2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Математический марафон
Сообщение03.09.2008, 21:48 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
Правила Математического марафона

Участвовать в конкурсе могут все желающие.

Марафон является (потенциально) бесконечным и состоит из отдельных конкурсов (туров).
Каждый конкурс содержит 10 задач.
В рамках некоторых туров проводятся дополнительные тематические конкурсы.
Другие туры целиком являются тематическими, третьи - не имеют определенной тематики.

Каждый конкурс в рамках Математического марафона завершаются подведением итогов данного конкурса.
Одновременно с этим отслеживается рейтинг лидирущей группы марафонцев по совокупности всех завершившихся туров.

Задачи публикуются без четко выдерживаемой периодичности. В последнее время все задачи конкурса, как правило, публикуются одновременно.
Для каждой задачи устанавливается deadline - керайний срок приема решений. Этот срок может быть продлен, но не сокращен.
По окончаними приема решений публикуется разбор задачи. Начиная с этого момента разрешено свободное обсуждение задачи.

Вместе с решением участники марафона высылают свою оценку задачи по пятибалльной шкале В отличие от ведущего, участники оценивают не трудность, а эстетическую сторону задачи.

Приблизительная шкала оценок:
1 - скучная рутинная задача;
.............................
5 - очень красивая задача.

Усредненная эстетическая оценка задачи публикуется вместе с ее разбором.
Эта оценка рассчитывается по формуле $\sum m_i k_i / \sum k_i$, где $m_i$ - оценка задачи участником марафона, а $k_i$ - балл, заработанный этим eчастником, за решение данной задачи, а суммирование ведется по тем $i$, для которых $k_i$ составляет не менее половины цены задачи.

Решение каждой задачи оценивается из указанного в задаче количества баллов, начисляемых за полное, правильное и своевременное решение. Если решение не обладает всеми вышеперечисленными признаками (но прислано в срок), за него все равно можно получить часть призовых баллов. Авторы оригинальных, неизвестных ведущему, решений могут поощряться дополнительными баллами.
Рассмотрение интересных обобщений и красивых аналогов задачи также может принести участникам дополнительные баллы.
Субъективизм в оценивании является неизбежным злом. Свои претензии вы можете присылать ведущему. Если он сочтет их обоснованными, оценка может быть пересмотрена.

Условия задач, их разбор и подведение итогов публикуются одновременно на mif.vspu.ru и на форуме dxdy.ru в разделе "Олимпиадные задачи".

Конкурсанты сами могут присылать ведущему авторские задачи, которые, по их мнению, соответствуют духу и стилю марафона. Если ведущий согласится с этим мнением, присланные задачи будут включены в число конкурсных, а приславшие их участники получат дополнительные призовые баллы.

ЖЕЛАЮ УСПЕХОВ!

(Предыдущий вариант правил)

Участвовать в конкурсе могут все желающие.

Марафон является (потенциально) бесконечным и состоит из отдельных этапов (туров). Каждый тур содержит 10 задач. Часть из них (начиная с седьмого тура) являются тематическими. По этим задачам ведется "двойная бухгалтерия": результат их решения учитывается в основном конкурсе и ондовременно в дополнительном тематическом конкурсе. Задачи тематического конкурса в среднем являются более простыми по отношению к остальным.

Каждый тур и каждый приуроченный к нему тематический конкурс завершаются подведением итогов в разделе "Рейтинг участников". В этом же разделе отображаются рейтинг лидирущей группы марафонцев по совокупности всех завершившихся туров и успехи конкурсантов в текущем туре.

Задачи публикуются без четко выдерживаемой периодичности (Все зависит от активности участников, а также наличия свободного времени и интересных задач у ведущего). Приём решений каждой задачи завершается не ранее, чем через две недели со времени ее опубликования. Вполне возможно, что решения будут приниматься и по истечении двухнедельного срока. Ориентировоный срок окончания приема решений указывается перед условием задачи и может пролонгироваться (но не сокращаться). В разделе "Текущие конкурсные задачи", как правило, одновременно размещены несколько задач. Прием решений заканчивается, когда задача перемещается в раздел "Разбор задач".

Вместе с решением участники марафона высылают свою оценку задачи по пятибалльной шкале В отличие от ведущего участники оценивают не трудность, а эстетическую сторону задачи.

