Об относительности, пр-ях Лоренца и роли 2-го постулата...

[Утундрий]

Некоторые товарищи высказывались здесь в том духе, что де второй постулат хитрым образом сам собой выводится и высокого звания постулата не заслуживает. Опровержению сего посвящены нижеследующие изгаляния.

Для того, чтобы стронуться с места необходимо от чего-то отталкиваться. Поэтому я вынужден начать не с самого Большого Взрыва, а чуть позжее. А именно, сделаем вид, что нам известны такие понятия как часы, линейки, скорости и массивные частицы. Часы тикают, линейки меряют, а частицы летают в разнообразнейших направлениях с некими скоростями. Такая вот преамбула.

Далее утверждается: существует такая калибровка часов и линеек, что справедливо
$A_0 :$ скорости всех частиц постоянны.
В дальнейшем будем пользоваться только такими часами и линейками и их показаниями.

Исключительно в целях упрощения выкладок, считаем пространство одномерным.

Каждому событию типа "частица такая-то была в $x$ в момент $t$" сопоставим пару $(at,x)$, где $a$ - некая положительная отличная от нуля константа с размерностью скорости.

Состоянием движения системы частиц обзовем задание множества всех пар $(at,x)$ для каждой из частиц. Проще говоря - их мировые линии (графики на плоскости $at - x$), которые по $A_0$ будут просто прямыми.

Утверждается $A_1 :$ описание состояния движения координатами $(at,x)$ не единственно и существует такое преобразование координат к $(at',x')$, что сохраняется свойство $A_0$.

Это ограничивает возможные преобразования координат линейными.

$$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {at' = A_{tt} \cdot at + A_{tx} \cdot x} \\ {x' = A_{xt} \cdot at + A_{xx} \cdot x} \\ \end{array} } \right.\]$$

Утверждается $A_2 :$ пространство и время однородны

Это дает независимость коэффициентов преобразования от $t$ и $x$.

Рассмотрим теперь мировую линию $x = \xi \cdot t$ и найдем такое преобразование, что $x'=0$. После чего потребуем, чтобы линия $x=0$ в новых координатах задавалась уравнением $x'=- \xi \cdot t'$.

Расшифровываю. Есть два тела, одно покоится, а другое движется с некоторой скоростью. Переходим в с.к. в которой прежде движущееся тело покоится, тогда прежде покоящееся должно двигаться с той же скорость в противоположном направлении.

Все это, с учетом линейности, эквивалентно
$A_3 :$ относительные скорости не изменяются преобразованием координат

Это несколько уменьшает произвол в преобразованиях. Осталось всего две неизвестные функции:

$$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {at' = \alpha (\xi )\left( {at - \beta (\xi ) \cdot x} \right)} \\ {x' = \alpha (\xi )\left( { - \xi \cdot t + x} \right)} \\ \end{array} } \right.\]$$

Рассмотрим два последовательных преобразования. Скорости пробных тел изменятся раз, изменятся второй, и примут какие-то значения. Мы получили еще одно состояние движения. Будет ли это какое-то особенное состояние, не похожее на предыдущие? Не хотелось бы. Желательно получить замкнутую схему, а следовательно в результате двух преобразований координат у нас должно получится состояние, которое можно получить сразу - одним преобразованием. Короче говоря
$A_4 :$ преобразования координат образуют однопараметрическую группу

Что это нам дает? Посмотрим...

$$\[\begin{gathered} \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {at' = \alpha (\xi )\left( {at - \beta (\xi ) \cdot x} \right)} \\ {x' = \alpha (\xi )\left( { - \xi \cdot t + x} \right)} \\ \end{array} } \right. \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {at'' = \alpha (\eta )\left( {at' - \beta (\eta ) \cdot x'} \right)} \\ {x'' = \alpha (\eta )\left( { - \eta \cdot t' + x'} \right)} \\ \end{array} } \right. \hfill \\ \end{gathered} \] \[\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {at'' = \alpha (\zeta )\left( {at - \beta (\zeta ) \cdot x} \right)} \\ {x'' = \alpha (\zeta )\left( { - \zeta \cdot t + x} \right)} \\ \end{array} } \right.\]$$

где $\zeta = \zeta \left( {\xi ,\eta } \right)$

Раскрывая все это безобразие получаем ряд условий

$$\[\begin{gathered} \alpha \left( \zeta \right) = \alpha \left( \xi \right)\alpha \left( \eta \right)\left( {1 + \frac{\xi }{a}\beta \left( \eta \right)} \right) = \alpha \left( \xi \right)\alpha \left( \eta \right)\left( {1 + \frac{\eta }{a}\beta \left( \xi \right)} \right) \hfill \\ \alpha \left( \zeta \right)\beta \left( \zeta \right) = \alpha \left( \xi \right)\alpha \left( \eta \right)\left( {\beta \left( \xi \right) + \beta \left( \eta \right)} \right) \hfill \\ \alpha \left( \zeta \right)\zeta = \alpha \left( \xi \right)\alpha \left( \eta \right)\left( {\xi + \eta } \right) \hfill \\ \end{gathered} \]$$

из которых находим

$$\[\begin{gathered} \beta \left( \xi \right) = \frac{\xi }{b} \hfill \\ \zeta = \frac{{\xi + \eta }} {{1 + \frac{{\xi \eta }}{{ab}}}} \hfill \\ \end{gathered} \]$$

где $b$ - новая постоянная размерности скорости.

