Задача про дорожные знаки

[xzz]

Вдоль трассы стоят 60 дорожных знаков. На каждом из них написана сумма расстояний до оставшихся 59 знаков. Возможно ли такое, что на знаках написаны 60 различных натуральных чисел? (Расстояния между знаками не обязательно целые)

[mihaild]

На 30 и 31 знаке числа равны.

[gris]

Можно посмотреть, что будет в случае двух, трёх и четырёх знаков.
А, ну вот уже и сообщили А я всегда упрощаю задачу до безобразия и часто решение вываливается прямо в руки.

[xzz]

mihaild в сообщении #1257688 писал(а):

На 30 и 31 знаке числа равны.

Действительно, удалось это доказать. Спасибо!

[mihaild]

(Оффтоп)

Ну это просто известно, что минимизирует сумму модулей медиана, и эта сумма меняется только при переходе через элемент. Т.к. для четного числа медиана лежит между двумя элементами - они обеспечивают одинаковую сумму.

[photon]

А если трасса не является прямой?

[fred1996]

photon в сообщении #1273233 писал(а):

А если трасса не является прямой?

(Оффтоп)

Ага. И еще разновысотной

[grizzly]

photon в сообщении #1273233 писал(а):

А если трасса не является прямой?

Так расстояние всё равно по дороге считается (по геодезической кривой). А то ведь если считать по прямой (без учёта кривизны земной поверхности), тогда не очевидно даже, что все суммы могут быть натуральными (не обязательно различными).

[photon]

grizzly в сообщении #1273242 писал(а):

А то ведь если считать по прямой (без учёта кривизны земной поверхности), тогда не очевидно даже, что все суммы могут быть натуральными (не обязательно различными).

Для произвольного числа точек на плоскости я вижу, как можно расположить их так, чтобы все точки кроме двух лежали на одной прямой, а две точки были вынесены с нее и при этом на знаках у каждой точки стояли натуральные числа (не обязательно разные).
Интересно, можно ли (и если да, то каков алгоритм?) расположить произвольное число точек на плоскости так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой, но знаки по-прежнему оставались бы натуральными.

[grizzly]

photon в сообщении #1273260 писал(а):

Интересно, можно ли (и если да, то каков алгоритм?) расположить произвольное число точек на плоскости так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой, но знаки по-прежнему оставались бы натуральными.

Да, можно:

англовики про точки на плоскости писал(а):

For any finite set S of points at rational distances from each other, it is possible to find a similar set of points at integer distances from each other, by expanding S by a factor of the least common denominator of the distances in S. Therefore, there exist arbitrarily large finite sets of non-collinear points with integer distances from each other.

Такое множество всегда можно построить на окружности. Ещё что-то по теме можно посмотреть здесь.

[photon]

Про масштабирование понятно, но мне как нематематику думаю, будет простительно поинтересоваться тем, что наверное легко доказывается: как показать, что можно разместить точки на окружности так, чтобы не вылезло никаких иррациональностей?

[grizzly]

photon в сообщении #1273457 писал(а):

как показать, что можно разместить точки на окружности так, чтобы не вылезло никаких иррациональностей?

Вот здесь посмотрите, идея вроде простая.

[photon]

grizzly в сообщении #1273469 писал(а):

Вот здесь посмотрите, идея вроде простая.

Спасибо, гляну.