Доверительный интервал параметра биномиального распределения

[Nephi]

Помогите решить задачку
В выборке, состоящей из n= 21 изделий, только 7 бракованные. С вероятностью 0,95 оценить пределы, в которых будет находиться доля брака во всей партии, если известно, что вся партия содержит 700 изделий.

Добавлено спустя 6 минут 10 секунд:

Правильно ли я мыслю:
В выборке из 21 изделий - 7 бракованных. Т.е. бракованное каждое третье изделие.
Всего в партии 700 изделий, значит бракованных - 700/3. Вероятность - 0,95. Тогда пределы бракованных изделий
нижний: 700/3*0,95
верхний: 700/3*1,05, т.е
доля брака в пределах больше 221 но меньше 245 изделий
Это верно, или я где-то туплю?

// тема изменена на более информативную. maxal

[Henrylee]

Неправильно. Используйте теорему Муавра-Лапласа.

[Nephi]

никак не могу разобраться.
вероятность того, что изделие бракованное
p=7/21=1/3=0.33
сответственно
q=0.67
Всего изделий
n=700
с вероятностью 0,95 оценить пределы, в которых будет находится доля брака.
Это мне числа k1 и k2 что ли найти надо?

$$ P_n(k1,n)=\Phi\Big(\frac{k_2-np}{\sqrt{npq}}\Big)-\Phi\Big(\frac{k_1-np}{\sqrt{npq}}\Big) $$

$$ 0.95=\Phi(x'')-\Phi(x')=\Phi\Big(\frac{k_2-700* 0.33}{\sqrt{700*0.33*0.67}}\Big)-\Phi\Big(\frac{k_1-700*0.33}{\sqrt{700*0.33*0.67}}\Big) $$

И дальше чего?

[Henrylee]

Это тоже верно, но таких пар будет много.
Обычно в подобных задачах считается, что интервал, в который попадает искомое количество симмеричен относительно матем. ожидания (и тем самым минимален по длине). Вот и исходите из того, что Вам нужно найти не две границы, а только длину интервала - отклонение от матем. ожидания.

Добавлено спустя 4 минуты 27 секунд:

И вместо равенства ставьте $\approx$. Это ведь приближенные вычисления.

[GAA]

Обозначим число бракованных изделий в выборке через $m$, объем выборки через $n$, объем партии через $N$, количество бракованных изделий в партии через $M$.

Nephi писал(а):

... вероятность того, что изделие бракованное p=7/21...

Может быть оценка доли бракованных изделий p*=m/n?

В ответ на сообщение Nephi участник Henrylee писал(а):

Это тоже верно...

$m/n$ - величина случайная, а доля $M/N$ бракованных изделий в партии величина детерминированная. Мы доверительный интервал для случайной величины строим?! Как-то выглядит все это очень подозрительно.:)

[PAV]

Нет, немного не так по-моему.

Допустим, что бракованных изделий $m$. Тогда количество брака в выборке объема 21 имеет гипергеометрическое распределение; в частности, можно указать интервал (симметричный относительно среднего), в котором с вероятностью 0.95 будет лежать число брака. Нам нужны такие значения $m$, при которых этот интервал будет захватывать наблюденное значение 7.

Поскольку объем выборки достаточно мал относительно объема всей генеральной совокупности, а доля брака явно не очень мала, то можно пользоваться приближением Бернулли. Т.е. игнорировать тот факт, что выборка бесповторная, и рассматривать ее как повторную. Присходит 21 испытание Бернулли, вероятность "успеха" (наблюдение брака) равна $p=m/700$.

Нам нужно отсеять неправдоподобные значения $p$ сверху и снизу. Нижним порогом будет такое наибольшее $p_0$, при котором вероятность получить $\ge 7$ успехов из 21 возможного не превышает 0.025. Верхним порогом будет такое наименьшее значение $p_1$, при котором вероятность получить $\le 7$ успехов из 21 возможного не превышает 0.025. Это и будет доверительный интервал для $p$, из которого легко получить интервал для $m$.

[Henrylee]

Ах вот Вы в каком смысле... Да, согласен, что предположение о том, что это порсто схема Бернулли с $p=7/21$ натянуто. Посчитал, что задача типовая. С другой стороны не могу отделаться от ощущения, что это просто формулировка неудачная, которая ведет к усложенению задачи.
PS Ждем Архипова, который, радостно потирая руки, объявит задачу некорректной Удивлюсь, если не дождемся..

