Дифур с периодической дельтой

[bayak]

$$-\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2 u(z,x)}{\partial x^2} +\sum\limits_{m\in\mathbb{Z}}\mathrm{i}\delta (x-m) = \mathrm{i}zu(z,x)$$

где $z\in\mathbb{C}$. Если уравнение $u(z,0)=0$ имеет счетное число корней, то это условие выделяет дискретный спектр собственных решений дифференциального уравнения. А что можно сказать о собственных значениях $z_{n}$?

[Red_Herring]

bayak в сообщении #1305390 писал(а):

имеет счетное число корней, то это условие выделяет дискретный спектр собственных решений

А там в сумме множитель $u(z,x)$ не пропущен? И, кстати, $u$ ведь не предполагается периодической функцией?

Надо порыться в работах Б.Павлова, к сожалению, его самого нет в живых.

[sup]

Да здесь, как мне кажется, можно все свести к анализу некого трансцендентного уравнения.
Вот пусть у нас есть диффур

$$ u_{xx} = \lambda^2 u + 2\nu \sum \limits_{m \in Z} u(x) \delta(x - m). $$

Тогда на всяком интервале $(m, m + 1)$ решение можно представить в виде $u = a_me^{\lambda (x - m)} + b_me^{-\lambda (x - m)}$. Отсюда элементарно получаем

$$ \begin{align} &a_{m + 1} + b_{m + 1} = a_{m}e^{\lambda} + b_{m}e^{-\lambda} \\ &a_{m + 1} - b_{m + 1} = a_{m}e^{\lambda} - b_{m}e^{-\lambda} + 2\frac{\nu}{\lambda}(a_{m}e^{\lambda} + b_{m}e^{-\lambda}). \end{align} $$

В сущности, мы пришли к матричному уравнению вида

$$ U_{m+1} = A U_m.$$

Ясно, что у матрицы $A$ должно быть хотя-бы одно чисто мнимое с.з. Нехитрый анализ показывает, что в таком случае оба с.з. чисто мнимые и для этого надо

$$ \operatorname{Re}\left (e^{\lambda}( 1 + \frac{\nu}{\lambda}) + e^{-\lambda}( 1 - \frac{\nu}{\lambda}) \right ) = 0. $$

Ну, тут даже асимптотику таких $\lambda$ можно написать.

[g______d]

Альбеверио, Гестези, Хёэг-Крон, Хольден "Решаемые модели в квантовой механике", раздел III.2.

[bayak]

Red_Herring, множитель не пропущен и $u$ не предполагается периодической. Это уравнение получается преобразованием Меллина из уравнения Шрёдингера с начальными условиями в виде периодической дельты. Подробные выкладки в конце текста заметки О намотке сферы на ресурсе researchegate.net
sup, спасибо за попытки решения. Но согласитесь это несколько не то. А вот если Вы покажете, что $\operatorname{Re}(z_{n})=\frac{1}{2}$ для любого $n$, то тем самым докажете гипотезу Римана.
g______d, спасибо за ссылку. Будем посмотреть.

[Red_Herring]

bayak в сообщении #1305514 писал(а):

множитель не пропущен и $u$ не предполагается периодической.

Тогда при периодических начальных условиях какая у вас $u$?

[amon]

А объясните мне, это я идиот, или задача тривиальная? Уберем частную производную (она ни о чем) и перепишем уравнение как

$$ -\frac{1}{4\pi} \frac{d^2 u(x)}{d x^2}+\lambda u=-\sum\limits_{m\in\mathbb{Z}}\mathrm{i}\delta (x-m) $$

Решение (общее, может еще какое надо) есть решение однородного плюс сумма частных решений уравнений вида

$$ -\frac{1}{4\pi} \frac{d^2 u(x)}{d x^2}+\lambda u=-\mathrm{i}\delta (x-m) $$

И то, и другое элементарно находится.

[g______d]

bayak в сообщении #1305514 писал(а):

g______d, спасибо за ссылку. Будем посмотреть.

Это для случая, когда множитель пропущен. Если не пропущен, то, как отметил amon, задача действительно достаточно тривиальна.

[bayak]

amon, Вы меня извините, но тут скорее я идиот, поскольку никогда не решал никаких дифуров. Однако у меня вопрос, - а как быть с переменной $z$, без которой функция $u(z,x)$ не существует. По-моему, своим упрощением Вы исказили суть моего вопроса.

Red_Herring в сообщении #1305531 писал(а):

Тогда при периодических начальных условиях какая у вас $u$?

$u(0,z)$ предполагается равной

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\vartheta(0,\mathrm{i}\mathrm{e}^{t}) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\widetilde{z}t}}{1-\vartheta(0, \mathrm{i}\mathrm{e}^{t})}\mathrm{d}t$$

где $\vartheta$ это тета-функция Якоби.

[amon]

bayak в сообщении #1305645 писал(а):

По-моему, своим упрощением Вы исказили суть моего вопроса.

А я ничего не упрощал. Я переписал Ваше уравнение как обыкновенное, которым оно и является, и обозначил буквой $\lambda$ Ваше $-iz.$

[bayak]

amon в сообщении #1305654 писал(а):

А я ничего не упрощал. Я переписал Ваше уравнение как обыкновенное, которым оно и является, и обозначил буквой $\lambda$ Ваше $-iz.$

Хорошо, и каков ответ относительно $z_{n}$ при условии, что $u(0,z_{n})=0$? Или дифур тут не помощник?

-- Чт апр 19, 2018 23:07:07 --

g______d в сообщении #1305596 писал(а):

Это для случая, когда множитель пропущен. Если не пропущен, то, как отметил amon, задача действительно достаточно тривиальна.

А где про этот тривиальный случай можно почитать?

[g______d]

bayak в сообщении #1305662 писал(а):

А где про этот тривиальный случай можно почитать?

В сообщении amon. Если непонятно, прочитайте главу "обобщённые функции" в каком-нибудь учебнике по уравнениям мат. физики.

[bayak]

amon, если я правильно Вас понял, то одно из частных решений уравнения Гельмгольца с периодической дельтой будет

$$\frac{\exp(i\sqrt{\lambda}\quad x\pmod 1)}{2i\sqrt{\lambda}}$$

Red_Herring, как-то я запутался, $u$ всё-таки периодическая по $x$.

С собственными значениями по условию корней уравнения $u(z,0)=0$ похоже затык. Наверно, от дифура тут мало пользы.

[Red_Herring]

bayak в сообщении #1305974 писал(а):

Наверно, от дифура тут мало пользы.

Нет, именно от него все и идет, но только потом он сводится, как вам объяснили

[bayak]

Red_Herring в сообщении #1305981 писал(а):

Нет, именно от него все и идет, но только потом он сводится, как вам объяснили

Что-то я туплю, а что значит сводится?