Переход от дискретной формулы ОДПФ к непрерывной

[presto_agitato]

Сразу скажу, что в математике я не силён. Задание - интерполировать функцию при помощи ДПФ.

Есть функция $S(x) = \exp{\frac{-x^2}{2}}$. Пусть у нас задано $N = 16$ её отсчётов на отрезке $\left[ -4,4 \right]$.

Необходимо получить её прямое и обратное дискретное преобразование Фурье.

Формулы известны:

ДПФ: $Y_k = \sum\limits_{n=0}^{N-1} y_n \cdot \exp{ -\frac{ i \cdot k \cdot n \cdot 2 \cdot \pi }{ N } }$

ОДПФ: $y_n = \frac{1}{N} \cdot \sum\limits_{k=0}^{N-1} Y_k \cdot \exp{ \frac{ i \cdot k \cdot n \cdot 2 \cdot \pi }{ N } }$

Реализую вычисления в maxima, если это важно.

Отсчёты $S(x)$ (зависимость функции от номера отсчёта):



Результат ДПФ, действительная чатсть (зависимость функции от номера отсчёта):



Результат ОДПФ (зависимость значения от номера отсчёта):



Переход к непрерывной формуле ОДПФ. Вместо дискретных n, берём непрерывные x.

$y(x) = \frac{ 1 }{ N } \cdot \sum\limits_{k=0}^{N-1} Y_k \cdot \exp{ \frac{ i \cdot k \cdot x \cdot 2 \cdot \pi }{ N } }$

Результат ОДПФ:



Что-то не так?

Далее, изменим формулу ОДПФ, приведя её к виду

$y(x) = \frac{1}{N} \cdot ( Y_0 + 2 \cdot (\sum\limits_{k=1}^{\frac{ N }{ 2 } - 1} \operatorname{Re} (Y_k) \cdot \cos({ \frac{ 2 \cdot \pi \cdot k \cdot x }{ N } })-\operatorname{Im} (Y_k) \cdot \sin({ \frac{ 2 \cdot \pi \cdot k \cdot x }{ N } }))+Y_\frac{ N }{ 2 } \cdot \cos(\pi \cdot x) )$

Получим также интересную картину:



Где ошибка? По идее, при переходе к "непрерывной" формуле результат не должен так отличаться от дискретной формулы.

[Pphantom]

presto_agitato в сообщении #1264336 писал(а):

$y(x) = \frac{ 1 }{ N } \cdot \sum\limits_{k=0}^{N-1} Y_k \cdot \exp{ \frac{ i \cdot k \cdot x \cdot 2 \cdot \pi }{ N } }$

Во-первых, минус потеряли. Во-вторых, почему Вы решили, что механическая замена $k$ (в предыдущих обозначениях, Вы их зачем-то поменяли на ходу) на $x$ должна давать тот же результат?
P.S. И формулы исправьте. Видите, что получается при цитировании? Теперь нормально.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 11.11.2017, 18:06 --

Да, вопрос про минус снимается, я не заметил, что это обратное преобразование.

[presto_agitato]

Разобрался. ДПФ задаёт соответствие отсчётов оригинала отсчётам образа. ОДПФ - наоборот. Результаты ДПФ/ОДПФ я выводил именно как зависимость значения от номера отсчёта. График результата такого ДПФ/ОДПФ соответствовал (в значениях отсчётов) обычному графику, который я пытался получить при помощи перехода к непрерывной $y(x)$, но был искажен: сдвинут к началу координат и увеличен в $\frac{1}{h}$ раз. Для получения правильного графика нужно было произвести обратное преобразование, а именно, строить график $y(x)$ не от $x$, а от $\frac{1}{h}\cdot x - \frac{N}{2} $.

[Pphantom]

presto_agitato в сообщении #1264404 писал(а):

Для получения правильного графика нужно было произвести обратное преобразование, а именно, строить график $y(x)$ не от $x$, а от $\frac{1}{h}\cdot x - \frac{N}{2} $.

Именно.