Условное математическое ожидание

[mak1610]

Доброго времени суток!

Возник следующий вопрос. При решении задачи не могу найти у себя ошибку. Условие:

Задано следующее пространство элементарных событий $\Omega = \{(x,y) : 0 \leq x \leq y \leq 1 \}$. Вероятность события пропорциональна площади соответствующего множества. На этом пространстве заданы две случайные величины: $\xi(\omega) = x$, $\eta(\omega) = y$. Найти условное математическое ожидание $E(\xi | \eta)$?

Вот мое решение: т.к. вероятность пропорциональна площади, то случайный вектор $(\xi, \eta)$ равномерно распределен на $\Omega$, т.е. $f_{\xi, \eta}(x,y) = 2$. Можно найти соотвествующие плотности для каждой случайной величины

$f_{\xi}(x) = \int_x^1 2 dy = 2(1-x)$
$f_{\eta}(x) = \int_0^y 2 dy = 2y$

Условная плотность равна $f_{\xi | \eta} = \frac{f_{\xi, \eta}}{f_{\eta}} = 1/y$. Тогда условное мат ожидание, по определению, равно $E(\xi | \eta = y) = \int_y^1 x * 1/y dx = 1/2 * (1/y-y)$, т.е. $E(\xi | \eta) = 1/2 * (1/\eta - \eta)$.

Но при проверке на свойство, что $E(E(\xi | \eta)) = E(\xi)$ получается, что

$E(E(\xi | \eta)) = \int_0^1 1/2 * (1/y-y) * 2y dy = 2/3$
$E(\xi) = \int_0^1 x * 2(1-x) dx = 1/3$

Не могу найти ошибку. Буду благодарен за любую помощь!

[fred1996]

mak1610
У вас эти две функции параметрически жестко связаны через $\omega$ друг с другом. То есть задавая $\eta$, вы однозначно получаете $\xi$. Понятно, что тут нет никакой условной вероятности. Ну или через обобщенные функции у вас будет дельта-функция. Надо просто точно посчитать коэффициент при ней.

[mak1610]

fred1996 в сообщении #1258458 писал(а):

mak1610
У вас эти две функции параметрически жестко связаны через $\omega$ друг с другом. То есть задавая $\eta$, вы однозначно получаете $\xi$. Понятно, что тут нет никакой условной вероятности. Ну или через обобщенные функции у вас будет дельта-функция. Надо просто точно посчитать коэффициент при ней.

Можете подобнее объяснить? Ведь зная, что, к примеру, $\xi = 0.2$ я не могу точно восстановить значение $\eta$, только интервал. Так и возникают условные вероятности.

[mihaild]

mak1610 в сообщении #1258454 писал(а):

$E(\xi | \eta = y) = \int_y^1 x \cdot 1/y dx$

А почему пределы интегрирования такие, а не $[0; y]$?
(возможно, лучше честно писать плотности, определенные на всей плоскости - т.е. явно домножать на нужные индикаторы)

[fred1996]

mak1610 в сообщении #1258459 писал(а):

fred1996 в сообщении #1258458 писал(а):

mak1610
У вас эти две функции параметрически жестко связаны через $\omega$ друг с другом. То есть задавая $\eta$, вы однозначно получаете $\xi$. Понятно, что тут нет никакой условной вероятности. Ну или через обобщенные функции у вас будет дельта-функция. Надо просто точно посчитать коэффициент при ней.

Можете подобнее объяснить? Ведь зная, что, к примеру, $\xi = 0.2$ я не могу точно восстановить значение $\eta$, только интервал. Так и возникают условные вероятности.

Может я чего не понял в условии, но у вас все функции жестко связаны через параметр $\omega$
То есть задав $\xi$, вы по обратной функции находите $\omega$, и потом $\eta$

То есть при пробегании какого-то одномерного множества параметром $\omega$ у вас в квадрате $xy$ рисуется кривая, а не заполняется какое-то измеримое множество.

[mihaild]

fred1996 в сообщении #1258467 писал(а):

То есть задав $\xi$, вы по обратной функции находите $\omega$, и потом $\eta$

Одному и тому же значению $\xi$ соответствуют разные значения $\omega$ и $\eta$.
$\omega$ бегает по квадрату (точнее по треугольнику), а $\xi$ и $\eta$ - проекции $\omega$ на координатные оси.

[mak1610]

mihaild в сообщении #1258466 писал(а):

mak1610 в сообщении #1258454 писал(а):

$E(\xi | \eta = y) = \int_y^1 x \cdot 1/y dx$

А почему пределы интегрирования такие, а не $[0; y]$?
(возможно, лучше честно писать плотности, определенные на всей плоскости - т.е. явно домножать на нужные индикаторы)

Ну разумеется! Спасибо!

