А-числа: симметричные решения проблемы трех красок.

[Garik2]

Обнаружено множество троек целых, нечетных, попарно взаимно простых чисел, при помощи которых образуются только симметричные структуры. Если под этими числами понимать три отрезка, окрашенных в разные цвета, то во всех симметричных структурах ни в одном месте не будут соприкасаться отрезки с одинаковым цветом. Подробно об А-числах читайте в статье ссылка удалена

Предупреждение за рекламу! Если хотите анонсировать свои результаты - опишите их тут без отсылки на сторонние сайты.

[Бодигрим]

Впервые слышу о проблеме трех красок.

[Garik2]

Правильно что впервые. Эту проблему поднял я, когда занимался оптимальным раскроем материала из прямоугольников равной площади.
Коротко так. Имеются три отрезка длиной a, b, c, причем эти длины выражены целыми попарно взаимно простыми числами. Каждому отрезку присвоим свой цвет. Например, a - красный, b - синий, c - зеленый. От одной вертикали строим две параллельные цепочки таким образом, чтобы нигде рядом не оказывались отрезки с одинаковым цветом (то есть все точно так же, как в проблеме четырех красок). И тут оказалась интересная вещь. В подавляющем обльшинстве случаев удается для каждого набора a,b,c составить одну симметричную компоновку и две асимметричные. Но встречаются и такие числа, например, 1, 3, 5 , которые образуют три симметричные структуры. Таких чисел - менее 3% от общего количества попарно взаимно простых чисел. Их я и назвал А-числами. Жаль, что нельзя давать ссылку - там все объяснено в рисунках. Попробую дать изображение
. Вроде, получилось. Тут как раз приведены примеры компоновки цветных отрезков. В таблице приведены некоторые А-числа. Никак не могу подобрать общую зависимость для их генерации. Получаю исходя из графических построение и очень долго (по машинным меркам). Может, кто-то видит в А-числах закономерность?

[venco]

Garik2 в сообщении #259069 писал(а):

Правильно что впервые. Эту проблему поднял я, когда занимался оптимальным раскроем материала из прямоугольников равной площади.
Коротко так. Имеются три отрезка длиной a, b, c, причем эти длины выражены целыми попарно взаимно простыми числами. Каждому отрезку присвоим свой цвет. Например, a - красный, b - синий, c - зеленый. От одной вертикали строим две параллельные цепочки таким образом, чтобы нигде рядом не оказывались отрезки с одинаковым цветом (то есть все точно так же, как в проблеме четырех красок). И тут оказалась интересная вещь. В подавляющем обльшинстве случаев удается для каждого набора a,b,c составить одну симметричную компоновку и две асимметричные. Но встречаются и такие числа, например, 1, 3, 5 , которые образуют три симметричные структуры. Таких чисел - менее 3% от общего количества попарно взаимно простых чисел. Их я и назвал А-числами. Жаль, что нельзя давать ссылку - там все объяснено в рисунках.

Слово "теорема" на картинке подразумевает, что вы её доказали.
Если это так, то в доказательстве должна быть ошибка, т.к. для чисел 1,3,5 есть четвёртая конфигурация:
3,5,3,5,3
1,5,1,5,1,5,1

А для тройки 1,3,7 я вообще нашёл 6 конфигураций.

[venco]

А, блин, пропустил "не соприкасаются отрезки с одинаковым цветом".
Считайте, что предыдущего сообщения не было. Удалить уже не могу.

[Prorab]

А нельзя было сделать фон картинки не таким ядовито-желтым? Чисто физически смотреть на такое довольно неприятно, глаза сразу же устают.

[Garik2]

Смогу, наверное. Завтра поколдую и сделаю просто бесцветный фон. Рисунок сделал, но режима правки в посту нет. Заменить никак теперь не могу. Придется один раз потерперть и ... продолжать жить дальше.

Насчет теоремы. Была 358 лет Великая Теорема Ферма и никого не смущало, что она никак не доказывалась. Убедительно?

[migmit]

Garik2 в сообщении #260348 писал(а):

Рисунок сделал, но режима правки в посту нет

А просто заменить ИЗОБРАЖЕНИЕ по ссылке вам в голову не пришло? Изображение-то не на сервере dxdy, а на вашем сайте.

[Garik2]

Да, конечно, так и надо было делать. Я просто хотел удалить большой дикий рисунок и не сообразил как.

[12d3]

А почему числа должны быть попарно взаимно простыми? Из тройки 1, 3, 9 тоже три симметричных цепочки получается.
З.Ы. Теорема-то очевидная. Неочевидна только закономерность таких троек.

[Garik2]

Если принять не попарно простые числа, то внутри структуры обязательно в каком-то месте совпадут швы. А для любой хорошей кладки (в том числе и кирпичной) это недопустимо.

[Garik2]

Вот, например, как можно создать три симметричные схемы из других А-чисел: a = 5 ; b = 7 ; c =13

Структуры потрясающе красивые! А если учесть, что все "кирпичики" имеют одинаковую массу, то такие структуры можно считать ортимальными (структура является равнопрочной, а если она выполнена из реальных блоков, веса которых соответствуют грузоподъемности крана, то время возведения - минимально).

[Ираклий]

Обязательно ли в структуре использовать кирпичики всех трех видов? Можно, например, в верхнем ряду положить 7 пятерок, а в нижнем 5 семерок?

[Garik2]

Нет, нельзя. Не должны соприкасаться никакие кирпичики с одинаковыми числами - ни по бокам, ни по вертикали. Этого можно добиться лишь тремя разными числами, причем нечетными и попарно простыми. Жаль, что удалили мои ссылки на статьи в первом посту - там об этом подробно говорится. Поэтому - данные три схемы - единственные, а числа, которые обеспечивают три симметричные структуры - очень редки, по сравнению со всеми попарно взаимно простыми. О таких числах ранее даже не предполагали. Открыл я их случайно, в результате одной непутевой ошибки. Так в жизни, оказывается, бывает.

[12d3]

Garik2 в сообщении #263740 писал(а):

Если принять не попарно простые числа, то внутри структуры обязательно в каком-то месте совпадут швы.

Эээ.. А вы тройку 1,3,9 проверяли? Там внутри нигде ничего не совпадает.