предел. какие есть способы решения

[danii_l]

Добрый день!

$$\lim_{x \to 0} (\frac{m^{\ln(x)}+n^{\ln(x)}}{m+n})^\frac{1}{\ln(x)-1}$$

Решил в начале преобразовать ко второму замечательному пределу. В итоге получился предел через e, а тогда я перехожу к пределу степени $e$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{m^{\ln(x)}+n^{\ln(x)}-(m+n)}{(\ln(x)-1)(m+n)}$$

. по формуле Тейлора раскладываю, но там вообще что-то плохое выходит

$$\lim_{x\to 0} \frac{2+(\ln(m)+\ln(n))(x-1)-(m+n)+o(x)}{(m+n)(x-2+o(x))}$$

,
Есть ли другие способы решения ? Потому что через Тейлора в $x=0$ не выходит..

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы), в частности, наберите логарифмы как \ln (при первом взгляде на нынешний вариант возникает вопрос, откуда там мнимые единицы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihaild]

danii_l в сообщении #1276044 писал(а):

по формуле Тейлора раскладываю

Какую функцию и в какой точке?

Вообще если вы не ошиблись при переходе ко второму выражению, то дальше всё просто - посмотрите отдельно пределы числителя и знаменателя...

[ИСН]

Тейлор здесь вообще ни при чём: в нуле его нельзя, потому что логарифм, а в других точках бесполезно.

Смотрите, вот похожий предел: $\lim\limits_{x\to\infty}\left(5^x+2^x\right)^{1/x}$. Понятно ли, что с ним делать?

[danii_l]

ИСН в сообщении #1276138 писал(а):

Тейлор здесь вообще ни при чём: в нуле его нельзя, потому что логарифм, а в других точках бесполезно.

Смотрите, вот похожий предел: $\lim\limits_{x\to\infty}\left(5^x+2^x\right)^{1/x}$. Понятно ли, что с ним делать?

Если я правильно понимаю, то через экспоненту представляем, а потом приходим к $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\ln(5^x+2^x) $ У нас получается неопределенность, примиряю правило Лопиталя и выношу за скобки $5^x$, а $(\frac{2}{5})^x \to 0 $ . Вышел ответ 5
Сделал также данный мною предел и вот к чему пришел

$$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{m+n}\cdot( n^{\ln(x)}\ln(n)\cdot((\frac{m}{n})^{\ln(x)} \cdot \ln(m-n)+1) ) $$

. А дальше как? Мне изветсно, что $m,n>0$ только

-- 18.12.2017, 23:02 --

mihaild в сообщении #1276131 писал(а):

danii_l в сообщении #1276044 писал(а):

по формуле Тейлора раскладываю

Какую функцию и в какой точке?

Вообще если вы не ошиблись при переходе ко второму выражению, то дальше всё просто - посмотрите отдельно пределы числителя и знаменателя...

Вернее раскладывал по Маклорену. А $\ln(x)=\ln(1+(x-1))$ так представил, но там не очень потом все получилось. Числитель стремится к $0$, а знаменатель к $\infty$. Но что это дает?

[ИСН]

danii_l в сообщении #1276169 писал(а):

А дальше как? Мне изветсно, что $m,n>0$ только

"Предположим, что $m<n$. Тогда..."

[danii_l]

ИСН в сообщении #1276184 писал(а):

danii_l в сообщении #1276169 писал(а):

А дальше как? Мне изветсно, что $m,n>0$ только

"Предположим, что $m<n$. Тогда..."

Кажется, я нашел у себя ошибку
После того как перешел к степени экспоненте

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln(x)-1}\cdot(\frac{m^{\ln(x)}+n^{\ln(x)}}{m+n}) $$

Но

$$\ln(x)-1 \to \infty $$

$$\frac{m^{\ln(x)}+n^{\ln(x)}}{m+n} \to 0$$

Получается нет неопределенности, правило Лопиталя нельзя применить, так?

[ИСН]

Это что это за предел Вы считаете? Он похож на то, с чего мы начинали, а также на его логарифм, но не является в точности ни тем, ни другим.

[Евгений Машеров]

Логарифм здесь "для задурманивания мозгов пролетариата". Заменяем его на новую переменную, стремящуюся к иному пределу...

[grizzly]

del

[B@R5uk]

Евгений Машеров в сообщении #1276356 писал(а):

Логарифм здесь "для задурманивания мозгов пролетариата". Заменяем его на новую переменную, стремящуюся к иному пределу...

А вот не скажите! Логарифм находится в степени, поэтому переменную икс легко из этой самой степени вытащить:

$a^{\ln(x)}=\exp(\ln(a)\ln(x))=x^{\ln(a)}$

Что делать дальше я не думал, но в любом случае число в степени логарифм переменной это всегда сложнее, чем переменная в степени число.

После этого преобразования видно, что одно из слагаемых числителя можно выкинуть. Знаменатель тоже, кстати, можно выкинуть.