2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Трисекция угла и теорема Гаусса-Ванцеля.
Сообщение09.07.2017, 20:29 


09/07/17
5
Решил трисекцию для любых углов простейшим способом, опроверг теорему Гаусса-Ванцеля о правильных многоугольниках. Вернее, дополнение Ванцеля о невозможности многоугольников, неудовлетворяющих условию, при котором число сторон $n=2^k\cdot p1\cdot p2 \cdot.....p i$, где pi -различные числа Ферма. Надеюсь, верно написал формулу, правила оформления на форуме неудобные. итак. Сначала Гаусс.


Есть метод, который позволяет с помощью циркуля и линейки без делений строить правильные многоугольники с абсолютно ЛЮБЫМ числом сторон. Рассмотрим его на примере правильного девятиугольника.

1. Проводим прямую, и с помощью циркуля откладываем на ней девять равных отрезков.
2. Взяв сумму всех отрезков как радиус, строим окружность.
3. Проводим из точки пересечения хорду, равную радиусу, аналогично состоящую из девяти равных отрезков.
4. Через общую точку шестого и седьмого отрезка на хорде проводим из центра окружности прямую. Также достроим третью сторону равностороннего треугольника из двух радиусов и равной им хорды. Получится, что угол в 60 градусов при центре окружности разделяется прямой на углы в 20 и 40 градусов соответственно.
5. Понятно, что в сущности, задача по построению многоугольника сводится к построению соответствующего угла, который мы уже получили за счет хорды, разделенной на равное количеству сторон искомого многоугольника одинаковых отрезков. Далее, соединив точку пересечения последней проведенной прямой и окружности с дальней вершиной равностороннего треугольника, то есть построив новый треугольник с одним сорокоградусным углом, мы получим сторону искомого многоугольника, откладывая которую внутри окружности, построим этот самый многоугольник.

По этой схеме можно строить без ограничений любые правильные многоугольники, каждый раз проводя таким образом линию из центра через общую точку шестого и седьмого отрезков и аналогично строя хорды. Все дело — в количестве откладываемых мерок. Строятся абсолютно любые многоугольники. метод имеет чуть отличающийся алгоритм для построения правильного пятиугольника: в этом случае нужно получить угол в 72 градуса. Необходимо построить аналогичный радиус и хорду, разделенные на 5 равных отрезков. Это, согласно алгоритму, позволит нам получить пять углов по 12 градусов внутри угла в 60 градусов. Далее один из таких углов нужно добавить к углу в 60 градусов, чтобы получить искомый угол в 72 градуса. Картинка кривовата, но суть будет понятна.
Изображение
Изображение

-- 09.07.2017, 22:39 --

Теперь интереснее - трисекция.
Задача проста - с помощью циркуля и линейки без делений разделить заданный угол на три равных.
1) С помощью циркуля отметить на лучах угла равные отрезки и соединить их концы. Построить перпендикуляр к получившемуся отрезку, опущенный из вершины угла, используя точки пересечений равных окружностей с центрами в его концах.
2)Отложить от концов отрезка и построить еще два отрезка, равных первоначально построенному так, чтобы одни их концы лежали на опущенном из вершины угла перпендикуляре, а другие - совпадали с концами первоначального. Затем провести в образованном равностороннем треугольнике высоты, используя точки пересечений равных окружностей с центрами в его вершинах.
3)Для удобства убрать вспомогательные окружности, использованные для построения перпендикуляров.
4)Построить еще один перпендикуляр к стороне треугольника.
5) Отложить на нем отрезок, равный меньшей части разделенной центром треугольника высоты. Таким образом, проведенная через его конец и центр треугольника прямая будет параллельна одной из его сторон и точкой пересечения разделит другую сторону в соотношении 1/2, так как в этом же общеизвестном соотношении центр равностороннего треугольника делит высоту.
6)Для удобства и наглядности убрать все лишние построения, оставив только первоначально построенный отрезок с точкой, делящей его 1 к 2. Отложив расстояние этой трети, получить вторую точку. Через полученные точки провести прямые из вершины угла.
7) Убрать все прочие построения, оставив только полученные трисектрисы.
8) В случае, если заданный угол не является острым, его следует произвольно поделить, получив острые углы, проделать с каждым описанную выше операцию и путем сложения долей разделенных на три части первоночально строимых отрезков, отмерить трети первоначально строимого отрезка всего заданного угла, затем аналогично проведя через них лучи из его вершины и разделив его таким образом на три равные части.
Изображение

-- 09.07.2017, 22:40 --

Прошу подсказать, если что то некорректно, так как я не математик. Так, хобби. Посоветовали тут зарегистрироваться и выложить) Так что жду критики)