Приблизительная шкала оценок:
1 - скучная рутинная задача;
.............................
5 - очень красивая задача.

Решение каждой задачи оценивается из указанного в задаче количества баллов, начисляемых за полное, правильное и своевременное решение. Если решение не обладает всеми вышеперечисленными признаками (но прислано в срок), за него все равно можно получить часть призовых баллов. Авторы оригинальных, неизвестных ведущему, решений могут поощряться дополнительными баллами. Субъективизм в оценивании является неизбежным злом. Свои претензии вы можете присылать ведущему. Если он сочтет их обоснованными, оценка может быть пересмотрена.

Вместе с разбором задачи публикуется и ее эстетическая оценка. Она рассчитывается по формуле $ \frac{\sum m_ik_i}{\sum k_i} $,
где $ m_i $ - оценка задачи участником марафона, а
$ k_i $ - балл, заработанный этим участником, за решение
данной задачи, а суммирование ведется по тем i, для которых
$ k_i $ составляет не менее половины цены задачи.

Условия задач, их разбор и подведение итогов дублируются в конференциях RU.MATH и RU.GOLOVOLOMKA сети Fidonet, а теперь еще и на здешнем форуме в разделе "Олимпиадные задачи".

Конкурсанты сами могут присылать ведущему (достаточно редкие) задачи, которые, по их мнению, соответствуют духу и стилю марафона. Если ведущий согласится с этим мнением, присланные задачи будут включены в число конкурсных, а приславшие их участники получат дополнительные призовые баллы.

==================

В рамках 10-го тура Математического марафона проводится очередной тематический конкурс.

На это раз тематика конкурса - поиск закомонерности. В каждой задаче тематического конкурса требуется продолжить указанную последовательность натуральных (или целых неотрицательных) чисел и указать правило, по которому она строится.

Спешу опередить потенциальных критиков: я вполне отдаю себе отчет в том, что задача "найти закомомерность" не является безупречной с точки зрения коррекности постановки и однозначности решения.

Ондако, на мой взгляд, это обстоятельство лишь добавляет увлекательности предстоящему соревнованию. За красивые решения, не совпадающие с авторскими, будут начисляться дополнительные призовые баллы. Дополнительные баллы могут начисляться не только за новые решения, но и интересные, неочевидные интерпретации авторского продолжения.


Замечание 1.

Я хотел сделать тематический конкурс не слишком сложным. Но он-лайновая энциклопедия целочисленных последовательностей не позволила мне реализовать это желание. Огромное количество красивых последовательностей пришлось отбросить по причине наличия их в энциклопедии. А место забракованных заняли последовательности, построенные по весьма экзотическим правилам. Впрочем, это замечание ни в коей мере не относится к совсем простенькой задаче 91 (все они простенькие, когда знаешь решение).

Замечание 2.

Пример "решения", за которое не будут начисляться призовые баллы:
Пусть надо продолжить последовательность 3, 17, 145... (кстати, это одна из забракованных по "энциклопедической" причине последовательностей). Положим $f(1) = 3, f(2) = 17, f(3) = 145$, построим соответствующий интерполяционный многочлен $ f(x) = 57x^2-157x+103 $, а за продолжение последовательности возьмем f(4), f(5)...

Итак, поехали!

===============

Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды:
в Большом Маpафоне и в конкуpсе задач на поиск закономерности.

ММ91 (З-1) (3 балла)

Продолжить последовательность 2017, 16073, 20089, 26113.

================

Познакомиться с решением задачи 91 и обсудить его можно здесь.

// тема закрыта для ответов по просьбе автора. maxal

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.09.2008, 21:43 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
===============

Предлагаемая задача не входит в тематический конкурс.
Результат учитывается только в основном Маpафоне.

ММ92 (6 баллов)

Доказать, что натуральное число $n$ является ненулевой степенью простого числа тогда и только тогда, когда $n$ кратно $ n-\phi(n) $, где $ \phi(n) $ - функция Эйлера.

================

Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды:
В Большом Маpафоне и в конкуpсе задач на поиск закономерности.

ММ93 (З-2) (8 баллов)

Продолжить последовательность 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 184, 196, 225, 256, 280, 289, 316, 324, 340, 361, 364...