Введем равенством $ab \equiv \pm c^2 $еще одну положительную постоянную $c$. Тогда преобразования координат примут вид

$$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {ct' = \alpha (\xi )\left( {ct \mp \frac{\xi }{c} \cdot x} \right)} \\ {x' = \alpha (\xi )\left( { - \xi \cdot t + x} \right)} \\ \end{array} } \right.\]$$

Для закона сложения скоростей получим

$$\[\zeta = \frac{{\xi + \eta }}{{1 \pm \frac{{\xi \eta }}{{c^2 }}}}\]$$

Попутно заметим, что $\[\left( {ct'} \right)^2 \mp \left( {x'} \right)^2 = \alpha \left( 0 \right)\frac{{\alpha \left( \xi \right)}}{{\alpha \left( { - \xi } \right)}}\left[ {\left( {ct} \right)^2 \mp \left( x \right)^2 } \right]\]$

Осталось не удовлетворено условие $\[\alpha \left( \zeta \right)\zeta = \alpha \left( \xi \right)\alpha \left( \eta \right)\left( {\xi + \eta } \right)\]$, оно и даст нам недостающую функцию $\alpha$. Для этого во-первых заметим, что для $\xi =0$ преобразования координат должны быть тождественными, то есть $\alpha(0)=1$. Дифференциальное уравнение для $\alpha$ можно получить, например, так: возьмем частную производную по $\eta$ после чего положим $\eta =0$. Это даст

$$\[\frac{{d\alpha }}{\alpha } = \frac{{\delta \pm \frac{\xi }{c}}}{{1 \mp \frac{{\xi ^2 }} {{c^2 }}}}d\left( {\frac{\xi }{c}} \right)\]$$

Здесь выползла на свет новая константа $\[\delta \equiv c\left( {\frac{{d\alpha \left( \xi \right)}}{{d\xi }}} \right)_{\xi = 0} \]$. Решим его...

Для верхних знаков

$$\[\alpha \left( \xi \right) = \left( {1 - \frac{{\xi ^2 }}{{c^2 }}} \right)^{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} \left| {\frac{{c + \xi }}{{c - \xi }}} \right|^{{\delta \mathord{\left/ {\vphantom {\delta 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} \]$$

$$\[\left( {ct'} \right)^2 - \left( {x'} \right)^2 = \left| {\frac{{c + \xi }}{{c - \xi }}} \right|^\delta \left[ {\left( {ct} \right)^2 - \left( x \right)^2 } \right]\]$$

Для нижних знаков

$$\[\alpha \left( \xi \right) = \left( {1 + \frac{{\xi ^2 }}{{c^2 }}} \right)^{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}} \exp \left( {\delta \cdot \operatorname{arctg} \frac{\xi }{c}} \right)\]$$

$$\[\left( {ct'} \right)^2 + \left( {x'} \right)^2 = \exp \left( {2\delta \cdot \operatorname{arctg} \frac{\xi }{c}} \right)\left[ {\left( {ct} \right)^2 + \left( x \right)^2 } \right]\]$$

Итак, имеем три существенно различных случая в зависимости от знака константы $1/b$ (включая сюда и случай $b \to \infty $). Причем только в одном из этих трех вариантов существует некая выделенная скорость $c$, имеющая смысл максимальной. А именно:
$A_5 :$ если скорости всех частиц не превосходят $c$ в какой-то одной системе координат, то это же верно и в любой другой.

Это и есть второй постулат ради которого весь огород и городился. Как видно, он позволяет выбрать на этом этапе из трех возможностей мир напоминающий мир Минковского, только слегка скособоченный.

Скособоченность определяется коэффициентом $\delta$, описывающим некую анизотропию пространства и нарушающим лоренц-инвариантность. Понятно, что он близок к нулю, но вот интересно было бы узнать - насколько близок?

Во всяком случае, приняв
$A_6 :$ пространство изотропно
получим наконец СТО.

[Munin]

Утундрий в сообщении #231505 писал(а):

Далее утверждается: существует такая калибровка часов и линеек, что справедливо
$A_0 :$ скорости всех частиц постоянны.

