2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 [draft] Справочник. Интегралы
Сообщение21.11.2009, 18:18 
Основатель
Аватара пользователя


11/05/05
4075
London
3. Первообразная и неопределенный интеграл

3.1. Основные определения. Функция $F(x)$ называется первообразной функции $f(x)$ на промежутке $X$ (конечном или бесконечном), если функция $F(x)$ непрерывна на $X$ и $F'(x)=f(x)$ во всех внутренних точках.
Неопределенным интегралом от функции $f(x)$ на промежутке $X$ называют, и обозначают $\int f(x) dx$, множество всех первообразных:
$$\int f(x) dx = F(x) + C\qquad(C = const).$$
3.2. Свойства неопределенного интеграла. Если функция $f(x)$ имеет первообразную на промежутке $X$, то для внутренних точек промежутка $$\frac{d}{dx}\int f(x) dx = f(x).$$
Если функция $f(x)$ непрерывна па промежутке $X$ и дифференцируема в его внутренних точках, то $$\int df(x)=f(x)+C.$$
Если функция $f(x)$ имеет первообразную на промежутке $X$, а $k$ — число, то для функции $kf(x)$ существует первообразная и $$\int kf(x)dx=k\int f(x) dx.$$
Если функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют первообразные на промежутке $X$, то функция $f(x)+g(x)$ также имеет первообразную и $$\int[f(x)+g(x)] dx=\int f(x) dx + \int g(x) dx.$$
Интегрирование по частям. Если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны на промежутке $X$, дифференцируемы в его внутренних точках и существует интеграл $\int g(x)d f(x)$, то на $X$ существует и интеграл $\int f(x)d g(x)$ и $$\int f(x)d g(x)=f(x)g(x)-\int g(x)d f(x).$$
Интегрирование подстановкой (замена переменной). Если функция $f(z)$ определена и имеет
первообразную на промежутке $Z$, а функция $z = g(x)$ непрерывна на промежутке $X$, дифференцируема в его внутренних точках и $g(X)\subset Z$, то функция $f(g(x))g'(x)$ имеет первообразную на $X$ и $$\int f(g(x))g'(x) = \int f(z) dz.$$
3.3. Некоторые неопределенные интегралы от элементарных функций.
$$\int x^{\alpha} dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\quad(\alpha\neq-1);\qquad\int\frac{dx}{x}=\ln |x|+C$$
(в последнем интеграле промежуток интегрирования не содержит $x = 0$); постоянную $C$ всюду опускаем;
\begin{eqnarray*} 
\int a^x dx&=&\frac{a^x}{\ln a};\\
\int \sin x dx&=&-\cos x;\\
\int \cos x dx&=&\sin x;\\
\int \tg  x dx&=&-\ln|\cos x|;\\
\int \ctg  x dx&=&\ln|\sin x|;\\
\int \sh x dx&=&\ch x;\\
\int \ch x dx&=&\sh x;\\
\int \frac{dx}{\sin^2 x}&=&-\ctg x;\\
\int \frac{dx}{\cos^2 x}&=&\tg x;\\
\int \frac{dx}{\sh^2 x}&=&-\cth x;\\
\int \frac{dx}{\ch^2 x}&=&\mathop{\rm th} x;\\
\int \frac{dx}{x^2+a^2}&=&\frac{1}{a}\arctg\frac{x}{a}\qquad(a\neq 0);\\
\int \frac{dx}{x^2-a^2}&=&\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|\qquad(a\neq 0);\\
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}&=&\arcsin\frac{x}{a}\qquad (|x|<a);\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} 
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}&=&\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|\quad (a\neq 0);\\
\int \frac{dx}{\sin x}&=&\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|;\\
\int \frac{dx}{\cos x}&=&\ln\left|\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|;\\
\int \th x dx&=&\ln\ch x;\\
\int \cth x dx&=&\ln|\sh x|;\\
\int \frac{dx}{\sh x}&=&\ln|\mathop{\rm th}\frac{x}{2}|;\\
\int \frac{dx}{\ch x}&=&2\arctg e^x;\\
\end{eqnarray*}