[fred1996]

mihaild в сообщении #1258469 писал(а):

fred1996 в сообщении #1258467 писал(а):

То есть задав $\xi$, вы по обратной функции находите $\omega$, и потом $\eta$

Одному и тому же значению $\xi$ соответствуют разные значения $\omega$ и $\eta$.
$\omega$ бегает по квадрату (точнее по треугольнику), а $\xi$ и $\eta$ - проекции $\omega$ на координатные оси.

А, теперь понял. То есть заданы не какие-то конкретные функциональные зависимости, а равновероятные распределения по $\omega$

[mak1610]

fred1996 в сообщении #1258472 писал(а):

mihaild в сообщении #1258469 писал(а):

fred1996 в сообщении #1258467 писал(а):

То есть задав $\xi$, вы по обратной функции находите $\omega$, и потом $\eta$

Одному и тому же значению $\xi$ соответствуют разные значения $\omega$ и $\eta$.
$\omega$ бегает по квадрату (точнее по треугольнику), а $\xi$ и $\eta$ - проекции $\omega$ на координатные оси.

А, теперь понял. То есть заданы не какие-то конкретные функциональные зависимости, а равновероятные распределения по $\omega$

Это значение случайной величины на элементе вероятностного пространства. Ну как обычная функция, только отображение между $\Omega$ и $\mathbb{R}$ с хорошим свойством измеримости.

[mak1610]

Возник еще один вопрос :)

Получается, что математическое ожидание $E(\xi| \eta) = \frac{1}{2} \eta$. По определению условного математического ожидания должно выполняться следующее соотношение. Для любого $\eta$-измеримого подмножества (пусть это будет треугольник $A$ (0,0), (a,0), (a,a)) должно быть

$E(E(\xi | \eta) \cdot \chi_A) = E(\xi \cdot \chi_A) $, где $\chi_A$ - характеристическая функция множества A.

$E(E(\xi | \eta) \cdot \chi_A) = \int_0^a \frac{1}{2} y \cdot 2y dy = 1/3 * a^3$. Проблема во втором интеграле. Разве $A$ $\xi$-измеримо? как считать такой интеграл?

[mihaild]

mak1610 в сообщении #1258534 писал(а):

Разве $A$ $\xi$-измеримо?

А вам не нужно чтобы $A$ было $\xi$-измеримо. Вам нужно, чтобы $\xi \cdot \chi_A$ было просто измеримо.

[mak1610]

mihaild в сообщении #1258539 писал(а):

mak1610 в сообщении #1258534 писал(а):

Разве $A$ $\xi$-измеримо?

А вам не нужно чтобы $A$ было $\xi$-измеримо. Вам нужно, чтобы $\xi \cdot \chi_A$ было просто измеримо.

Тогда какой вид будет у математического ожидания, к примеру, для такого треугольника $A$ как я ввел - с вершинами на (0,0), (a, 0) и (a,a). Ведь этот треугольник не лежит в сигма-алгебре случайной величины $\xi$. Разве можно для такого множества определить мат ожидание $E(\xi \cdot \chi_A)$?

[mihaild]

mak1610 в сообщении #1258564 писал(а):

Разве можно для такого множества определить мат ожидание $E(\xi \cdot \chi_A)$?

А зачем вам тут вообще $\xi$-измеримость? $\xi \cdot \chi_A$ - обычная случайная величина, можно посчитать ее среднее по любому событию ненулевой вероятности.

[mak1610]

mihaild в сообщении #1258566 писал(а):

mak1610 в сообщении #1258564 писал(а):

Разве можно для такого множества определить мат ожидание $E(\xi \cdot \chi_A)$?

А зачем вам тут вообще $\xi$-измеримость? $\xi \cdot \chi_A$ - обычная случайная величина, можно посчитать ее среднее по любому событию ненулевой вероятности.

mihaild в сообщении #1258566 писал(а):

mak1610 в сообщении #1258564 писал(а):

Разве можно для такого множества определить мат ожидание $E(\xi \cdot \chi_A)$?

А зачем вам тут вообще $\xi$-измеримость? $\xi \cdot \chi_A$ - обычная случайная величина, можно посчитать ее среднее по любому событию ненулевой вероятности.

Тогда я не очень понимаю как будет выглядеть выражение. $\chi_A = \begin{cases} 1, &y \leq a \\ 0, &y > a. \end{cases}$

Получается, что функция $\chi_A$ зависит от y. Ну очень понимаю как избавиться от этой зависимости в интеграле.

$E(\xi \chi_A) = \int_0^a x \chi_A f_\xi(x) dx$.

[mihaild]

mak1610 в сообщении #1258571 писал(а):

Ну очень понимаю как избавиться от этой зависимости в интеграле

Никак, потому что мат. ожидание не выражается таким интегралом.
Как вообще определяется математическое ожидание случайной величины?