Сущность математических проблем

[ewert]

OZH в сообщении #141002 писал(а):

Сначала у нас были только натуральные числа. Потом мы начали "замыкать": добавили ноль и отрицательные числа, потом рациональные... А уже после того как мы получили вещественные числа, вдруг, вспохватились: поле-то не замкнутое (алгебраически). И замкнули для верности.

Ну, во-первых: что такое "алгебраическая замкнутость"?

Во-вторых: причины появления вещественных чисел в любом случае к алгебраическим свойствам отношения не имеют.

[AD]

Цитата:

Ну, во-первых: что такое "алгебраическая замкнутость"?

Ну типа алгебраические уравнения не решаются.

[OZH]

ewert писал(а):

Ну, во-первых: что такое "алгебраическая замкнутость"?

Разрешимость уравнений.

Цитата:

Во-вторых: причины появления вещественных чисел в любом случае к алгебраическим свойствам отношения не имеют.

То есть?

[AD]

OZH в сообщении #140975 писал(а):

AD писал(а):

OZH писал(а):

Мы рассматриваем наравне с элементами их некоторые классы, например, классы фундаментальных последовательностей...

Что значит "наравне"?

Что такое $\sqrt{2}$? Это --- предел последовательности рациональных чисел. И, притом, не одной, а целого класса. Вот это самое $\sqrt{2}$ и есть класс эквивалентности. И опять же, при пополнении вводится множество классов и говорится о том, что рациональные числа изометричны части этого множества.

Не чувствую, что услышал ответ на свой вопрос. В множестве $\mathbb{R}$ действительных чисел есть подмножество $\mathbb{Q}'$, изоморфное $\mathbb{Q}$, однако элементы $\mathbb{Q}'$ по "природе" ничем не отличаются от остальных элементов $\mathbb{R}$ - они такие же классы последовательностей. И я не стал бы одновременно, "наравне", пользоваться $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}'$.

[Someone]

OZH в сообщении #140083 писал(а):

Да, но "пересчитать" совершенно формально. Тем не менее упорядоченность --- это структура, которая позволяет пересчитывать элементы только в определённом порядке.

Глупости. Упорядоченность не предопределяет способа "пересчёта". Попробуйте "пересчитать" рациональные числа, опираясь на их упорядоченность. Наоборот, в случае натурального ряда она помогает "пересчитать" (в порядке возрастания) сначала нечётные числа, потом чётные, и получить $\omega\cdot 2$.

OZH в сообщении #140083 писал(а):

И ещё: пополнение пространства. Мы рассматриваем наравне с элементами их некоторые классы, например, классы фундаментальных последовательностей...

Здесь Вы не правы. Пополнение множества рациональных чисел - это множество классов эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Исходное множество рациональных чисел не является подмножеством пополнения просто по определению. Другое дело, что, после определения алгебраических операций и метрики на множестве классов эквивалентности оказывается, что классы эквивалентности последовательностей, сходящихся к рациональным числам, составляют подмножество, изоморфное исходному множеству рациональных чисел в алгебраическом смысле и изометричное ему. Но ещё раз подчёркиваю: исходные рациональные числа не содержатся в построенном множестве действительных чисел. Исходное множество рациональных чисел всего лишь изоморфно и изометрично некоторому подмножеству пополнения.

Может быть, Вас сбило с толку то, что изоморфные (изометричные, гомеоморфные, ...) объекты часто "отождествляют", просто не различая, если для этого нет явной необходимости. Как, например, в случае пополнения. Лучше всего, если Вы будете понимать, что такое "отождествление" - не более чем вольность речи, не опасная для того, кто понимает, что имеется в виду, но, возможно, вводящая в заблуждение недостаточно опытного человека.

Вы что, думаете, что натуральный ряд существует в единственном экземпляре?

OZH в сообщении #140975 писал(а):

Вы мне всё пытаетесь что-то объяснить... А я пытаюсь, понять, можно ли сделать небольшое насилие над материалом и развести изоморфные объекты.

Можно. Если это зачем-либо нужно. Более того, всегда нужно помнить, что изоморфные объекты - это не один и тот же объект.

