Эквидистанты эллипса

[bigbag]

Как можно получить уравнения отдельно внешней и внутренней эквидистант эллипса без параметра?

Нашёл в интернете уравнение двух эквидистант ($h$ — расстояние до эллипса):

${\mathcal D}_{\mu}\Bigg( \mu^3-\left\{a^2+b^2-x^2-y^2+h^2 \right\}\mu^2 + \left\{-a^2b^2\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} -1 \right)+h^2(a^2+b^2) \right\}\mu - h^2a^2b^2 \Bigg) = 0$

(мне кажется, это их произведение), но при вычислении дискриминанта получается большой полином и непонятно, как его разбивать на две части.

Пробовал также преобразовывать параметрические уравнения.

$\begin{cases} x = \frac{h x_0} {a^2 \sqrt{\frac{x_0^2}{a^4}+\frac{1-\frac{x_0^2}{a^2}}{b^2}}}+x_0\\ y = b \sqrt{1-\frac{x_0^2}{a^2}}+\frac{h \sqrt{1-\frac{x_0^2}{a^2}}}{b \sqrt{\frac{x_0^2}{a^4}+\frac{1-\frac{x_0^2}{a^2}}{b^2}}} \end{cases} $

Например, сумму $x^2 + y^2$ можно представить в виде кубического уравнения относительно $p$, сделав замену $x_0^2 = \frac{a^4-a^4 b^2 p^2}{a^2-b^2}$. Но там вроде бы два положительных корня и неясно, какой выбрать в общем случае.

Подскажите, пожалуйста, как всё-таки решить эту задачу.

[redicka]

Используйте параметрические уравнения эллипса и прибавьте к ним нормальный вектор к эллипсу (в каждой точке) соответствующей длины - получите параметрические уравнения эквидистанты эллипса.

[bigbag]

redicka
Я уже написал эти уравнения, там $x_0, y_0$ — точка на эллипсе. Если подставить вместо них $a \cos t$ и $b \sin t$, то можно получить уравнения относительно $t$:
$ \begin{cases} x = \cos t \left(a \pm \frac{b h}{\sqrt{b^2 \cos^2 t + a^2 \sin^2 t}}\right)\\ y = \sin t \left(b \pm \frac{a h}{\sqrt{b^2 \cos^2 t + a^2 \sin^2 t}}\right) \end{cases} $

А дальше как? Или вы что-то другое имели в виду? На всякий случай напишу ещё раз, что меня интересуют эквидистанты в форме $f(x,y) = 0$

[redicka]

Так исключите параметр t из системы.

[bigbag]

redicka
Вот мне и непонятно, как это сделать. К примеру, если возвести в квадрат обе части уравнения для $x$, и решать относительно $\cos^2 t$, то в итоге, после возведения в квадрат, умножения на знаменатель дроби, получается уравнение шестой степени, которое неясно, как решать. Наверное, это неправильный способ. А какой правильный?

[Red_Herring]

$x^2\sin^2 t-y^2\cos^2 t = ...$

[bigbag]

Red_Herring
Что-то у меня не получилось с этой формулой. Например, можно преобразовать до
$\cos^2 t \cdot \frac{\left(a^2 \sin ^2(t)+b^2 \cos ^2(t)-b^2\right) \left(a^2 \sin ^2(t)+b^2 \cos ^2(t)-h^2\right)}{a^2 \sin ^2(t)+b^2 \cos ^2(t)}$
но дальше, после выражения оставшихся косинусов и синусов, опять получается кубическое уравнение. В этом плане, даже $x^2 + y^2$ проще решить.

[Red_Herring]

$x^2\sin^2t-y^2\cos^2t=\cos^2t \sin^2t (a^2-b^2)\bigl( 1- \frac{h^2}{a^2\sin^2 t +b^2\cos^2t}\bigr)$
Да, действительно, кубическое уравнение относительно $\sin^2t$.

Но теперь сделайте как Вы сказали с $x^2+y^2$ и будет у Вас другое кубическое уравнение относительно $\sin^2t$.

Но Вам же надо не решать их, а написать условие совместности, которое и будет искомым уравнением $f(x,y)=$0.

[redicka]

bigbag, можно за параметр взять переменную $x$ - исчезнут тригонометрические функции.

[bigbag]

Red_Herring
У меня получилось два кубических уравнения, одно можно сделать квадратным, но условия совместности придумать не могу. Только если дискриминант суммы квадратов равен 0. Правда, это сложно посчитать.

[Red_Herring]

bigbag в сообщении #1243614 писал(а):

но условия совместности придумать не могу

Чему ва по алгебре многочленов учили? ОК, у Вас есть кубический и квадратныймногочлены, и Вы хотите написать условие что у них есть общий корень. Поделим кубический на квадрат, в остатке будет линейный. Поделим квадратный на линейный, в остатке будет свободный член, и он д.б. равен 0. Вот вам и условие!

bigbag в сообщении #1243614 писал(а):

Правда, это сложно посчитать.

А что Вы хотите? кривулька то довольно сложной природы

[bigbag]

Red_Herring
Странно, попытался посчитать по вашему способу и построить график — получилось две эквидистанты. Если найти результант кубического и квадратного многочлена, получается то же уравнение, что и в первом сообщении. Вообще, мне приходится многое осваивать самому, поэтому не удивляйтесь, что я мало что знаю.

[Red_Herring]

bigbag в сообщении #1243639 писал(а):

сли найти результант кубического и квадратного многочлена, получается то же уравнение, что и в первом сообщении.

Просто сами вывели... Но нечего рассчитывать на простой ответ: кривая сложной природы. Какой степени получился полином относительно $x^2, y^2$?

[bigbag]

Red_Herring
Четвёртой.

[Алексей К.]

«Эквидистанта эллипса»