Магические квадраты

[Nataly-Mak]

А кто сказал, что это шестнадцатеричные числа? Может быть, это пятнадцатеричные или двадцатеричные числа? И на кой ляд заполнять латинские квадраты не в десятичной системе счисления? Что с этими квадратми дальше делать?
Не торопитесь! Я о статье Тодорова уже два месяца пишу, ещё никто ничего не успел придумать

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

А одолеть я просила совсем другое - MOLS 14-го порядка (см. цитату). А это можете одолеть?

Если не ошибаюсь, то вот так:

l = ["0 12 10 0 6 12 0 10 8 - 7 0 1 6 9",
     "4 0 10 10 0 5 11 0 4 0 - 8 3 5 1",
     "4 12 0 2 4 0 12 7 0 11 0 - 9 2 3",
     "10 4 12 11 7 8 3 9 1 11 7 8 - 0 0",
     "5 2 6 10 4 12 6 5 2 3 9 1 0 - 0"]

d = [[None if x == '-' else int(x) for x in s.split(' ')] for s in l]

a = [[[None for j in range(14)] for i in range(14)] for k in range(3)]

def s(a, b):
    return 13 if a == None else (a + b) % 13

for i in range(len(d[0])):
    x, y = d[0][i], d[1][i]
    for j in range(3):
        for z in range(13):
            a[j][s(x,z)][s(y,z)] = format(s(d[j+2][i], z) + 1, 'x')
        a[j][13][13] = 'e'

for s in a: 
    for x in s: 
        print(' '.join(x)) 
    print()

4 1 9 b 5 8 2 c e 6 3 d a 7
b 5 2 a c 6 9 3 d e 7 4 1 8
2 c 6 3 b d 7 a 4 1 e 8 5 9
6 3 d 7 4 c 1 8 b 5 2 e 9 a
a 7 4 1 8 5 d 2 9 c 6 3 e b
e b 8 5 2 9 6 1 3 a d 7 4 c
5 e c 9 6 3 a 7 2 4 b 1 8 d
9 6 e d a 7 4 b 8 3 5 c 2 1
3 a 7 e 1 b 8 5 c 9 4 6 d 2
1 4 b 8 e 2 c 9 6 d a 5 7 3
8 2 5 c 9 e 3 d a 7 1 b 6 4
7 9 3 6 d a e 4 1 b 8 2 c 5
d 8 a 4 7 1 b e 5 2 c 9 3 6
c d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b e

3 6 e d b 5 a 2 9 7 c 4 8 1
9 4 7 e 1 c 6 b 3 a 8 d 5 2
6 a 5 8 e 2 d 7 c 4 b 9 1 3
2 7 b 6 9 e 3 1 8 d 5 c a 4
b 3 8 c 7 a e 4 2 9 1 6 d 5
1 c 4 9 d 8 b e 5 3 a 2 7 6
8 2 d 5 a 1 9 c e 6 4 b 3 7
4 9 3 1 6 b 2 a d e 7 5 c 8
d 5 a 4 2 7 c 3 b 1 e 8 6 9
7 1 6 b 5 3 8 d 4 c 2 e 9 a
a 8 2 7 c 6 4 9 1 5 d 3 e b
e b 9 3 8 d 7 5 a 2 6 1 4 c
5 e c a 4 9 1 8 6 b 3 7 2 d
c d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b e

a 4 d 9 6 5 1 c 2 8 b 7 e 3
e b 5 1 a 7 6 2 d 3 9 c 8 4
9 e c 6 2 b 8 7 3 1 4 a d 5
1 a e d 7 3 c 9 8 4 2 5 b 6
c 2 b e 1 8 4 d a 9 5 3 6 7
7 d 3 c e 2 9 5 1 b a 6 4 8
5 8 1 4 d e 3 a 6 2 c b 7 9
8 6 9 2 5 1 e 4 b 7 3 d c a
d 9 7 a 3 6 2 e 5 c 8 4 1 b
2 1 a 8 b 4 7 3 e 6 d 9 5 c
6 3 2 b 9 c 5 8 4 e 7 1 a d
b 7 4 3 c a d 6 9 5 e 8 2 1
3 c 8 5 4 d b 1 7 a 6 e 9 2
4 5 6 7 8 9 a b c d 1 2 3 e

Насчет изоморфности не знаю.