OZH в сообщении #140975 писал(а):

Мне представляется, что изоморфность --- одна из причин невозможности полной формализации математики.

Нет. Это вообще не имеет отношения к невозможности полной формализации. Невозможность полной формализации связана как раз с тем, что для достаточно богатой теории (первого порядка) всегда существуют неизоморфные модели. А изоморфные модели ничему не мешают, да и избавиться от них нельзя. Если у нас есть один натуральный ряд, то никто не помешает нам построить другой, изоморфный первому, но не совпадающий с ним.

OZH в сообщении #141002 писал(а):

Сначала у нас были только натуральные числа. Потом мы начали "замыкать": добавили ноль и отрицательные числа, потом рациональные... А уже после того как мы получили вещественные числа, вдруг, вспохватились: поле-то не замкнутое (алгебраически). И замкнули для верности. Так на свет родились комплексные числа.

Обычно говорят о замкнутости множества относительно какой-либо операции (например, операции вычитания, "замыкание" множества натуральных чисел относительно которой даёт целые числа). Поле действительных чисел замкнуто относительно всех имеющихся в нём операций (извлечение квадратного корня не является алгебраической операцией ни в поле действительных, ни в поле комплексных чисел). А поле комплексных чисел является "расширением" поля действительных чисел. И расширили его не "для верности", а по чисто практическим соображениям.

[ewert]

OZH в сообщении #141028 писал(а):

Цитата:

Во-вторых: причины появления вещественных чисел в любом случае к алгебраическим свойствам отношения не имеют.

То есть?

То есть вещественные числа были сочинены исключительно для того, чтобы обеспечить полноту числового множества. К разрешимости алгебраических уравнений это отношения не имеет: её обеспечивают или алгебраические числа, или (коли хочется формально разрешать именно все уравнения) -- комплексные.

[Kukuruku]

Для тех кто не супер математик и интересуется философскими вопросами математики полезно почитать самое простое, что приходит в голову - en.wikipedia.org/mathematics. Если конечно позволяет английский язык.
Там и история и все направления и философия по ссылкам идут. Для, так сказать, general понятия о том что как и куда происходит. В частности, при беглом просмотре топика, вопросы поднятые здесь, там описываются, причем их решали головастые ребята лет сто-триста назад.

[Someone]

Мы здесь, вроде бы, не философские вопросы обсуждаем.

[Captious]

OZH писал(а):

Вот что меня беспокоит.

1. Проблема мощности.

Дело в том, что интуиция, как мне представляется, связывает "количество элементов" не с понятием мощности (класс биективных друг другу множеств), а с понятием порядкового числа. То есть "количество элементов" связано ещё и со способом пересчёта элементов. (...)

Если множества равны, то это означает, что мы имеем дело с различными обозначениями одного и того же множества. Либо мы имеем дело с различными группами операций, приводящих к одному и тому же результату.

Тут бы следовало уточнить, в каком смысле множ-ва «равны»...

В теории множеств, как известно, равными считаются множ-ва, состоящие из одинаковых элементов. Одинаковые элементы по определению считаются неотличимыми, поэтому каждый элемент множ-ва входит в него в единственном экземпляре. Различные элементы какого-либо множества имеют разные имена.

Понятие равенства в смысле одинакового «количества элементов» предполагает
обращение к процедуре «пересчета» элементов множ-в, связанной с присвоением каждому элементу множества некого уникального имени-номера. В случае конечных множеств пересчет всегда заканчивается присвоением номера некоторому «последнему» элементу множества. Таким образом, конечные множ-ва можно сравнивать по номерам их последних элементов.