4. Некоторые неопределенные интегралы

4.1. Интегралы от рациональных функций. Интегралы, содержащие $X=ax+b$.
\begin{eqnarray*} 
\int X^n dx&=&\frac{1}{a(n+1)}X^{n+1}\qquad(n\neq -1);\\
\int \frac{dx}{X}dx&=&\frac{1}{a}\ln|X|;\\
\int \frac{x dx}{X}&=&\frac{x}{a}-\frac{b}{a^2}\ln|X|;\\
\int \frac{x dx}{X^2}&=&\frac{b}{a^2 X}+\frac{1}{a^2}\ln|X|;\\
\int \frac{x dx}{X^n}&=&\frac{1}{a^2}\left(\frac{-1}{(n-2)X^{n-2}}+\frac{b}{(n-1)X^{n-1}}\right)\quad (n\neq 1,2);\\
\int \frac{x^2 dx}{X}&=&\frac{1}{a^3}\left(\frac{1}{2}X^2-2bX+b^2\ln|X|\right);\\
\int \frac{x^2 dx}{X}&=&\frac{1}{a^3}\left(\frac{1}{2}X^2-2bX+b^2\ln|X|\right);\\
\int \frac{x^2 dx}{X^2}&=&\frac{1}{a^3}\left(X-2b\ln|X|-\frac{b^2}{X}\right);\\
\int \frac{x^2 dx}{X^3}&=&\frac{1}{a^3}\left(\ln|X|+\frac{2b}{X}-\frac{b^2}{2X^2}\right);\\
\int \frac{x^2 dx}{X^n}dx&=&\frac{1}{a^3}\left[\frac{-1}{(n-3)X^{n-3}}+\frac{2b}{(n-2)X^{n-2}}-\frac{b^2}{(n-1)X^{n-1}}\right]\qquad (n\neq 1,2,3);\\
\int \frac{dx}{xX}&=&-\frac{1}{b}\ln\left|\frac{X}{x}\right|;\\
\int \frac{dx}{xX^2}&=&-\frac{1}{b^2}\left(\ln\left|\frac{X}{x}\right|+\frac{ax}
{X}\right);\\
\int \frac{dx}{xX^n}&=&-\frac{1}{b^n}\left[\ln\left|\frac{X}{x}\right|-\sum\limits_{i=1}^{n-1}C^i_{n-1}\frac{(-a)^i x^i}{iX^i}\right]\qquad (n\geq 1);\\
\int \frac{dx}{x^2X}&=&-\frac{1}{bx}+\frac{a}{b^2}\ln\left|\frac{X}{x}\right|;\\
\int \frac{dx}{x^2X^2}&=&-a\left[\frac{1}{b^2X}+\frac{1}{ab^2x}-\frac{2}{b^3}\ln\left|\frac{X}{x}\right|\right];\\
\int \frac{dx}{x^2X^n}&=&-\frac{1}{b^{n+1}}\left[\sum\limits_{i=2}^n C^i_n \frac{(-a)^{i-1}x^{i-1}}{(i-1)X^{i-1}}+\frac{X}{x}-na\ln\left|\frac{X}{x}\right|\right]\qquad(n\geq 2);\\
\int \frac{dx}{x^mX^n}&=&-\frac{1}{b^{m+n-1}}\sum\limits_{i=0}^{m+n-2} C^i_{m+n-2} \frac{X^{m-i-1}(-a)^i}{(m-i-1)x^{m-i-1}};\\
\end{eqnarray*}
если $m-i-1=0$, то соответствующий член под знаком суммы заменяется членом $C^{m-1}_{m+n-2}(-a)^{m-1}\ln\left|\frac{X}{x}\right|$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group