Может, вам еще и 15-й порядок нужен?

Nataly-Mak писал(а):

А кто сказал, что это шестнадцатеричные числа?

А никто. Каждый исследователь выбирает те символы, которые ему удобнее.

[tolstopuz]

Кстати, эти квазиразностные матрицы элементарно читаются с листа.

Возьмем первый столбец: $(0, 4, 4, 10, 5)$. Он означает, что в клетку $(0, 4)$ первого квадрата надо записать $4$, второго - $10$, третьего - $5$. Раз уж мы решили нумеровать всё с единицы, запишем в пятый столбец первой строки первого квадрата $5$, второго - $b$, третьего - $6$. Дальше в каждом квадрате пойдем вправо вниз, не считая последние строку и столбец и оборачиваясь через края. Символ на каждом шаге берем следующий, зацикливая алфавит и пропуская последний символ $e$. Так заполняется $13$ клеток в каждом квадрате.

Если в каком-то элементе стоит прочерк, то это означает соответственно последнюю строку, последний столбец или последнюю букву алфавита, причем оборачивание для него не делается. То есть $(-, 0, 11, 11, 3)$ означает заполнение последней строки, начиная с $c$, $c$ и $4$ в первом столбце, а $(7, -, 0, 7, 9)$ - последнего столбца, начиная с $1$, $8$ и $a$ в восьмой строке. А $(0, 8, -, 8, 1)$ - ставим в девятый столбец первой строки $e$, $9$ и $2$, а дальше идем вправо вниз и в первый квадрат пишем только $e$, а в остальных символы меняем.

Всего $15$ столбцов, каждый дает по $13$ клеток, остается только дописать $e$ в правую нижнюю клетку каждого квадрата.

Точно так же, взяв матрицу из 3.47, можно сделать четыре MOLS 15-го порядка, только надо дописать в исходную матрицу столбец с нулями.

[Nataly-Mak]

Потрясающе! И где вы раньше были!?
С группами MOLS порядков 14 и 15 всё поняла. Вот первые два ЛК 15-го порядка:

1 7 12 10 9 3 15 6 5 13 4 11 14 2 8
3 2 8 13 11 10 4 15 7 6 14 5 12 1 9
2 4 3 9 14 12 11 5 15 8 7 1 6 13 10
14 3 5 4 10 1 13 12 6 15 9 8 2 7 11
8 1 4 6 5 11 2 14 13 7 15 10 9 3 12
4 9 2 5 7 6 12 3 1 14 8 15 11 10 13
11 5 10 3 6 8 7 13 4 2 1 9 15 12 14
13 12 6 11 4 7 9 8 14 5 3 2 10 15 1
15 14 13 7 12 5 8 10 9 1 6 4 3 11 2
12 15 1 14 8 13 6 9 11 10 2 7 5 4 3
5 13 15 2 1 9 14 7 10 12 11 3 8 6 4
7 6 14 15 3 2 10 1 8 11 13 12 4 9 5
10 8 7 1 15 4 3 11 2 9 12 14 13 5 6
6 11 9 8 2 15 5 4 12 3 10 13 1 14 7
9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 15

1 11 8 3 6 12 9 4 13 15 5 10 2 7 14
8 2 12 9 4 7 13 10 5 14 15 6 11 3 1
4 9 3 13 10 5 8 14 11 6 1 15 7 12 2
13 5 10 4 14 11 6 9 1 12 7 2 15 8 3
9 14 6 11 5 1 12 7 10 2 13 8 3 15 4
15 10 1 7 12 6 2 13 8 11 3 14 9 4 5
5 15 11 2 8 13 7 3 14 9 12 4 1 10 6
11 6 15 12 3 9 14 8 4 1 10 13 5 2 7
3 12 7 15 13 4 10 1 9 5 2 11 14 6 8
7 4 13 8 15 14 5 11 2 10 6 3 12 1 9
2 8 5 14 9 15 1 6 12 3 11 7 4 13 10
14 3 9 6 1 10 15 2 7 13 4 12 8 5 11
6 1 4 10 7 2 11 15 3 8 14 5 13 9 12
10 7 2 5 11 8 3 12 15 4 9 1 6 14 13
12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15