В бесконечных множествах никаких «последних» элементов нет в принципе. Для сравнения «объема» таких множеств вместо счета применяется процедура взаимно однозначного соответствия (отображения). Если такое 1-1 соответствие между элементами двух множеств установить можно, то множества считаются равномощными.
Конкретный пример.
Выделим из бесконечного множ-ва натуральных чисел N подмнож-во четных чисел и установим между его элементами и элементами всего множ-ва N 1-1 соответствие по правилу 2n ↔ n
Как видим, в подмнож-ве четных чисел отсутствуют некоторые элементы(нечетные числа), которые есть во всём множ-ве N.
Т.е., так же как и в случае конечных множеств, «часть» входит в состав «целого»
и «не равна» целому.
Но вот наша процедура «пересчета» элементов бесконечного множества факт «качественной неэквивалентности» множеств не отражает: вместо отсутствующих элементов номера-имена получают «следующие» за ними элементы, которые в силу отсутствия «последнего элемента» всегда находятся.

С содержательной точки зрения бесконечное подмнож-во четных чисел неэквивалентно всему множ-ву, так как элементы этих множеств разные по свойствам. А вот с точки зрения 1-1 соответствия эти множ-ва эквивалентны, равномощны.
Таким образом, «парадокс» бесконечных множеств – «часть равна целому» связан с выбором противоречивых критериев «равенства» множеств, то бишь, связан с различием целевых установок.

Ещё создатель "наивной" теории множеств Г. Кантор отмечал, что «существенное различие между конечными и бесконечными множествами обнаруживается в том, что конечное множ-во представляет одно и то же количество для любой последовательности, которую можно придать его элементам. Наоборот, множ-ву, состоящему из бесконечно многих элементов, соответствуют вообще различные количества в зависимости от последовательности, придаваемой элементам».

[Someone]

Captious в сообщении #141531 писал(а):

В теории множеств, как известно, равными считаются множ-ва, состоящие из одинаковых элементов.

Не из одинаковых, а из одних и тех же. Судя по следующему тексту, у Вас "одинаковые"$\neq$"одни и те же".

Captious в сообщении #141531 писал(а):

Одинаковые элементы по определению считаются неотличимыми, поэтому каждый элемент множ-ва входит в него в единственном экземпляре.

Бред. Например, электроны одинаковые (неотличимые), но их больше одного.

Captious в сообщении #141531 писал(а):

Понятие равенства в смысле одинакового «количества элементов»

Нет такого понятия равенства. Это называется равномощностью.

Captious в сообщении #141531 писал(а):

предполагает
обращение к процедуре «пересчета» элементов множ-в, связанной с присвоением каждому элементу множества некого уникального имени-номера.

Бред. Никакого "пересчёта" не предполагается.

Captious в сообщении #141531 писал(а):

В бесконечных множествах никаких «последних» элементов нет в принципе.

Что такое "последний элемент"?

Например, рассмотрим множество чисел $\{1,1-\frac 1n:n\in\mathbb N\}$, состоящее из числа $1$ и из всех чисел вида $1-\frac 1n$, где $n$ - натуральное число. В этом множестве число $1$ "последнее" или "не последнее"?

Captious в сообщении #141531 писал(а):

Но вот наша процедура «пересчета» элементов бесконечного множества факт «качественной неэквивалентности» множеств не отражает: вместо отсутствующих элементов номера-имена получают «следующие» за ними элементы, которые в силу отсутствия «последнего элемента» всегда находятся.

Абракадабра какая-то.

Captious в сообщении #141531 писал(а):

С содержательной точки зрения бесконечное подмнож-во четных чисел неэквивалентно всему множ-ву, так как элементы этих множеств разные по свойствам. А вот с точки зрения 1-1 соответствия эти множ-ва эквивалентны, равномощны.

Что здесь делает слово "неэквивалентно"? В каком именно смысле понимается "эквивалентность" множеств? С какой "содержательной" точки зрения?

И чего здесь вообще удивительного? Почему усматривается какой-то парадокс в связи с тем, что два объекта эквивалентны в одном смысле и не эквивалентны в другом?

[Captious]

Someone писал(а):

... рассмотрим множество чисел
$\{1,1-\frac 1n:n\in\mathbb N\}$, состоящее из числа $1$и из всех чисел вида $1-\frac 1n$, где $n$ - натуральное число. В этом множестве число $1$ "последнее" или "не последнее"?

В этом множ-ве число $1$ "первое", а "последнего" нет в принципе: ваше-то множество бесконечно...

