр Козачок в сообщении #413473 писал(а):
Задают-то поле, но не обязательно векторное, которое лишь может оказаться векторным, если удовлетворяет дополнительным требованиям.

Не доказано.
Александр Козачок в сообщении #413473 писал(а):
Как видите, из этого выражения можно получить

$\[ \operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{d} {{dt}}\operatorname{div} \dot \vec u + (\operatorname{div} \dot \vec u)^2 \] $

Но для этого необходимо соблюсти дополнительное условие


Цитата:
Как видите, из этого выражения можно получить....

А можно и не получать. Обоснования этого равенства Вы не даете. И не сможете.
При наложении дополнительных условий можно получить что угодно.
Вы очень хотите, чтобы дивергенция ускорения равнялась нулю. Ради этого накладываете разные глупые условия. Но ДОКАЗАТЬ, что дивергенция ускорения равна нулю, Вы за 5 лет так и не смогли. Все попытки содержали грубые ошибки.
Или очень грубые.
или
Цитата:
Как видите, из этого выражения можно получить

$\[ \operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{d} {{dt}}\operatorname{div} \dot \vec u +777 (\operatorname{div} \dot \vec u)^2 \] $

И для этого небходимо условие...

Цитата:
Как видите, из этого выражения можно получить

$\[ \operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{d} {{dt}}\operatorname{div} \dot \vec u +|u|^2(\operatorname{div} \dot \vec u)^2 \] $

И для этого небходимо условие...


Цитата:
Это означает, что входящие в исходные соотношения величины должны быть компонентами истинного вектора.


Можно произвольным образом задать, что хочется получить, и указать необходимые для того условия, или достаточные. Вы их не различаете.


Цитата:
Это условие, в свою очередь, может быть выполнено, если

$\[ \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_x }} {{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_y }} {{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }} {{\partial y}} \]$


На это вранье я Вам указывала 3 года назад. Из того, что сумма выражений равна нулю, не следует, что каждое из них равно нулю. А Вы решили, что я забыла. Так что, жульничаете!!

понятие истинного вектора не определено. Вы категорически отказываетесь дать определение вектор-функции, с которым Вы согласны.
Такое поведение для Вас типично. Ведь только Вы зафиксируете определение или формулировку, вы становитесь беззащитны против разоблачающих Вас примеров или рассуждений, основанных на этом определении или этой формулировке.

А.Козачок по-прежнему отказывается Дать то определение понятия векторного поля, которое ОН признает. При отсутствии такого определения всякое обсуждение контрпродуктивно.
Цитата из достойного автора, вполне подходящая к данному конкретному случаю.
Цитата:
Видите ли, Вы здесь далеко не первый "опровергатель" , и всем уже давно надоело объяснять очевидные вещи. Ваше поведение совершенно типично: Вы считаете всех математиков за последние сто с лишком лет полными идиотами, неспособными разобраться в элементарной конструкции, при этом сами несёте полную чушь, не в состоянии что-либо внятно объяснить и категорически отвергаете любые возражения или объяснения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объект, дифференциал которого вектор -- что это?
Сообщение16.02.2011, 16:51 


12/09/06
617
Черноморск
Прошу прощения, что вмешиваюсь в давний спор. Очень жаль, что нет ссылки на связное изложение идей автора. Очень трудно в точности понять о чем идет речь по форумным баталиям. Возможно, я чего-то не улавливаю и скажу глупость. Но формулы, приведенные выше производят впечатление правильных. Во всяком случае, следующее утверждение, видимо, верно.
Утверждение.
Если выполняются условия автора (в форме трех равенств для произведений частных производных от компонент скорости), то дивергенция ускорения выражается через дивергенцию скорости, как это записано выше.
Если бы автор занумеровал свои формулы, то это облегчило бы формулировки.

Насколько я сумел понять, автор считает, что истинное векторное поле это такое поле, у которого из равенства нулю дивергенции скорости следует равенство нулю дивергенции ускорения.
Возможно, в этом есть определенный физический смысл.Если нет источника скорости, то нет источника и ускорения. Автор нашел некие достаточные условия (конечно, не необходимые, как он сам пишет) для "истинности" поля. Если бы еще привести пример конкретных функций, которые удовлетворяют этому условию, то это убедило бы, что это условие не тривиально, и что оно не глупое или умное, а условие как условие. Каких тысячи в математике.
Мне кажется, что я понял автора (если не ошибаюсь). Но вот не переоценивает ли он важность своего условия, это я не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объект, дифференциал которого вектор -- что это?
Сообщение16.02.2011, 16:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3441
Швеция
В.О. в сообщении #413689 писал(а):
Возможно, в этом есть определенный физический смысл.Если нет источника скорости, то нет источника и ускорения.

Никакого физического смысла нет. Зануление дивергенции скорости означает несжимаемость, а вовсе не какие-то источники. А зануление дивергенции ускорения ничего не означает, кроме непомерных амбиций автора, желающего переписать все учебники.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объект, дифференциал которого вектор -- что это?
Сообщение16.02.2011, 17:19 


12/09/06
617
Черноморск
shwedka в сообщении #413693 писал(а):
Зануление дивергенции скорости означает несжимаемость, а вовсе не какие-то источники.

Не совсем верно. Несжимаемость жидкости это постоянство ее плотности http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1% ... 1%82%D0%B8 А зануление дивергенции скорости это закон сохранения массы в замкнутом объеме.
Если же в объеме есть какие-то источники или стоки, нарушающие закон сохранения, то дивергенция описывает их производительность. Это стандартная интерпретация дивергенции.
В любом случае, все это слова. Если приведенное выше Утверждение верно, то оно имеет право на существование. Можно спорить лишь о его значении.
Мне оно кажется интересным. Но это, конечно, субъективное мнение. Нужны другие следствия авторского условия. Например, что будет с дивергенциями высших производных? Занулятся или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объект, дифференциал которого вектор -- что это?
Сообщение16.02.2011, 19:03 


23/05/09
192
В.О. в сообщении #413706 писал(а):
А зануление дивергенции скорости это закон сохранения массы в замкнутом объеме.

Нет. Сохранение массы - это и есть уравнение неразрывности $$\frac{d\rho}{dt}+\rho div\,v=0$$ как видно зануление дивергенции тут не достаточное условие. Только для однородной жидкости ($\rho=const$) ваше утверждение верно. Зануление дивергенции - это в точности равенство нулю объемной деформации, то есть несжимаемость. Это можно посмотреть в любой монографии, хоть в Гольдштейне, хоть в Жермене, хоть в Трусделле.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 49 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group