Вы угадали: мне и порядок 15 нужен (его уже получила) и все следующие порядки.
Как я понимаю, для порядков 18, 20 и 21 какие-то другие матрицы заданы (всё осложняется ещё тем, что не знаю языка)..
Скажите, а чем отличаются квазиразностные матрицы от просто разностных? Там ещё о каком-то векторе $V(m,t)$ речь идёт.
Сейчас попробую построить группу MOLS 14-го порядка по статье Тодорова. У него, кажется, тоже квазиразностная матрица даётся.
(Всё это очень похоже на построение по ортогональному массиву, которое уже освоила по Холлу).
А вот интересно очень: как эти квазиразностные матрицы сочиняются? Для каждого порядка по-своему?
Изоморфность двух групп MOLS 14-го порядка проверю.
Спасибо вам! Вы мне очень помогли.

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

Как я понимаю, для порядков 18, 20 и 21 какие-то другие матрицы заданы (всё осложняется ещё тем, что не знаю языка)..

Для порядка 18 каждый столбец, кроме первого, используется два раза - сначала как есть, потом первая строка меняется со второй, а третья с четвертой. Вместо четырех прочерков ставятся четыре последних строки/столбца/символа (каждое в свой прочерк) и, как было в порядке 14, не меняются при заполнении. В конце остается дырка 4x4, которая тривиально заполняется. Третий квадрат составляется как-то по-другому, надо вникать.

Для порядка 20 каждый столбец используется три раза - как есть и циклически сдвинув каждую половину в противоположные стороны (вверх/вниз и вниз/вверх). Для порядка 21 - пять раз с циклическими сдвигами и приписыванием (наверное, удобнее сверху) нуля и еще столбец нулей.

Nataly-Mak писал(а):

Скажите, а чем отличаются квазиразностные матрицы от просто разностных?

В квазиразностных есть прочерки.

Nataly-Mak писал(а):

Там ещё о каком-то векторе $V(m,t)$ речь идёт.

В этом я еще не разбирался.

Nataly-Mak писал(а):

А вот интересно очень: как эти квазиразностные матрицы сочиняются? Для каждого порядка по-своему?

Ну да, творчески. Просто в них информация более сжата, чем в соответствующих им MOLS, поэтому там меньше степеней свободы при поиске. А начиная с порядка 18, как видно из текста, удается угадать симметрию, позволяющую задать только небольшую часть матрицы.

[Nataly-Mak]

С праздником, защитники Отечества
Уф! Наконец-то, я “расколола” статью Тодорова. Группа из трёх MOLS 14-го порядка по одной из матриц Тодорова построена. Покажу первые два квадрата из этой группы:

14 8 6 12 3 7 11 13 5 4 10 9 2 1
3 14 9 7 13 4 8 12 1 6 5 11 10 2
11 4 14 10 8 1 5 9 13 2 7 6 12 3
13 12 5 14 11 9 2 6 10 1 3 8 7 4
8 1 13 6 14 12 10 3 7 11 2 4 9 5
10 9 2 1 7 14 13 11 4 8 12 3 5 6
6 11 10 3 2 8 14 1 12 5 9 13 4 7
5 7 12 11 4 3 9 14 2 13 6 10 1 8
2 6 8 13 12 5 4 10 14 3 1 7 11 9
12 3 7 9 1 13 6 5 11 14 4 2 8 10
9 13 4 8 10 2 1 7 6 12 14 5 3 11
4 10 1 5 9 11 3 2 8 7 13 14 6 12
7 5 11 2 6 10 12 4 3 9 8 1 14 13
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