[Someone]

Captious писал(а):

Someone писал(а):

... рассмотрим множество чисел
$\{1,1-\frac 1n:n\in\mathbb N\}$, состоящее из числа $1$и из всех чисел вида $1-\frac 1n$, где $n$ - натуральное число. В этом множестве число $1$ "последнее" или "не последнее"?

В этом множ-ве число $1$ "первое", а "последнего" нет в принципе: ваше-то множество бесконечно... ;)

Нет, оно последнее: $0<\frac 12<\frac 23<\frac 34<\ldots<1$.

[Captious]

Someone писал(а):

Captious писал(а):

В этом множ-ве число $1$ "первое", а "последнего" нет в принципе: ваше-то множество бесконечно...

Нет, оно последнее: $0<\frac 12<\frac 23<\frac 34<\ldots<1$.

Неужели последнее?
И какой (последний) номер оно (т.е. число $1$) имеет?
А число $0$, значит, идёт как "первое"? Ну,ну...

[Someone]

Captious в сообщении #141624 писал(а):

Неужели последнее?
И какой (последний) номер оно (т.е. число $1$) имеет?
А число $0$, значит, идёт как "первое"? Ну,ну...

Термины "первый элемент" и "последний элемент" употребляются в теории линейно упорядоченных множеств и означают наименьший и наибольший элемент множества. В моём множестве $0$ - первый элемент, а $1$ - последний. На отрезке $[0,1]$ точно так же $0$ - первый, а $1$ - последний элемент. Никакая "нумерация" здесь ни при чём.
(К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970. Глава VI.)

Вообще, Вы напрасно уцепились за эти нумерации. При определении равномощности множеств никакие "нумерации" не используются. "Нумерация" счётных множеств - это случайное обстоятельство, связанное с тем, что в качестве эталона счётного множества берётся натуральный ряд. Но такой выбор не является обязательным (хотя он технически удобен).

Кроме того, мы ведь можем для нумерации вообще использовать порядковые числа (порядковые типы вполне упорядоченных множеств). При нумерциии порядковыми числами моё множество в естественной последовательности занумеруется так:

$$\begin{matrix}0&\frac 12&\frac 23&\frac 34&\frac 45&\ldots&1\\0&1&2&3&4&\ldots&\omega_0\end{matrix}$$

(его порядковый тип - $\omega_0+1$; $\omega_0$ - порядковый тип натурального ряда).

[Captious]

Someone писал(а):

При определении равномощности множеств никакие "нумерации" не используются.

Всем давно уже известно, что в случае конечных множеств для установления их равенства ( по количеству элементов) применяется пересчет элементов, а для бесконечных множеств эта "нумерация" заменяется операцией установления 1-1 соответствия, поскольку "пересчет" бесконечности никогда не закончится в принципе. А множ-ва уже называются не "равными", а "равномощными".
Какое это всё имеет отношение к существу поставленной г-ном OZH "проблемы мощности"?

Someone писал(а):

Термины "первый элемент" и "последний элемент" употребляются в теории линейно упорядоченных множеств и означают наименьший и наибольший элемент множества.

Ну и что? Причем тут теория линейно упорядоченных множ-в и выяснение причины "парадокса" бесконечных множеств, когда часть оказывается "равна" целому?

Ещё создатель "наивной" теории множеств Г. Кантор отмечал, что «существенное различие между конечными и бесконечными множествами обнаруживается в том, что конечное множ-во представляет одно и то же количество для любой последовательности, которую можно придать его элементам. Наоборот, множ-ву, состоящему из бесконечно многих элементов, соответствуют вообще различные количества в зависимости от последовательности, придаваемой элементам».
Проще говоря, в конечных множ-вах с какого бы элемента ни начать считать, этот пересчет всегда закончится вполне определенным "последним" номером.

Someone писал(а):

"Нумерация" счётных множеств - это случайное обстоятельство, связанное с тем, что в качестве эталона счётного множества берётся натуральный ряд. Но такой выбор не является обязательным (хотя он технически удобен).

Ну и какой же эталон счетного множества в принципе можно выбрать взамен множ-ва $\mathbb N$?