Неберущийся интеграл

[LetsGOX]

Господа, помогите пожалуйста с одним вопросом, насчет неберущихся интегралов
Сразу скажу что f(x) - это произвольная фукнция, раскладывающаяся в ряд Маклорена
Вот наприсер есть интеграл

$$ \int\frac{\sin x}x\cdot f(x)dx$$

, тут можно выразить через ряд Тейлора, и получить приближенное значение вычисленного многочлена
А вот как быть с интегралом

$$ \int\frac{f(x)dx}{e^{-x^2}}$$

? Тут же вообще никак не проинтегрировать

Проблема свелась к разложению в ряд Маклорена функции $f(x)=e^{-x^2}$
Получилось что все члены после первого (k=0) образаются тоже в ноль, и получается опять исходная функция
Как по-умному разложить эту функцию?

[gris]

Окружайте формулы знаками $. Теги сами подставятся.

$$ \int\frac{\sin x}x\cdot f(x)dx$$

У Вас написано

$$ \int\frac{f(x)dx}{e^{(-x)^2}}$$

Так ли это? А что мешает разложить подинтегральную функцию в ряд Маклорена?

[PAV]

Тема перемещена из "Помогите решить/разобраться" в карантин. Почему это произошло, можно понять, прочитав тему
Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться
Там же описано, как исправлять ситуацию.

(Не надо просить прощения, просто прочтите краткие инструкции по набору формул в $\TeX$ и сделайте, как там написано).

[GAA]

Вернул.

LetsGOX писал(а):

Проблема свелась к разложению в ряд Маклорена функции $f(x)=e^{-x^2}$
Получилось что все члены после первого (k=0) образаются тоже в ноль, и получается опять исходная функция.

Я бы попробовал доказать, что достаточно заменить в разложении функции $e^{-u}$ в ряд Маклорена $u$ на $x^2$ .

[LetsGOX]

Я раскладываю с помощью этой формулы, предназдаченной для разложения в ряд Тейлора: $\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k$
Как мне кажется, в качестве $a$ можно взять ноль, и получить ряд Маклорена

Но если начать считать этот ряд, то получается вот что:
$f(x)=e^{-x^2}$ => $f'(x)=-x^2 \cdot e^{-x&2}$ => $f''(x)=x^4 \cdot e^{-x^2}$ и так далее
Получается такая общая формула для произодной n-ого порядка: $f^{n}(x)=(-1)^n \cdot x^{2 \cdot n} \cdot e^{-x^2}$
Посдтавляя $f^{n}(0)$ получаем всюду нули, кроме первого члена, и опять получаем исходную функцию

Как произвести общую замену я не понял

[GAA]

LetsGOX писал(а):

Но если начать считать этот ряд, то получается вот что:
$f(x)=e^{-x^2}$ => $f'(x)=-x^2 \cdot e^{-x&2}$ => $f''(x)=x^4 \cdot e^{-x^2}$ и так далее
Получается такая общая формула для произодной n-ого порядка: $f^{n}(x)=(-1)^n \cdot x^{2 \cdot n} \cdot e^{-x^2}$

Неправильно вычислили первую производную.
Неправильно вычисляете производную произведения.

Добавлено спустя 2 минуты 53 секунды:

LetsGOX писал(а):

Как произвести общую замену я не понял

Вначале запишите разложение в ряд по степеням $u$ функции $e^{-u}$.

[bot]

Берущийся интеграл $\int \frac{f(x)}{e^{-x^2}}\, dx$ или нет, зависит от функции $f$, о которой Вы умалчиваете. Это всё равно, что спросить, есть ли проблема со взятием интеграла $\int g(x) \, dx$, в котором подинтегральная функция совершенно произвольна. Например, если $f(x)=x$, то вообще никаких проблем нет.

[LetsGOX]

bot Спасибо за замечание, но если бы вы прочитали мое первое сообщение, то увидели бы фразу Сразу скажу что f(x) - это произвольная фукнция, раскладывающаяся в ряд Маклорена, то есть 100% известно, что эта функция легко разлагается в ряд Маклорена, например это синус или $\sqrt{1+x}$, т.е можно считать, что в моем вопросе f(x) - это бесконечный многочлен

GAA Да, прошу прощения, действительно неправильно посчитал, ибо правильно, по новым рассчетам, будет так $f^{n}(x)=(-2x)^n \cdot e^{-x^2}$
----Добавление
Так опять неправильно получилось, но все равно $f^n(0)$ получается равным нулю...

[GAA]

LetsGOX писал(а):

Так опять неправильно получилось, но все равно $f^n(0)$ получается равным нулю...

Нет.

[LetsGOX]

GAA Что-то я совсем тут недопонимаю...
Конечно, если делать все по нормальному, долгому пути, то мы найдем произведение производных, и так далее, вследствие чего формула будет разрастаться и разрастаться...
НО все члены будут содержать $x$, который равен нулю по формуле...

Объясните, пожалуйста, по-простому, почему не получается нуля

[GAA]

LetsGOX писал(а):

НО все члены будут содержать $x$, который равен нулю по формуле...

LetsGOX, найдите, для начала, вторую производную и убедитесь, что $f’’(0) \not = 0$. Аналогично, четвертая производная в нуле не будет равна нулю и т. д. — все четные производные не будут равны нулю.

Как удобно раскладывать я уже написал выше.

Добавлено спустя 4 минуты:

Повторюсь: запишите разложение в ряд для $e^{-u}$, затем замените $u$ на $x^2$, и, наконец, докажите, что так делать можно.

[LetsGOX]

GAA Отлично, спасибо большое! Наконец-то получилось сложить ряд Маклорена для этой функции, использовал ваш метод
Правда, как доказать, что такая замена возможно, я не знаю, но все равно спасибо

GAA Не сможете ли вы дать направление для доказательсва или примерную ссылку