Тут не все так очевидно, как может показаться на первый взгляд. Возьмите дискретную функцию и разбейте ее в сумму двух следующим образом: одно слагаемое равно исходной функции на первой половине отрезка и нулю на второй, второе слагаемое - наоборот. Для такой суммы Ваше утверждение применять нельзя. Менее очевидный пример: одно слагаемое совпадает с исходной функцией в точках с четными номерами, второе - с нечетными. По сути обе новые функции описывают ту же закономерность, что и исходная функция, но при этом каждая из них несет в себе вдвое меньше информации, а это для любой экстраполяции довольно критично. Так что здесь нельзя утверждать, что сумме функций должна непременно соответствовать сумма экстраполяций. Информация о зависимости растет нелинейно, так что все сложнее.
Информационный подход может быть применим лишь при рассмотрении случайных процессов. Здесь же мы имеем дело с детерминированной задачей: рассматривается известная совокупность дискретных значений фукнции

и в заданный момент времени вычисляется значение экстраполирующей функции:

Причём функция

определена однозначно. Соверешнно не важно как вычисляется эта фукнция - по некоторой форумуле или в виде нерекурсивной нейронной сети. В вашем первом примере вы предположили, что результат экстраполяции слагаемого с первой части интервала будет равен нулю. Это отнюдь не общий факт. Это будет иметь место лишь в том случае, когда алгоритм экстраполяции не учитывает значения отсчётов на том интервале, где отличается от нуля первое слагаемое. Но в таком случае оно не будет учтено и при экстраполяции результирующей функции.
Теперь ещё раз о требовании линейности алгоритмов приближения детерминированных функций. Рассмотрим три функции, такие что

на интервале
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
. Теперь попробуем применить алгоритм экстраполяции этих функций с некоторого отрезка
![$[a,c]$ $[a,c]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/8/508064867c3a35e2e8ddbdee8c1d7f4b82.png)
, где

на весь отрезок
![[a,b]$ [a,b]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/b/8bb182a2400ad4d65d1f02093e52f2d182.png)
. Очевидно, что если на интервале экстраполяции
![[с,b]$ [с,b]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbf9f7655b604a4d27a7640f245ed23982.png)
не выполняется

, то рассмотренный алгоритм даёт неверный результат.
Вообще говоря, можно потребовать инвариантность алгоритма экстраполяции и относительно произведения двух функций, а также относительно всякого однозначного преобразования. То есть если экстраполирующая функция однозначно определена совокупностью некоторых данных, преобразование этих данных должно соответствовать и преобразованию экстраполирующей функции. Естественно, удовлетворение этих требований возможно только в идеализированном случае.