3 12 11 10 9 6 5 2 8 13 7 4 14 1
14 4 13 12 11 10 7 6 3 9 1 8 5 2
6 14 5 1 13 12 11 8 7 4 10 2 9 3
10 7 14 6 2 1 13 12 9 8 5 11 3 4
4 11 8 14 7 3 2 1 13 10 9 6 12 5
13 5 12 9 14 8 4 3 2 1 11 10 7 6
8 1 6 13 10 14 9 5 4 3 2 12 11 7
12 9 2 7 1 11 14 10 6 5 4 3 13 8
1 13 10 3 8 2 12 14 11 7 6 5 4 9
5 2 1 11 4 9 3 13 14 12 8 7 6 10
7 6 3 2 12 5 10 4 1 14 13 9 8 11
9 8 7 4 3 13 6 11 5 2 14 1 10 12
11 10 9 8 5 4 1 7 12 6 3 14 2 13
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 14

Теперь можно и группу MOLS 20-го порядка по статье Тодорова построить. Там, наверное, аналогичная матрица даётся.
tolstopuz
Спасибо за инструкции для групп MOLS 18, 20 и 21 порядка. Пока не разбиралась.
Здесь было показано построение группы MOLS 12-го порядка с помощью абелевой группы. Интересная задача: придумать аналогичное построение с помощью абелевой группы для какого-нибудь другого порядка. Неужели этот метод применим только для порядка 12? Изящный метод! А может быть, уже и есть решение задачи для какого-нибудь порядка, просто я об этом пока ничего не знаю. Ведь группы MOLS построили до порядка 10000! Там наверняка есть ещё множество очень интересных методов.

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

Здесь было показано построение группы MOLS 12-го порядка с помощью абелевой группы. Интересная задача: придумать аналогичное построение с помощью абелевой группы для какого-нибудь другого порядка.

Так все эти разностные матрицы и так строятся в конечных абелевых группах - после достижения последнего символа происходит зацикливание. Другое дело, что для 12-го порядка использовалось нетривиальное произведение циклических групп, что-то похожее будет в порядках 24, 30, 36, 44, 45, 75. А для порядков 28, 40, 48, 52, 56, 80 используются еще и поля Галуа.

[Nataly-Mak]

Похоже, мне надо снова поступать в университет, да боюсь не примут
Отчитываюсь: с группой MOLS порядка 21 получилось с ходу. Всё просто. Порядки 18 и 20 ещё не смотрела.
Однако почему-то не получилось по разностной матрице Wojtas для группы MOLS 20-го порядка. Эта матрица была приведена в одном из сообщений. Может быть, где-то ошиблась. Сейчас ещё раз попробую. У меня вылезает в первую строку повторяющийся элемент - число 6 (при построении первого ЛК). Я дополнила приведённую матрицу строкой из нулей. Правильно?

Добавлено спустя 1 час 47 минут 5 секунд:

Пункт 3.49 (группа MOLS 20 порядка) одолела.
А вот с пунктом 3.48 сложно (группа MOLS 18-го порядка). Там, по-моему, строится ортогональный массив $OA(5,18)$. Вот только как он строится, я не могу понять. Очень нужен хотя бы перевод текста этого пункта. Без перевода совсем плохо

[Nataly-Mak]

tolstopuz писал(а):

В конце остается дырка 4x4, которая тривиально заполняется. Третий квадрат составляется как-то по-другому, надо вникать.

Предполагаю, что "дырка" - это подквадрат 4-го порядка, и заполнить эти "дырки" во всех трёх латинских квадратах 18-го порядка надо тремя взаимно ортогональными ЛК 4-го порядка. Сколько существует неизоморфных групп MOLS 4-го порядка (а кстати, сколько их существует ), столько мы получим неизоморфных групп MOLS 18-го порядка.