================

Познакомиться с решением задач 92 и 93 и обсудить их можно здесь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.09.2008, 00:03 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
===============

Предлагаемая задача не входит в тематический конкурс, но весьма близка к задачам этого конкурса по духу и происхождению. Формулировка задачи (характерная особенность 10-го тура Марафона) не является эталоном математической строгости. Эту строгость легко обеспечить, но мне представляется, что в предлагаемом виде задача выглядит поинтереснее.

ММ94 (4 балла)

Чем замечательна пара чисел 568 и 638?
Докажите, что аналогичных пар бесконечно много (т.е. указаннная пара, вовсе и не замечательна). :)

===============

Результат пpедлагаемой задачи будет учитываться дважды:
В Большом Маpафоне и в конкуpсе задач на поиск закономерности.

ММ95 (З-3) (5 баллов)

Продолжить последовательность 1, 4, 11, 20, 31, 44, 61, 100...

================

Познакомиться с решением задач 94 и 95 и обсудить их можно здесь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.09.2008, 20:15 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
================

Предлагаемая задача не входит в тематический конкурс.
Результат будет учитываться только в основном Маpафоне.

ММ96 (4 балла)

Двое играют в такую игру:
С помощью идеального генератора случайных чисел выбирают натуральное число из интервала $1..10^{100}$. Если выпавшее число свободно от квадратов, первый игрок платит второму 200 рублей, в противном случае второй игрок платит первому 300 рублей. И т.д.
Кому выгодна такая игра?

===============

Учитивыя с каким трудом участники Марафона справляются с поиском закономерностей решил пойти им навстречу. Задача 97 является первым шагом в этом направлении.

Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды:
В Большом Маpафоне и в конкуpсе задач на поиск закономерности.

ММ97 (З-4) (3 балла)

Продолжить последовательность 10, 21, 55, 253, 1081...

================

Познакомиться с решениями задач 96 и 97 и обсудить их можно здесь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.10.2008, 22:46 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
===============

Предлагаемая задача не входит в тематический конкурс.
Результат будет учитывается только в основном Маpафоне.

ММ98 (7 баллов)

Васю Пупкина заслали в тыл врага с целью выявить секретный код, ввод которого предотвратит термоядерный взрыв. Вася незамеченным проник в святая святых и сфотографировал секретный код на мобильник. Но, пробираясь к своим, Вася потерял мобильник и теперь пытается вспомнить код.
- Помню только, что код состоял из трех чисел, расположенных строго в порядке возрастания - удрученно докладывает Вася руководству.
- А какие числа: двузначные, трехзначные,..?
- Не помню...
- Вася, но ведь ты по образованию математик! Вспомни, может быть, среди чисел были какие-нибудь особенные: квадраты, кубы,..
- Нет, таких не было, но я припоминаю, что сложив сумму квадратов цифр одного из этих чисел с суммой кубов цифр другого я получил сумму этих двух чисел.
- Это уже кое-что! Но код можно вводить только один раз. В случае неверного кода взрыв неминуем. Вспоминай дальше.
- Вспомнил! Эти числа могли служить количествами вершин, граней и, соответственно, ребер некоторого выпуклого многогранника. Я даже мысленно представил себе подходящий многогранник.
- Хорошо. Дальше.
- Так... Каждое из чисел представлялось в виде суммы двух натуральных квадратов. Что еще? Ах, да! По крайней мере два из них были простыми... А еще у двух чисел были одинаковые значения функции Эйлера... Все! Больше ничего не помню.

1. Помогите Васе спасти человечество.
2. Какие из пришедших на память Васе соотношений избыточны?

================

Познакомиться с решением задачи 98 и обсудить его можно здесь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.10.2008, 23:26 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
===============

Результат пpедлагаемой задачи учитывается дважды:
в Большом Маpафоне и в конкуpсе задач на поиск закономерности.

ММ99 (З-5) (8 баллов)

Продолжить последовательность 0,0,1,0,3,4,6,0,1,8,6,4,6,6,13,8...

Подсказка: при продолжении данная последовательность через некоторое время
поведет себя весьма регулярно, а затем и вовсе стабилизируется.

================

Познакомиться с решением задачи 99 и обсудить его можно здесь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.11.2008, 21:15 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
===============

Юбилейная задача представляет собой по сути целый букет задач, связанных общей тематикой и общими идеями. Часть подзадач - известные (но, с учетом их красоты, на мой взгляд, недостаточно известные) утверждения. Другие - новые (хотелось бы надеяться, что не только для меня).

