Предел функции по Зоричу и по Бурбаки.

[Виктор Викторов]

Все цитаты из Зорича взяты из четвертого издания 2002 года и упомянутая книга Бурбаки это «Общая топология основные структуры» издания 1968 года.

В учебнике Зорича на странице 126 дается определение предела функции в точке по множеству. Вот это определение: «Число А называется пределом функции f: Е–>$\mathbb{R}$ при x, стремящемся по множеству Е к точке а (предельной для Е), если для любой окрестности точки А найдётся проколотая окрестность точки а в множестве Е, образ которой при отображении f: Е–>$\mathbb{R}$ содержится в заданной окрестности точки А.»

К этому определению надо добавить, что под окрестностью понимается открытая окрестность. (Что, как известно, бывает не всегда).

Через 22 страницы Зорич справедливо пишет, что от проколотых окрестностей фактически были использованы только два свойства и отправляясь от этих двух свойств дает определение базы в множестве.

Базой множества Х он называет любую совокупность непустых подмножеств Х, такую, что в пересечении любых двух подмножеств из этой совокупности «содержится некоторый элемент из той же совокупности». Далее Зорич отмечает, что «термин «база» есть краткое обозначение того, что в математике называется «базисом фильтра»». Упоминает Картана, ссылается на Бурбаки и дает определение предела функции по базе. Вот это определение (страница 150):

Пусть f: Х–>$\mathbb{R}$ функция на множестве Х; ß – база в Х. Число ${A}\in\mathbb{R}$ называется пределом функции f: Х–>$\mathbb{R}$ по базе ß, если для любой окрестности V(А) точки А найдётся элемент B базы ß, образ которого f(В) содержится в окрестности V(А).

Конечно, опять все окрестности открытые множества и образ окрестности f(В) должен быть открыт (хорошо бы это доказать). И теперь то «чему так долго предисловье».

Ради чего страдали? У Бурбаки предел функции (отображения) по базе области определения это точка у множества значений, такая, что её фильтр окрестностей имеет образ фильтра базы области определения как базу (открытых ли окрестностей?).
У меня ощущение, что я где-то наврал (Где?). Но смысл, во-первых в том, что под «х стремится к а» понимается некая база области определения (как и у Зорича), а во-вторых под пределом функции (отображения) по этой базе, точка множества значений, база фильтра окрестностей которой содержит образ базы области определения (и сама тоже является базой фильтра окрестностей точки у).

[AD]

Элементы базы открытыми "в обычном смысле" быть не обязаны, и их образы - тоже. Содержаться можно и без этого. А на множестве значений функции в обоих случаях сидит стандартная топология. Страдали ради того, чтобы посадить нестандартную топологию на область определения. Другие случаи не рассматриваются.

Я попал или не в этом вопрос?

[Виктор Викторов]

Спасибо.

AD в сообщении #223208 писал(а):

Я попал или не в этом вопрос?

А вот в этом и будем разбираться.
Сначала по Бурбаки.
Вот две конструкции:
1. В области определения топология не задана. Есть топология на множестве значений. И на области определения задан базис фильтра; обозначим его (базис) B и растущий из него фильтр F. И пусть f(B) сходится к точке w. Ясно, что ${f(B)}\subset{f(F)}$ и оба они базисы фильтра сходящегося к точке w. И (это Вы написали) ни один из этих базисов не обязан состоять из открытых множеств.
2. А теперь изменим ситуацию и в условиях пункта 1, пусть область определения топологическое пространство и базис фильтра, открытые в нём множества. И в этом случае образ этого базиса не обязан состоять из открытых множеств? Правильно я Вас понял?

Теперь по Зоричу.
Он не требует, чтобы каждый элемент базы ß отобразился в некоторое множество содержащееся в какой-либо окрестности V(А). Но его база отображается в базу? Т. е. если отображение по базе сходится к точке ${A}\in\mathbb{R}$, то его «отображённая» база содержится в базе открытых окрестностей точки ${A}\in\mathbb{R}$? Но не обязательно состоит из открытых множеств?

[terminator-II]

Виктор Викторов в сообщении #223367 писал(а):

И в этом случае образ этого базиса не обязан состоять из открытых множеств?

не обязан, достаточно посмотреть на $f(x)=x^2$ в точке 0

Виктор Викторов в сообщении #223367 писал(а):

«отображённая» база содержится в базе открытых окрестностей точки ${A}\in\mathbb{R}$? Но не обязательно состоит из открытых множеств?

это непонятно, «отображённая» база это набор множеств, база открытых окрестностей это набор открытых множеств. как один набор может содержаться в другом, но состоять из элементов, отличных от элементов этого другого набора?

[Виктор Викторов]

terminator-II в сообщении #223397 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #223367 писал(а):

«отображённая» база содержится в базе открытых окрестностей точки ${A}\in\mathbb{R}$? Но не обязательно состоит из открытых множеств?

это непонятно, «отображённая» база это набор множеств, база открытых окрестностей это набор открытых множеств. как один набор может содержаться в другом, но состоять из элементов, отличных от элементов этого другого набора?

Это я лажанулся. Конечно, каждый элемент «отображённой» базы содержится в некотором элементе базы открытых окрестностей.