комбинаторика

[Rushi]

Помогите пожалуйста тугодуму.. Что то похоже комбинаторика не мой предмет совсем...есть такая задача..
Сколькими способами можно представить 1000000 в виде произведения трех множителей, если произведения, отличающиеся порядком множителей, считаются различными?
Число раскладывается так:
1000000 = 2^6 • 5^6 Каждый множитель однозначно определяется количеством двоек и пятерок, входящих в его разложение. Суммарное количество в трех множителях как двоек, так и пятерок, равно 6.

Это мне понятно, но не понимаю почему ответ ($C_8^2 $)^2 ???

[kpierre]

Цитата:

Второй вопрос, поясните пожалуйста почему перестановок n элементов в кругу (n-1)! ? Какой вариант не считается?

Если не в круг, а в ряд -- то получается n!

Когда мы ряд зацикливаем, для любого варианта из ряда таких же наберется n (т.к. сдвинутые варианты считаются одинаковыми), значит надо разделить на n. Итого n!/n = (n-1)!

[ewert]

Rushi писал(а):

Второй вопрос, поясните пожалуйста почему перестановок n элементов в кругу (n-1)! ? Какой вариант не считается?

По первому вопросу -- лень вникать в постановку задачи; а по второму -- автоматически. Собственно перестановок -- $n!$; и каждая конкретная такая перестановка переходит ровно в $n$ других эквивалентных путём вращений; вот и получатся в точности ${n!\over n}$ комбинаций.

[Rushi]

спасибо поняла.. про круг

с задачей никто не поможет? собсно ответ написан уже, формулировку не понимаю, что от куда взялось..

[Профессор Снэйп]

Rushi писал(а):

Сколькими способами можно представить 1000000 в виде произведения трех множителей, если произведения, отличающиеся порядком множителей, считаются различными?

Ну вот смотрите. Предположим, что у нас есть шесть белых шаров, шесть красных шаров и три пронумерованных ящика. Я утверждая, что количество способов, которыми можно разложить число $1000000 = 2^6 \cdot 5^6$ на три множителя, равно числу способов, которыми эти шары можно разложить по этим ящикам.

Действительно, пусть у нас есть разложение

$$ 1000000 = (2^{k_1} \cdot 5^{m_1}) \cdot (2^{k_2} \cdot 5^{m_2}) \cdot (2^{k_3} \cdot 5^{m_3}) $$

Положим в первый ящик $k_1$ белых и $m_1$ красных шаров, во второй --- $k_2$ белых и $m_2$ красных, а в третий --- $k_3$ белых и $m_3$ красных. Таким образом, мы разложению поставили в соответствие раскладку шаров по ящикам. Ясно, что разным разложениям будут соответствовать разные раскладки шаров по ящикам. Также ясно, что для любой раскладки шаров по ящикам найдётся разложение, которому эта раскладка соответствует. Таким образом, взаимно-однозначное соответствие между разложениями и раскладками налицо.

Теперь посчитаем, сколько всего раскладок. Пусть $n$ --- это количество способов разложить белые шары по нашим трём ящикам. Ясно, что количество способов, которыми можно разложить по тем же ящикам красные шары, равно тому же самому числу $n$. Ну а так как белые и красные шары можно раскладывать независимо друг от друга, то общее число раскладок (и разложений на множители) будет равно $n^2$.

Наконец, поймём, чему равно $n$. Предположим, что восемь белых шаров расположены в ряд друг за другом, слева направо. Если выбрать из них какие-то 2 шара и поставить вместо них перегородки, то останется шесть шаров. После этого можно положить все шары до первой перегородки в первый ящик, шары между первой и второй перегородками во второй ящик, а шары после второй перегородки в третий ящик, и получится раскладка белых шаров по ящикам. Ясно, что разным способам выбора двух шаров для возведения перегородок соответствуют разные раскладки шести шаров по трём ящикам, и что для каждой раскладки шаров найдётся соотвествующий ей способ выбора двух шаров для перегородок. Таким образом, интересующее нас число $n$ равно количеству способов выбрать два шара из восьми, то есть $C_8^2$.

Rushi писал(а):

...не понимаю почему ответ ($C_8^2 $)^2 ???

См. выше

[Rushi]

Профессор Снэйп, спасибо!!! Вы спаситель , наконец поняла от куда взялась эта 8! ну и остальное тоже.

[Профессор Снэйп]

Rushi писал(а):

наконец поняла от куда взялась эта 8! ну и остальное тоже.

+5 очков Гриффиндору

[bot]

Профессор Снэйп писал(а):

+5 очков Гриффиндору

А это кто?

[TOTAL]

bot писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

+5 очков Гриффиндору

А это кто?

Проф. Северэс Снейп относится к Слизеринг как проф. МакГонагалл относится к Гриффиндор.

[bot]

Число неизвестных возросло. Это персонажи что ли?

[TOTAL]

bot писал(а):

Число неизвестных возросло. Это персонажи что ли?

Гарри Поттер, слышали про такого?

[bot]

А-а-а, так это оттуда стало быть проф. Снэйп!

Добавлено спустя 2 минуты 50 секунд:

Кстати насколько популярна эта муть среди молодёжи? Можно Буратино в задачах заменять на Гриффиндора?

[TOTAL]

bot писал(а):

А-а-а, так это оттуда стало быть проф. Снэйп!

Добавлено спустя 2 минуты 50 секунд:

Кстати насколько популярна эта муть среди молодёжи? Можно Буратино в задачах заменять на Гриффиндора?

Это не муть. Год назад я с удовольствием прослушал все аудиокниги. Гриффиндоры (декан МакГонагалл), Слизеринги (декан Снейп), Рейвенклозы и ещё кто-то - это четыре факультета, на которые делились все ученики школы, в которой учился Гарри Поттер. Так что Вам придётся перечитать хотя бы первую книгу, чтобы понять, какие персонажи сделать участниками задач.

[Архипов]

А если проверить формулу для 100, 1000, 10000 ?
В ответах должны быть квадраты количества сочетаний?
Для 100 получается три сочетания сомножителей: 2 2 25, 2 10 5, 4 5 5.
Перестановок будет 3+6+3=12.
Ответ: 12. А по формуле - или 9, или 16 должен быть?

[bot]

Архипов писал(а):

А если проверить формулу для 100, 1000, 10000 ?

А чего её проверять? Профессор всё прозрачно расписал. Для числа $p^mq^n$, где $p, \ q$ - разные простые, число разложений будет $\frac{(n+2)(n+1)(m+2)(m+1)}{4}$.

Вы не учитываете среди множителей единицы.