[Nataly-Mak]

Ну, вот! Куда же вы исчезли, tolstopuz? Я надеялась с вашей помощью построить все группы MOLS до порядка 10000
Два ортогональных латинских квадрата 18-го порядка по пункту 3.48 я построила. Они действительно оказались с подквадратами 4-го порядка. Однако, как “выудить” из этой матрицы третий квадрат?
Интересно отметить, что раньше мной построена пара ОЛК 18-го порядка с подквадратами 5-го порядка (см. http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty6.htm ) Схема построения совершенно аналогичная той, что в рассматриваемом пункте 3.48, но переменных пять и соответственно подквадрат пятого порядка. Я пользовалась при построении этой пары ОЛК разработанным мной алгоритмом для серии порядков $n = 6k, k>1$.
У меня есть гипотеза: к построенной мной паре ОЛК можно добавить ещё два квадрата, которые составят с двумя построенными группу MOLS 18-го порядка из 4-х квадратов (для квадратов 5-го порядка группа MOLS состоит из 4-х квадратов). Если эта гипотеза верна, получается совершенно новый результат, потому что на сегодня известна только группа MOLS 18-го порядка, состоящая из 3 квадратов.
Предлагаю посмотреть на построенную мной пару ОЛК 18-го порядка. Кто-нибудь может мою гипотезу реализовать либо опровергнуть?
Даже если дополнить построенну мной пару ОЛК только одним квадратом, ортогональным данным, и то будет очень хороший результат, потому что это будет всё равно новая группа, отличная от той, что получается по пункту 3.48. А может быть, кто-нибудь видел группу MOLS 18-го порядка, состоящую из латинских квадратов с подквадратом 5-го порядка? Пожалуйста, расскажите. Чрезвычайно интересно! Новую я получила группу или нет? Даже если в этой группе пока только два квадрата.

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

Ну, вот! Куда же вы исчезли, tolstopuz? Я надеялась с вашей помощью построить все группы MOLS до порядка 10000

Через несколько дней постараюсь вернуться к квадратам.

[Nataly-Mak]

Возвращаюсь к методу латинских квадратов. Для более наглядной постановки задачи немного повторюсь.
Итак, пусть построены два ортогональных классических латинских квадрата любого порядка $n$. В общем случае эти латинские квадраты не диагональные. Понятно, что суммы чисел в строках и столбцах латинских квадратов равны одному и тому же числу. Если латинские квадраты диагональные, то тому же числу равны и суммы чисел в диагоналях. Тогда можно сразу применить методом латинских квадратов и построить из данной пары ОЛК два магических квадрата, меняя местами латинские квадраты в формуле для построения магического квадрата. Будем теперь рассматривать общий случай – латинские квадраты не диагональные. Понятно, что из такой пары ОЛК нельзя сразу построить магический квадрат. В этом случае применяется преобразование, названное мной трансформацией тождественной перестановки чисел $0, 1, … n-1$.
Вот какую цитату нашла в одной из статей ( http://www.mi.ras.ru/spm/pdf/011.pdf ):
“На примерах квадратов размеров 3х3, 4х4, 5х5 Эйлер показал, что условие равенства диагональных сумм суммам по строкам и столбцам при такой конструкции (в виде греко-латинских квадратов – прим. Nataly-Mak) записывается в виде линейных уравнений, выполнение которых можно обеспечить за счёт переобозначения элементов”. Как мне кажется, здесь речь идёт как раз о том же самом. “Переобозначение элементов” – это и есть трансформация тождественной перестановки чисел.
Итак, я построила пары ОЛК чётных порядков от 8-го до 26-го включительно. Во всех случаях не диагональные латинские квадраты были легко преобразованы в квадраты, в которых диагональные суммы равны суммам чисел в строках и столбцах. Достигнуто это именно с помощью переобозначения элементов. При этом нужные переобозначения я очень просто нахожу простым подбором. Приведу один пример – самый свежий. Только что я построила пару ОЛК 26-го порядка. Эта пара из группы MOLS 26-го порядка, состоящей из 4 квадратов. Для применения метода латинских квадратов мне достаточно пары ОЛК. Оба квадрата в паре не диагональные (в обоих квадратах неправильная только одна диагональ). Первый квадрат преобразовывается такими переобозначениями элементов: 8 --> 18, 18 --> 8, 20 --> 21, 21 --> 20, второй квадрат преобразовывается всего одной взаимозаменой: 3 --> 25, 25 --> 3.
Не буду показывать преобразованные латинские квадраты, а сразу покажу магический квадрат, построенный из полученной пары ОЛК:

1  257  564  670  430  494  336  195  397  615  634  120  597  275  346  135  503  289  542  80  58  30  168  463  227  375 
 85  28  283  565  671  197  546  362  482  424  616  635  147  576  302  373  162  10  315  516  129  57  455  209  254  402 
 134  112  77  309  566  651  484  520  388  535  191  617  636  174  577  329  400  449  37  341  22  84  222  236  281  429 
 48  161  139  82  335  567  652  537  26  414  510  478  618  637  461  578  356  427  216  64  367  111  249  285  287  196 
 393  74  448  166  109  361  547  675  512  52  440  17  531  619  638  228  579  383  194  243  91  138  276  290  314  483 
 118  419  100  215  453  136  387  548  654  19  78  206  44  506  599  639  255  580  410  481  270  165  303  317  363  536 
 297  145  185  126  242  220  163  413  571  655  46  104  492  71  13  600  640  261  581  437  534  452  330  344  368  511 
 509  324  172  471  152  269  247  450  439  550  656  73  130  544  98  40  623  641  288  582  183  219  357  371  395  18 
 470  16  351  459  523  178  296  274  217  205  551  657  79  156  518  125  67  602  642  337  583  246  384  398  422  45 
 584  545  43  378  226  497  464  323  301  244  491  552  658  106  182  24  131  94  603  643  342  273  411  425  189  72 
 369  585  498  70  405  253  3  230  350  328  271  543  553  659  155  468  50  158  121  604  644  300  417  192  476  99 
 645  396  586  5  97  432  280  29  256  377  355  298  517  554  660  160  234  76  467  148  605  327  184  479  529  105 
 606  625  423  587  32  124  199  307  55  282  404  382  325  23  555  661  447  260  102  212  175  354  493  532  504  132 
 462  607  626  190  588  59  151  486  313  81  308  431  409  352  49  556  662  214  286  128  239  381  524  507  11  181 
 266  229  608  649  477  589  86  157  539  340  107  334  198  436  379  75  557  663  241  312  154  408  499  14  38  446 
 180  293  235  609  628  530  590  113  444  514  389  133  360  485  203  406  101  558  664  268  338  435  6  41  65  213 
 364  466  320  262  610  629  505  591  140  233  21  394  159  386  538  469  433  127  559  665  295  202  33  68  92  240 
 322  390  232  347  311  611  630  12  592  167  238  27  421  445  412  513  522  200  153  560  666  489  60  95  119  267 
 667  349  416  258  374  316  612  631  39  593  454  265  54  188  211  438  20  519  487  179  561  521  87  122  146  294 
 562  668  376  442  284  401  343  613  632  66  573  221  292  103  475  237  204  47  4  540  465  496  114  149  173  321 
 231  563  669  403  208  310  428  370  614  633  93  574  248  319  108  528  263  490  53  31  515  25  141  176  460  348 
 201  488  541  495  2  51  56  83  110  137  164  451  218  245  272  299  326  353  380  407  434  568  595  622  627  676 
 61  88  115  142  169  456  223  250  277  304  331  358  385  391  418  207  472  525  500  7  34  596  601  650  672  569 
 441  186  473  526  501  8  35  62  89  116  143  170  457  224  251  278  305  332  359  365  392  624  646  673  570  575 
 252  279  306  333  339  366  415  420  187  474  527  502  9  36  63  90  117  144  171  458  225  647  674  549  598  620 
 533  508  15  42  69  96  123  150  177  443  210  259  264  291  318  345  372  399  426  193  480  653  572  594  621  648

Теперь попытаюсь сформулировать задачу. Пусть имеются два ортогональных классических латинских квадрата порядка $n$, во всех или в нескольких диагоналях которых не все элементы различны. Ни одна из диагоналей не состоит из одинаковых элементов. Доказать, что для каждого квадрата существует такая трансформация тождественной перестановки чисел, которая переводит его в квадрат, являющийся нетрадиционным магическим квадратом.
Если удастся это доказать, тогда можно закрывать тему о методе латинских квадратов. Пока же я имею несколько частных примеров такого преобразования, которые, понятно, не дают никаких оснований делать общий вывод.
(cм. цикл статей “Новые аспекты метода латинских квадратов” и “Группы взаимно ортогональных латинских квадратов”. Все ссылки найдёте на странице: “Волшебный мир магических квадратов”.

