Максимум произведения

[Sdy]

Пусть у нас есть функция $g(x)$, которая при $x > 1$ всегда положительна и при этом не больше $1$.
Также при $x > 1$ у неё есть один глобальный максимум, достигающийся в точке $x_0$.
Рассмотрим произведение вида $\prod\limits_{k=1}^{n} g(x_k)$, при всех $x_k > 1$.
Как формально объяснить, что максимум этого произведения достигается в точке $(x_0,x_0,...,x_0)$ и чтобы найти максимум этого произведения, достаточно как раз таки найти $x_0$, максимизирующий $g(x)?$
И хватает ли наложенных мною ограничений, для верности этого утверждения?
Вроде как выглядит интуитивно понятно: взяли положительные числа, меньшие $1$, перемножили их, тогда максимум произведения будет там, где каждое из этих чисел достигает своего максимума, а они все достигают максимума в одной точке.

[ozheredov]

Sdy
Логарифм - монотонно растущий. И вот если натравить его на Вашу $targetFun$...

[mihaild]

Пусть в оптимуме какой-нибудь $x_k \neq x_0$. Заменим его на $x_0$. Произведение увеличится.

[Sdy]

mihaild, то есть можно вот так: пусть $X = (x_1,...,x_n)$ максимизирует это произведение. Предположим, что хотя бы одна его координата отлична от $x_0$, без ограничения общности, пусть это будет $x_k$. Тогда, $g(x_k) < g(x_0)$ в силу того что $x_0$ максимизирует $g(x)$. Но тогда

$$g(x_1)\cdot ... \cdot g(x_{k-1})g(x_k)g(x_{k+1})\cdot...\cdot g(x_n) < g(x_1)\cdot ... \cdot g(x_{k-1})g(x_0)g(x_{k+1})\cdot...\cdot g(x_n) $$

Получили противоречие с тем что произведение максимизировал $X$, тогда максимизировать это произведение может только вектор, все координаты которого равны $x_0$, а это $(x_0,x_0,...,x_0)$.
Верно?

[mihaild]

Да, так. Только тут даже "без ограничения общности" говорить не надо, какая-то координата есть, обозначим её за $k$.
Этот метод работает для довольно многих случаев, в том числе когда, например, задано ограничение на сумму - пусть экстремум не в точке, где все координаты одинаковы, тогда можно найти большее значение.

[vpb]

Тут рассуждение от противного не естественно. Естественно так: заметим, что если $a,b,c,d$ --- положительные числа, и $a<b$, $c\leq d$, то $ac<bd$. Отсюда по индукции легко видеть, что если $0<a_i\leq b_i$, $i=1,\ldots,n$, и $a_i<b_i$ для по крайней мере одного $i$, то $a_1\ldots a_n<b_1\ldots b_n$. Теперь пусть $x_1,\ldots, x_n$ такие, что $x_i\ne x_0$ для по крайней мере одного $i=i_0$. Поскольку $g(x_i)\leq g(x_0)$ при всех $i$, и $g(x_i)<g(x_0)$ при $i=i_0$, то $g(x_1)\ldots g(x_n)<g(x_0)\ldots g(x_0)$. Значит, $(x_0,\ldots,x_0)$ --- единственная точка максимума для функции $h(x_1,\ldots,x_n)=g(x_1)\ldots g(x_n)$.

[Sdy]

mihaild,
Спасибо! Я засомневался, но теперь всё стало на свои места.

vpb в сообщении #1589308 писал(а):

Тут рассуждение от противного не естественно.

Спасибо за помощь. Мне изначально показалось, что я где-то жульничаю в этом утверждении, сходу не понял где и решил всё таки спросить.

[ShMaxG]

Sdy в сообщении #1589297 писал(а):

Как формально объяснить, что максимум этого произведения достигается в точке $(x_0,x_0,...,x_0)$ и чтобы найти максимум этого произведения, достаточно как раз таки найти $x_0$, максимизирующий $g(x)?$

Произведение оценивается сверху как $g^n(x_0)$. Эта оценка достигается при $x_i=x_0$. Значит это глобальный максимум функции.

[Sdy]

ShMaxG, спасибо.

[Doctor Boom]

vpb в сообщении #1589308 писал(а):

Тут рассуждение от противного не естественно

Почему? А ваше длинное естественно?

[vpb]

Doctor Boom в сообщении #1590189 писал(а):

Почему? А ваше длинное естественно?

Оно не длинное, а полное. Оно "длинное" потому, что в нем мелкие детали явно написаны.

Sdy в сообщении #1589323 писал(а):

Мне изначально показалось, что я где-то жульничаю в этом утверждении, сходу не понял где и решил всё таки спросить.

Правильно сделали. Ваше рассуждение от противного нехорошее вот почему. Вы доказываете следующее: если некоторая точка $(x_1,\ldots,x_n)$ является точкой максимума, то она совпадает с $(x_0,\ldots,x_0)$. Но отсюда не следует, что $(x_0,\ldots,x_0)$ действительно является точкой максимума, а следует только то, что либо это точка глобального максимума, либо точка глобального максимума вообще не существует. Вторую возможность надо исключить, что и делается прямым доказательством, которое я написал. Но при наличии такого прямого доказательства ход мысли "от противного" оказывается вообще излишним (это для критика пояснение).

Кстати, в математике нередко встречается такое рассуждение. "Докажем, что объекта со свойством $P$ не существует. Сначала покажем, что если $A$ --- такой объект, то он непременно совпадает с объектом $B$. (Следует доказательство). Теперь покажем, что объект $B$ не обладает свойством $P$ (опять следует доказательство). Следовательно, объекта со свойством $P$ не существует".

Кстати еще раз, одним из бичей неопытного автора является как раз ненужное использование рассуждений от противного (см. L.Gillman, Writing Mathematics Well ).

[Doctor Boom]

vpb в сообщении #1590249 писал(а):

Оно не длинное, а полное

А от противного не полное?

[пианист]

Doctor Boom в сообщении #1590374 писал(а):

А от противного не полное?

Не полное. Не хватает обоснования, что максимум вообще существует; доказательство от противного будет работать и в случае, когда максимума нет. Уважаемый vpb же очень подробно разъяснил этот момент.

[Doctor Boom]

пианист в сообщении #1590404 писал(а):

Не хватает обоснования, что максимум вообще существует;

Если бы он не существовал, то не было бы неподвижной точки

Sdy в сообщении #1589297 писал(а):

$(x_0,x_0,...,x_0)$

пианист в сообщении #1590404 писал(а):

доказательство от противного будет работать и в случае, когда максимума нет

Приведите пример

[vpb]

Doctor Boom в сообщении #1590479 писал(а):

то не было бы неподвижной точки

Неподвижной точки чего (какого отображения) ?