ММ100 (17 баллов)

Пусть $S_n$ множество всех перестановок множества $M_n=\{1,2,3...,n\}$

1. Найти и обосновать рекуррентное выражение количества перестановок g из $S_n$ таких, что $\forall k\in M_n $ g(k) может отличаться от k:
a) не более, чем на 1;
b) не более, чем на 2.

2. Рассмотрим произвольный элемент $S_n$ и произвольное a \in M_n$. Найти вероятность того, что a входит в цикл длины k.

3. Для произвольного элемента $g \in S_n$ найти:
a) математическое ожидание количества циклов длины k;
b) математическое ожидание количества циклов;
c) моду циклового вида (учитываются количество и длина циклов);
d) полагая $k>\frac{n}5$, найти вероятность того, что в g будет хотя бы один цикл длины k.

4. Вспомним, что $S_n$ является группой относительно композиции перестановок. Обозначим $s_n(k)=|\{g^k|g \in S_n\}|$, $q(n,k)=\frac{s_n(k)}{n!}$:
a) найти 20 наименьших значений $s_n(k)$;
b) возможно ли равенство $q(n,k)=\frac12$ для нечетных k.

================

Познакомиться с решением задачи 100 и обсудить его можно здесь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.02.2009, 18:08 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград

КОНКУРС ВНЕ КОНКУРСА


Проведенный в рамках 10-го тура Математического Марафона конкурс "Поиск закономерности" был неоднозначно воспринят марафонской общественностью.

Можно сказать и жестче: этот конкурс "отпугнул" часть действующих и потенциальных марафонцев в 10-м туре.

С другой стороны, ряду участников (а также, что немаловажно, ведущему) конкурс пришелся по душе. Некоторые марафонцы даже прислали мне свои (весьма интересные) задачи на отыскание закономерности. С моей стороны было бы свинством не оценить их фантазию и проигнорировать их усилия.

В попытке разрулить обозначенную коллизию я сначала хотел провести конкурс на поиск закономернерности в рамках одной марафонской задачи. Но, подумав, что такое половинчатое решение не устроит ни сторонников, ни противников идеи конкурса. Поэтому я решил провести полноценный конкурс "Поиск закомерности 2" вне рамок основного Марафона.

Даже если Вы знакомы с правилами первого конкурса на поиск закономерности, внимательно прочтите приведенные ниже правила (кое-что изменилось).

==============

В каждой задаче тематического конкурса требуется указать правило, по которому строится данная последовательность натуральных (или целых неотрицательных) чисел.

За каждую верно разгаданную закономерность участник будет получать 5 базовых призовых баллов. Это минимальная цена каждого задания. Но она может быть увеличена, если задание окажется трудным, т.е. будет решена малым (по сравнению с другими заданиями) количеством участников. Конкурсанты, являющиеся авторами отдельных заданий, получат за эти задания такое же количество баллов, что и участники верно решившие их задания.

За красивые решения, не совпадающие с авторскими, будут начисляться дополнительные призовые баллы. Дополнительные баллы могут начисляться не только за новые решения, но и интересные, неочевидные интерпретации авторского продолжения.

Таким образом, участник может получить за решение задания даже больше баллов, чем автор задания. Впрочем, никто не мешает авторам присылать альтернативные толкования придуманных ими закономерностей.

Спешу опередить потенциальных критиков: я вполне отдаю себе отчет в том, что задача "найти закомомерность" не является безупречной с точки зрения коррекности постановки и однозначности решения. Ондако, на мой взгляд, это обстоятельство лишь добавляет увлекательности предстоящему соревнованию.

Замечания в преамбуле первого конкурса на поиск закономерности остаются в силе.

==============

А вот и сами задания:

1) 6, 15, 35, 77, 91, 143, 187, 209,...

2) 1, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 4, 4, 2, 7, 5, 4, 6, 6, 2, 12, 7, 6, 8, 8, 4, 15, 9, 6, 13,...

3) 71, 431, 719, 1511,...

4) 136, 244, 2178, 6514, 58618, 76438

5) 2, 5, 11, 19, 30, 44, 62, 85, 115, 155, 210, 288,...

6) 1, 3, 13, 61, 321,...

7) 1, 2, 21, 224, 2521, 31446, 345621, 3845668, 43046721,...