[GAA]

Кажется, PAV, буквой m мы обозначаем разные величины, но я ввел обозначение раньше.

По первой части совпадаем:
Случайная величина $m$ имеет гипергеометрическое распределение (GG). При стремлении $M$ и $N$ к бесконечности, так что $M/N \to p = \text{const}$ биномиальное распределение $\text{B}(n,p)$ является предельным для GG($N$, $M$, $n$) [Nephi, см., например, раздел 3 "Условная вероятность и независимость событий" первой части лекций И.Н. Володина]. Поэтому, возможно, составитель задания предполагает построение для $M/N$ асимптотически доверительный интервал для параметра $p$ биномиального распределения.

Дальше просто строим асимптотически доверительный интервал для параметра биномиального распределения. О построении асимптотически доверительного см.:
1. Ширяев “Вероятность”, 1989.
2. Часть II, раздел “Доверительные интервалы” лекций И.Н. Володина (я скачивал ps, а затем конвертировал в pdf).

[Henrylee]

А ведь правда

Nephi писал(а):

С вероятностью 0,95 оценить пределы, в которых будет находиться доля брака во всей партии

тут имеют $p$ в виду.

[PAV]

GAA, действительно, тут фактически имеется в виду доверительное оценивание параметра биномиального распределения $p$ по наблюденным 7 успехам в 21 испытании. Но только асимптотический метод тут не очень подходит, потому что число испытаний невелико.

[Nephi]

Ох, запутали вы меня совсем. Будем считать, что задачка типовая. Без усложнений. Так мне не понятно, как мне оценить пределы?
Мне нужно найти интервал, $\Phi_2-\Phi_1=0.95$, используя таблицу, чтобы в него попадало число 700?

[Henrylee]

Nephi писал(а):

Ох, запутали вы меня совсем. Будем считать, что задачка типовая. Без усложнений. Так мне не понятно, как мне оценить пределы?
Мне нужно найти интервал, $\Phi_2-\Phi_1=0.95$, используя таблицу, чтобы в него попадало число 700?

Нет, я уже намекнул, что жестко лоханулся, невнимательно прочитав условие. Действовать надо как подсказывают GAA и PAV.

[GAA]

О (точном) доверительном интервале для параметра $p$ биномиального распределения можно посмотреть в книге Б.Л. ван дер Варден "Математическая статистика", 1960.
Только в типовых упражнениях предполагается именно асимптотический интервал. Просто условие не очень удачное. Еще лучше построить доверительный интервал для параметрической функции $M/N$ исходного GG распределения. :)

Добавлено 02.12.08

Книгу Ван дер Вардена можно скачать с EqWord или c сайта Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения.

[PAV]

Я согласен, что отказ от асимптотического приближения действительно существенно усложняет вычисления и выводит задачку из категории учебных. Впрочем, можно воспользоваться таблицами биномиального распределения, хотя при этом возникают погрешности из-за дискретности по $p$.

Можно, конечно, для простоты действительно взять нормальное приближение, это будет некоторое решение, но тогда условие действительно не очень удачное.

Добавлено спустя 8 минут 59 секунд:

Половина от 0.05. Чтобы строить двусторонние доверительные интервалы, нужно вероятность ошибки поровну раскидать влево и вправо (выражаясь очень вульгарно ). Более аккуратно это в курсе статистики объясняется.

(Это был ответ на вопрос "Откуда 0.025?", который автор успел удалить, пока я писал ответ

[Nephi]

PAV
спасибо, за пояснение, только пока вы писали ответ, автор сам успел понять, что это за 0.025. Извините, не видела, иначе бы не удалила

Добавлено спустя 6 минут 10 секунд:

Так я снова ничего не понимаю. Повторюсь, скорее всего, задачка стандартна.
В этом приближении, то что я писала выше верно?
Как действовать дальше?
Открываю Гмурмана "Руководство к решению задач..." в конце на 389 странице, приложение 2 Таблица значений функции Ф(х).
там
минимальное значение х=0, Ф(х)=0
максимальное значение х=5, Ф(х)=0,499997
и что мне с этим делать-то?