друзья нужна ваша помощь: тройной интеграл

[stan]

дано: А(2,0,2),В(0,0,2),С(2,3,2),Д(2,0,0)
нужно вычислить тройной интеграл $(-2x+y+4z)dxdydz$

сам интеграл считать долго,подскажите пожалуйста хотя бы,какие здесь будут пределы интегрирования??

От модератора AD:

Впредь выбирайте хоть чуть-чуть информативный заголовок. Сейчас сам поправил.

[AD]

stan в сообщении #272435 писал(а):

дано: А(2,0,2),В(0,0,2),С(2,3,2),Д(2,0,0)
нужно вычислить тройной интеграл $(-2x+y+4z)dxdydz$

Между этими точками и интегралом какая-то связь планируется? Или в огороде бузина, вычислить дядьку в Киеве? Эх, как же плохо, когда телепаты в отпуске ...

[stan]

ну по этим точкам нужно пирамиду построить и по ней смотреть

[ewert]

Спроецируйте эту пирамиду на какую-либо координатную плоскость. На любую -- там в любом случае одно из рёбер перпендикулярно плоскости, так что в проекции треугольник получается. Но привычнее, конечно, проецировать на плоскость $XOY$.

[AD]

Ну и? Рисуночек нарисовали? Вот теперь берёте штангенциркуль и меряете. Скажем, хотим, чтобы по $x$ снаружи было. Смотрим, какие на нашей фигуре иксы водятся - всех нужно учесть, поэтому так и записываем:

$$\int\limits_0^2dx$$

Теперь по $y$ хотим. Какие при данном $x$ встречаются игреки? Тут самое интересное - это посмотреть с оси $z$ (типа сверху), это будет такой треугольничек, как раз перпендикулярный взору, и в нём как раз все игреки и сидят - ниже их меньше, там пирамидка сужается. То есть между отрезками $AB$ и $BC$ всё самое интересное. Смотрим на уравнения этих отрезков и выписываем:

$$\int\limits_0^2\int\limits_0^{\frac32x}dy\,dx$$

Всё, dxdy я получил, патриотический долг выполнил, дальше мне лень, дальше сами. Тут уже надо уравнение плоскости $BCD$ выписать в виде $z=f(x,y)$ и пределы будут от $f(x,y)$ до двойки.

[stan]

то есть..вот у меня получилось уравнение плоскости ВСD: $3x-2y+3z-6=0$.
значит будет интеграл от $2-x+2/3y$ до 2 , $(-2x+y+4z)dz$ ???

(интеграл пишу словами потому что так и не нашел как его по-другому записать..простите)

[AD]

stan в сообщении #272462 писал(а):

то есть..вот у меня получилось уравнение плоскости ВСD: $3x-2y+3z-6=0$.
значит будет интеграл от $2-x+2/3y$ до 2 , $(-2x+y+4z)dz$ ???

Да, плоскость такая, подставил точки и проверил. А это Вы у меня спрашиваете, такой ли интеграл? Я своё мнение высказал, теперь Вы должны сами себе поверить или не поверить. Не в древнем Египте живём, где как жрец сказал - так и истина.

(Оффтоп)

(да и я не жрец, да и не благовонья это)
(или где там, в Вавилоне, что-ли, действие этого баяна происходит?)

stan в сообщении #272462 писал(а):

(интеграл пишу словами потому что так и не нашел как его по-другому записать..простите)

1. Шагом марш читать.
2. Цитируете меня - и смотрите, как я пишу (в некоторых браузерах можно мышку подводить к формулам)

[stan]

я имею ввиду пределы интегрирования у третьего интеграла,такие будут?и в общем этот интеграл так должен выглядеть?

$$\int\limits_0^2\int\limits_0^{\frac32x}dx\,dy\int\limits_{\frac23y-x+2}^2(-2x+y+4z)dz$$

[AD]

stan в сообщении #272502 писал(а):

я имею ввиду пределы интегрирования у третьего интеграла,такие будут?

А я говорю, что "могу лишь показать Вам дверь, войти Вы должны сами" (с).
Да, если я прав, то интеграл такой.

[stan]

спасибо за помощь)
очень толково объясняете)