8) 2, 65, 72, 128, 250, 370, 468, 520, 637, 730,...

9) 5, 13, 271, 7159,...

10) 7, 13, 15, 21, 26, 31, 40, 42, 43, 57, 62, 63, 73, 80, 85, 86, 91, 93, 111, 114, 121,...

==============

Решения присылать на val-etc@yandex.ru или в "Личные сообщения" на форуме.
Решения принимаются, по крайней мере, до 18.02.2009

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2009, 22:49 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
Обратите внимание!
В условие 5-го задания вкралась (и уже исправлена) ошибка.
Предпоследнее число в последовательности №5 - 210, а не 200.
Участник конкурса, указавший мне на мою оплошность, будет сурово наказан дополнительными призовыми баллами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2009, 21:31 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
===============
С трудом оправившись после юбилея, ведущий потихоньку накопил сил и задач.
И вот, наконец, берет старт 11-й тур. С чем я и поздравляю заждавшихся конкурсантов!

Тех же, кто никогда не участвовал в Марафоне или в силу каких-то обстоятельств "выпал из обоймы", спешу заверить, что какая-то сотня пропущенных задачек еще не повод для того, чтобы и дальше игнорировать Марафон.

Обращаю внимание старожилов и новичков на существенное нововведение.
Начиная с 11-го тура, победителю тура будет вручаться денежный приз (ориентировочно 10 000 рублей). Призовой фонд будет формироваться за счет штрафов за решения, содержащие грубые ошибки, а также отказ от участия в Марафоне.

В рамках 11-го тура будет проводиться очередной тематический конкурс.
Тематика конкурса - комбинаторная геометрия.

===============

Баллы, полученные за решение данной задачи будут учитываться дважды:
в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.
А сама задача является прямым продолжением задачи ММ57.

ММ101 (КГ-1) (8 баллов)

Назовем многоугольник ординарным (термин "регулярный", использованный в задаче №57 явно неудачен), если он выпуклый и никакие 3 его диагонали не пересекаются в одной точке внутри многоугольника. Пусть n - число сторон ординарного многоугольника. Ординарный многоугольник разбивается соими диагоналями на многоугольники, которые мы будем называть элементарными.
Начиная с какого n, число элементарных четырехугольников может превысить число элементарных треугольников?

================


Познакомиться с решением задачи 101 и обсудить его можно здесь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.04.2009, 22:20 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
===============

Баллы, полученные за решение данной задачи, будут учитываться дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.
А сама задача является прямым продолжением задач ММ57 и ММ101.

ММ102 (КГ-2) (9 баллов)

На какое наименьшее число частей может разбиваться диагоналями выпуклый n-угольник при:
a) n = 6;
b) n = 7;
c) n = 8;
d) n = 9?
================
Примечание:
Цена задачи указана весьма условно.
Я умею строго обосновывать минимальность известных мне разбиений не для всех указанных n. Соответственно и сами известные мне ответы могут оказаться неверными.
9 призовых баллов будет присуждаться за решения аналогичые моему (имеющие тот же ответ и ту же степень строгости его обоснования). За улучшение известных мне ответов, получение более строгих обоснований, получение (хотя бы частично) обоснованных ответов для бОльших n будут начисляться дополнительные призовые баллы.
================


Познакомиться с решением задачи 102 и обсудить его можно здесь.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.05.2009, 10:00 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
===============

Несмотря на продление сроков, решений задач 101 и 102 поступило немного. Возможно, это объясняется тем, что эти задачи не заинтересовали марафонцев. Другая возможная причина - трудность предложенных задач. Со свойственным ему оптимизмом ведущий решил остановиться на втором объяснении. Поэтому задачи 103 и 104 призваны помочь участникам Марафона справиться заодно и с предыдущими задачами.

===============

Баллы, полученные за решение данной задачи будут учитываться дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.
А сама задача является прямым продолжением задач ММ57, ММ101 и ММ102.

ММ103 (КГ-3) (3 балла)

Сопоставим каждому выпуклому многоугольнику (сопровождающий) граф по следующему правилу:
вершинами графа будут элементарные многоугольники;
две вершины смежны, если соответствующие многоугольники имеют общую сторону.

1. Доказать, что сопровождающий граф любого выпуклого многоугольника является планарным и двудольным.

