Колебание системы из 2 тел

[big_fizik]

Два тела одинаковой массы $m$ соединены в комбинацию, показанную на рисунке.
Пусть $x_1$ и $x_2$ - смещения масс из положения равновесия

1) Показать что
$ \left\{ \begin{array}{l} mx_1''(t)=k(x_2-2x_1)\\ mx_2''(t)=k(x_1-2x_2)\\ \end{array} \right $
2)Найти частоты колебаний системы, считая, что решения уравнений имеют вид
$ \left\{ \begin{array}{l} x_1=A_1\cos \omega\cdot t\\ x_2=A_2\sin \omega\cdot t\\ \end{array} \right $

Сделал второй пункт, однако ответ получился странным.
А каким образом в первом составили уравнения движения...
Странно это, откуда получается коэффициент 2?

2)
$ \left\{ \begin{array}{l} x_1''=-{\omega}^2 A_1\cos \omega\cdot t\\ x_2''=-{\omega}^2 A_2\sin \omega\cdot t\\ \end{array} \right $

$ \left\{ \begin{array}{l} -{\omega}^2 A_1\cos \omega\cdot t=k(A_2\sin \omega\cdot t-2A_1\cos \omega\cdot t)\\ -{\omega}^2 A_2\sin \omega\cdot t=k(A_1\cos \omega\cdot t-2A_2\sin \omega\cdot t)\\ \end{array} \right $

$ \left\{ \begin{array}{l} {\omega}^4 A_1^2\cos^2 \omega\cdot t=k^2(A_2^2\sin^2 \omega\cdot t-4A_2\sin \omega t\cdot A_1\cos \omega t+4A_1^2\cos^2 \omega\cdot t)\\ {\omega}^4 A_2^2\sin^2 \omega\cdot t=k^2(A_1^2\cos^2 \omega\cdot t-4A_2\sin \omega t\cdot A_1\cos \omega t+4A_2\sin^2 \omega\cdot t)\\ \end{array} \right $

Вычитая из первого уравнения второе и сокращая обе части получившегося равенства на
$A_1^2\cos^2 \omega\cdot t-A_2^2\sin^2 \omega\cdot t$
Получаем
${\omega}^4=k^2(-1+4)=3k^2$
${\omega}=\pm 3^{1/4}\sqrt{k}$

[Утундрий]

Цитата:

А каким образом в первом составили уравнения движения...
Странно это, откуда получается коэффициент 2?

Примерно таким: $m\ddot x_1 = - kx_1 + k\left( {x_2 - x_1 } \right)$

[big_fizik]

Утундрий в сообщении #271890 писал(а):

Цитата:

А каким образом в первом составили уравнения движения...
Странно это, откуда получается коэффициент 2?

Примерно таким: $m\ddot x_1 = - kx_1 + k\left( {x_2 - x_1 } \right)$

Спасибо! ТОлько все равно не понял, тчо понимается под $x_1$ и $x_2$
Смещение относительно положения равновесия...А это для каждого груза свое положение равновесия? Откуда оно отсчитывается? Понятно, что при равновесии $x_1=x_2=0$ только все равно не понятно, от какой точки отсчитывать...

[Утундрий]

Да и безразлично. Все равно силы однозначно определяются смещениями из положения равновесия, где бы оно ни было. Просто считайте, что оно находится где-то, а еще лучше - вообще об этом не думайте

[ewert]

big_fizik в сообщении #271881 писал(а):

2)Найти частоты колебаний системы, считая, что решения уравнений имеют вид
$ \left\{ \begin{array}{l} x_1=A_1\cos \omega\cdot t\\ x_2=A_2\sin \omega\cdot t\\ \end{array} \right $

Сделал второй пункт, однако ответ получился странным.

Ответа вообще не могло получиться -- такого решения не существует.

Система в любом случае имеет две собственных частоты. Ввиду симметрии задачи есть два очевидных решения, в каждом из которых колебания происходят только с одной частотой. Одно решение -- это синфазные колебания с частотой $\omega^2={k\over m}$, другое -- противофазные с частотой $\omega^2={3k\over m}$. Они и будут базисными решениями, а любые другие -- это их произвольные линейные комбинации с произвольными и независимыми фазами.

Ясно, что что одночастотные колебания со сдвигом фаз на четверть периода получить таким образом невозможно.

[big_fizik]

Цитата:

Ответа вообще не могло получиться -- такого решения не существует

Это из-за того, что амплитуды разные?

А может все-таки

$\omega^2=\frac{k}{m}$

$\omega^2=\frac{\sqrt{3}k}{m}$

???

[ewert]

big_fizik в сообщении #271972 писал(а):

Это из-за того, что амплитуды разные?

Это из-за того, что если в решении (для одновременно обеих координат) присутствует только одна частота -- значит, это решение есть вещественная часть одной из собственных функций системы. (Собственные функции -- принципиально комплексные, т.к. собственные числа матрицы системы чисто мнимы.)

Ну а выше все четыре собственные функции и намёкнуты; стоит только образовать с каждой из двух тех частот решения $\sin+i\cos$ и $\sin-i\cos$. И других собственных функций нет и не может быть. В принципе.

[big_fizik]

ewert в сообщении #272248 писал(а):

Ну а выше все четыре собственные функции и намёкнуты; стоит только образовать с каждой из двух тех частот решения $\sin+i\cos$ и $\sin-i\cos$. И других собственных функций нет и не может быть. В принципе.

Эту часть не очень понял...
Что значит намекнуты? Из каких тех 2 частот?

[Yu_K]

Просто выпишите для этой задачи соответствующую линейную систему из четырех дифуравнений первого порядка и найдите ее решение, используя стандартную технику - сначала находите собственные числа и вектора матрицы системы и далее... посмотрите любой учебник по ОДУ.

[ewert]

Не надо систему. Т.е. в явном виде -- не надо.

Есть два очевидных синфазных решения:
$x_1(t)=x_2(t)=\cos\left(t\sqrt{k\over m}\right)$ и $x_1(t)=x_2(t)=\sin\left(t\sqrt{k\over m}\right)$
(при синфазном колебании центральная пружинка не напряжена, поэтому всё сводится к движению только одного грузика).

И два очевидных противофазных:
$x_1(t)=-x_2(t)=\cos\left(t\sqrt{3k\over m}\right)$ и $x_1(t)=-x_2(t)=\sin\left(t\sqrt{3k\over m}\right)$
(при противофазном колебании центральная пружинка фактически закреплена в центре, так что опять же всё сводится к движению одного грузика).

Поскольку эти решения линейно независимы, и поскольку пространство решений четырёхмерно -- любое другое решение будет некоторой линейной комбинацией этих четырёх.

[Yu_K]

Действительно - если уравнения сложить и вычесть получим два обычных диффура для новых функций - суммы и разности искомых функций.