Месье знает толк в извращениях... Но только после этого нельзя произносить "$A_2 :$ пространство и время однородны". Частицы-то могут быть и взаимодействующими :-)

[ИгорЪ]

Утундрий в сообщении #231505 писал(а):

Далее утверждается: существует такая калибровка часов и линеек, что справедливо
скорости всех частиц постоянны.
В дальнейшем будем пользоваться только такими часами и линейками и их показаниями.

Непонятно, можно разъяснить что имеется ввиду?

[Утундрий]

Munin
дык для того и произносим, чтоб не смогли...

ИгорЪ
это такой опытный факт. Тележки там всякие, Галилеи-Ньютоны...

[Munin]

Утундрий в сообщении #231513 писал(а):

Munin
дык для того и произносим, чтоб не смогли...

Дык они могут, даже если произнести :-D Только тогда пространство и время получаются сильно неоднородными... но вот $A_1,$ например, не теряет силы :-)

[Утундрий]

Munin
Давайте проверим. Произносим $A_2$, они все одно могут и в результате этого могинья получается отрицание $A_2$. Мораль?

[Munin]

Мораль: надо было в самом начале добавить условие, что частицы свободные, тогда и $A_2,$ и всё остальное декларируется без проблем.

Да ладно, в этом виде то, что вы написали, скучно, и многократно разжёвано. Неужели со взаимодействующими частицами не веселей?

[Утундрий]

Лучше вот что скажите: достаточно ли

Утундрий в сообщении #231505 писал(а):

$A_2 :$ пространство и время однородны.

для справедливости

Утундрий в сообщении #231505 писал(а):

Это дает независимость коэффициентов преобразования от $t$ и $x$.

?

-- Вт июл 28, 2009 00:39:43 --

Munin в сообщении #231538 писал(а):

скучно

Зато последовательно. Надеюсь.

[Munin]

Однородность пространства и времени есть инвариантность относительно сдвигов по соответствующим координатам. Но инвариантность чего? Функции Лагранжа у вас нет, так что остаётся инвариантность преобразований. Вот и получается то, что вам нужно. Правда, вам придётся уточнить, что для преобразований пространство и время однородны не по отдельности, а только вместе :-)

[ИгорЪ]

В лекциях Белавина Кулакова говорится что А1 и А2 эквивалентно дают линейность и независимость преобразований от x и t. Посмотрите может будет полезно. Я не понимаю мотивацию вопроса - поиск минимальной аксиоматики что ли? Это ж дело ортодоксальных педантов матфизиков. Вот мне в школе дали читать Аксиоматическую квантовую теорию поля - Боголюбов Тодоров, ну это просто насилие, полный мозговой разврат, хорошо бросил вовремя.

[Жесть]

ИгорЪ в сообщении #231637 писал(а):

Вот мне в школе дали читать Аксиоматическую квантовую теорию поля - Боголюбов Тодоров, ну это просто насилие, полный мозговой разврат, хорошо бросил вовремя.

В средней школе? Да Вы вундеркинд.

[ИгорЪ]

Жесть в сообщении #231641 писал(а):

В средней школе?

Да нет мы свой институт с легкой руки одного студента называли школой-так веселей было привычней и короче.

[Утундрий]

ИгорЪ в сообщении #231637 писал(а):

Я не понимаю мотивацию вопроса - поиск минимальной аксиоматики что ли?

Я же писал, для чего - прояснение роли второго постулата. Someone некогда утверждал и ссылки на статьи давал, что дескать 2-й постулат выводится. Я проверил, оказалось - нет. Ну, заодно и оформил в максимально неискажаемом виде эту процедуру вывода. О чем и отписался.

-- Ср июл 29, 2009 22:38:58 --

Хотя, да. Кажется, уже из $A_1$ следует независимость матрицы перехода от координат... То есть получается, что $A_2$ можно выбросить?

[ИгорЪ]

Утундрий в сообщении #231838 писал(а):

Я же писал, для чего - прояснение роли второго постулата. Someone некогда утверждал и ссылки на статьи давал, что дескать 2-й постулат выводится. Я проверил, оказалось - нет.

Это я поннимаю. Но что изменится если допустим окажется что второй постулат не нужен? В математике огромное число примеров когда теоремы доказывались сначала с большим количеством предположений. Ну допустим можно поумиляться, вот дескать оказывается Эйнштейн не додумался до того, что существование предельной скорости и ее свойства можно вывести. А толку то? Или искать анизотропию? Минимальная аксиоматика СТО - это объявление пространства времени псевдоевклидовым. Все. Меня другое интересует. Никто не смог здесь сказать физ. смысл свойств предельной скорости. Вот смысл постоянной планка ясен. А смысл предельной скорости не пойму.

-- Чт июл 30, 2009 00:24:21 --

А выбросить можно либо А1 либо А2 - оставить что приятней на вкус!

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #231882 писал(а):

Никто не смог здесь сказать физ. смысл свойств предельной скорости.

Да какой физ. смысл может быть у переводного коэффициента?