2. Сформулировать условие ординарности многоугольника в терминах сопровождающего графа.

===============

Баллы, полученные за решение данной задачи будут учитываться дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.
А сама задача является прямым продолжением задач ММ57, ММ101, ММ102 и ММ103.

ММ104 (КГ-4) (9 баллов)

Два выпуклых n-угольника назовем изоморфными, если изоморфны их сопровождающие графы.

Два выпуклых n-угольника назовем однотипными, если в разбиениях этих многоугольников на элементарные присутствует поровну треугольников, поровну четырехугольников и т.д.

1. Имеется ли логическая зависимость между однотипностью и изоморфностью выпуклых многоугольников?

2. На сколько классов однотипных семиугольников разбиваются ординарные семиугольники?

3. На сколько классов изоморфных семиугольников разбиваются ординарные семиугольники?

================


Познакомиться с решениями задач 103 и 104 и обсудить их можно здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический марафон
Сообщение11.05.2009, 19:53 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
Вниманию участников предлагается очередная (и первая не тематическая) задача 11-го тура

===============

ММ105 (6 баллов)

Математик C загадал некий граф и сообщил математику A степени всех вершин, а математику B - количество вершин и число связных компонент этого графа. Дальше, как водится, состоялся обмен мнениями.

A: Знание степеней всех вершин графа не позволяет мне одозначно определить, какой граф был загадан.

B: Зато я теперь в состоянии сделать это.

Сколько ребер было в загаданном графе?

Примечание:
Рассматриваются классические графы (неориентированные, без петель и кратных ребер).

================

-- 16 май 2009, 21:03 --

===============
Некоторые из марафонских задач привели к появлению новых последовательностей в OEIS. Макс Алексеев предложил использовать обратный механизм.

ММ106 (от 3 баллов)

Последовательность A116983 из OEIS определяется так:
$a(n)$ есть порядковый номер n! при лексико-графическом упорядочении наборов цифр числа $n!$ (система счисления десятичная). Последнее число, представленное в OEIS, - $a(14)$. Требуется найти еще несколько членов A116983.

Примечание:
Три балла будут присуждаться за нахождение $a(15)$. За нахождение большего числа членов последовательности можно заработать больше баллов (но шкала, конечно, не линейная).
================

Познакомиться с решениями задач 105 и 106 и обсудить их можно здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический марафон
Сообщение12.06.2009, 19:05 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
===============

Наталия Макарова предложила посвятить целый тур Марафона любимым ею магическим и латинским квадратам. К столь радикальным шагам я пока не готов, но, в порядке эксперимента, предлагаю участникам "квадратную" задачку, навеянную предлагаемыми задачами, но значительно более простую.

ММ107 (4 балла)

Существует ли магический квадрат 3х3, составленный и попарно различных простых чисел, магическая сумма которого, тоже простое число?

Примечание:
Магический квадрат - это квадратная матрица, у которой сумма элементов каждой строки (столбца, большой диагонали) равна одному и тому же числу (магической сумме).

===============

Задачка с антресолей.

ММ108 (4 балла)

Однородную пирамиду разрезали на слои равной толщины плоскостями, параллельными основанию. При каком наименьшем количестве частей их можно будет разложить на разные чаши равноплечных весов без гирь так, чтобы весы уравновесились?

===============

Предлагаемая задачка составлена по мотивам одной из задач Н.Агаханова.

ММ109 (6 баллов)

Тремя семействами параллельных линий плоскость разрезана на равные треугольники. Можно ли в каждый труегольник вписать одно из чисел 1, 2, 3 так, чтобы:
1) хотя бы в один треугольник была вписана тройка;
2) число в каждом треугольнике указывало, сколько различных чисел написано в трех треугольниках, имеющих общую сторону с данным?

================

Познакомиться с решениями задач 107, 108 и 109 и обсудить их можно здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математический марафон
Сообщение25.06.2009, 17:24 
Заслуженный участник


27/06/08
3008
Волгоград
===============

ММ110 (КГ-5) (6 баллов)

Квадрат со стороной n (n - натуральное, большее 1) разрезали на 4 прямоугольника с целочисленными сторонами. Сколько различных значений может принимать сумма периметров полученных прямоугольников при всех таких разрезаниях?

================

Познакомиться с решением задачи 110 и обсудить ее можно здесь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group