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #190355 писал(а):

Пусть имеются два ортогональных классических латинских квадрата порядка $n$, во всех или в нескольких диагоналях которых не все элементы различны. Ни одна из диагоналей не состоит из одинаковых элементов. Доказать, что для каждого квадрата существует такая трансформация тождественной перестановки чисел, которая переводит его в квадрат, являющийся нетрадиционным магическим квадратом.

Ну для начала нужно обозначить равные элементы на диагоналях в каждом из квадратов одинаковыми символами, например, $x_1,x_2,\dots,x_k$ в первом квадрате (гле $k$ общее число различных элементов стоящих на диагоналях в этом квадрате), и $y_1, y_2, \dots, y_m$ во втором. Затем нужно выразить суммы на диагоналях результирующего магического квадрата через $x_i, y_j$ - это будет некоторая их линейная комбинация плюс некоторая константа, ну далее потребовать равенства этого комбинации магической константе $\frac{n(n^2+1)}{2}$ (где $n$ - размерность квадрата).

Таким образом, получается система из двух линейных уравнений относительно $x_i, y_j$, которые нужно решить в целых числах так, чтобы $x_1,\dots,x_k$ были различными элементами множества $\{1,\dots,n\}$, и $y_1,\dots,y_m$ были различными элементами того же множества. Подозреваю, что во многих случаях найти такие решения не представляет труда.
Если у вас есть какие-то недиагональные квадраты, для которых эта задача не решена, то приведите здесь их диагонали - попробуем решить...

Если решение системы найдено, то к ОЛК нужно применить такое переобозначение: то, что было обозначено $x_1$ в первом квадрате, нужно переобозначить в значение $x_1$ в решении; то, что было обозначено $x_2$, нужно переобозначить в значение $x_2$ в решении; и т.д. И аналогично для $y_j$ во втором квадрате.
Элементы, которые отсутствовали на диагоналях, можно переобозначить произвольным образом, лишь бы они не пересекались со значениями $x_1,\dots,x_k$ в первом квадрате, и с $y_1,\dots,y_m$ - во втором.

[tolstopuz]

Nataly-Mak писал(а):

Два ортогональных латинских квадрата 18-го порядка по пункту 3.48 я построила. Они действительно оказались с подквадратами 4-го порядка. Однако, как “выудить” из этой матрицы третий квадрат?

Насколько я понял, так:
Когда вы заполняете диагонали согласно $(0, 0, 0, 0)$, $(0, 7, 1, 8)$, $(0, 1, 7, 4)$ и $(1, 0, 4, 7)$, в третий квадрат пишите одно и то же число, соответственно, $15, 16, 17, 18$. А когда согласно остальным столбцам (по два раза каждый) - каждую диагональ начните с $1$ и увеличивайте до $14$.

[Nataly-Mak]

maxal
Общий ход вашего доказательства мне понятен. Впрочем, общая идея, совпадающая с вашей, была высказана Эйлером (см. цитату выше). Однако приведённую вами схему доказательства нельзя считать строгим доказательством. Если бы вам пришлось писать статью на эту тему, то вы не ограничились бы общей схемой доказательства? У меня, к сожалению (или к счастью) нет нерешённой задачи по преобразованию недиагональных латинских квдаратов в нетрадиционные магические квадраты. Всё, что я построила, мне удалось преобразовать. Но речь не идёт о частных примерах. Утверждение надо доказать для любого порядка $n$.
tolstopuz
Как-то всё очень туманно! Я столько на эту матрицу глядела, что у меня уже ум за разум заходит. Даже попросила товарища перевести мне текст этого пункта. Но и это ничего не прояснило! Какие-то там строятся параллельные классы... Ничего не могу понять. На два квадрата, которые я по этой матрице построила, можно посмотреть здесь:
http://www.natalimak1.narod.ru/mols18.htm
Если вам нетрудно, приведите третий (можно прислать его в приват или в домашний ящик: [e-mail]).