 Профиль  
                  
 
 Re: Трисекция угла и теорема Гаусса-Ванцеля.
Сообщение09.07.2017, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5870
alexkoz в сообщении #1232422 писал(а):
4. Через общую точку шестого и седьмого отрезка на хорде проводим из центра окружности прямую. Также достроим третью сторону равностороннего треугольника из двух радиусов и равной им хорды. Получится, что угол в 60 градусов при центре окружности разделяется прямой на углы в 20 и 40 градусов соответственно.
Получится не $20^\circ$ и $40^\circ$, а примерно $19.11^\circ$ и $40.89^\circ$.
Во втором случае тоже будет такая же погрешность, где-то $4.45\%$. Такую погрешность можно заметить даже на практике, транспортиром.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение09.07.2017, 20:59 
Модератор


19/10/15
1063
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Дискуссионные темы (М)»


-- 09.07.2017, 19:02 --

alexkoz в сообщении #1232422 писал(а):
Прошу подсказать, если что то некорректно, так как я не математик. Так, хобби. Посоветовали тут зарегистрироваться и выложить) Так что жду критики)
Правильные углы Вам уже посчитали, а насчет того, что некорректно - приведите Ваше доказательство того, что Ваше построение работает, тогда можно будет указать, где ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трисекция угла и теорема Гаусса-Ванцеля.
Сообщение09.07.2017, 21:08 


09/07/17
5
Завтра вручную построю и скину сюда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трисекция угла и теорема Гаусса-Ванцеля.
Сообщение09.07.2017, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4411
alexkoz в сообщении #1232422 писал(а):
Так, хобби.
Если хобби, то могу посоветовать делать подобные построения, пользуясь этим инструментарием. Там простой и дружелюбный интерфейс, можно что-то двигать руками, вывести все измерения и т.д. Трисекцию, конечно, не докажете, зато и время зря не потеряете :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Трисекция угла и теорема Гаусса-Ванцеля.
Сообщение09.07.2017, 21:44 


09/07/17
5
Спасибо, сейчас же опробую)

-- 09.07.2017, 23:59 --

Иии этот инструментарий действительно показывает погрешность. Боже. Как так то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трисекция угла и теорема Гаусса-Ванцеля.
Сообщение09.07.2017, 22:45 
Аватара пользователя


23/07/07
95
Вы действительно считаете, что "дуга"="хорда"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Трисекция угла и теорема Гаусса-Ванцеля.
Сообщение11.07.2017, 08:08 


09/07/17
5
Цитата:
Вы действительно считаете, что "дуга"="хорда"?

Разумеется, нет. Уже понял ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трисекция угла и теорема Гаусса-Ванцеля.
Сообщение22.07.2017, 17:44 
Аватара пользователя


12/10/16
196
Almaty, Kazakhstan
grizzly в сообщении #1232449 писал(а):
пользуясь этим инструментарием
.

Слепо верить этим симуляторам нельзя, ведь они округляют иррациональные числа, и порой на одинаковых двух кругах, и одинаковых хордах на этих кругах показывает разные градусы. Так, например, я получил два разных градуса при одинаковом радиусе кругов и одинаковой длине хорды, значения были 342.1 и 342.3 градуса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трисекция угла и теорема Гаусса-Ванцеля.
Сообщение22.07.2017, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4411
Soul Friend
Вы совершенно правы -- любой инструмент будет бесполезен (в лучшем случае), если не уметь им пользоваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трисекция угла и теорема Гаусса-Ванцеля.
Сообщение23.07.2017, 05:45 
Аватара пользователя


12/10/16
196
Almaty, Kazakhstan
Вот мой метод трисекции угла, красным показан начальный угол который надо поделить, утраиваем его, находим биссектрису, и на этой биссектрисе касательно к первому кругу чертим второй так чтобы ось первого круга была между хордой и осью второго круга:
Изображение
Казалось бы что два круга касаются, но нет:
Изображение
Отсюда и некоторая погрешность, доверяй после этого симуляторам.
P.S: Отсюда можно вывести аксиому: "на кругах с общей хордой и биссектрисой, если точки на хорде делят дугу на равные части на одном круге, то эти точки делят на равные дуги и других кругов".
(Надо провести линии проходящие через эти точки и осьями кругов, точки пересечения этих линии и дугами кругов будут делить эти дуги на равные части.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Трисекция угла и теорема Гаусса-Ванцеля.
Сообщение23.07.2017, 09:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14927
Новомосковск
Soul Friend в сообщении #1235381 писал(а):
на кругах с общей хордой и биссектрисой, если точки на хорде делят дугу на равные части на одном круге, то эти точки делят на равные дуги и других кругов
Это неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Трисекция угла и теорема Гаусса-Ванцеля.
Сообщение02.08.2017, 07:10 
Аватара пользователя


12/10/16
196
Almaty, Kazakhstan
да, неверно. Будет точнее (менее ошибочно), если проводить линии не через точки хорды а через точки на дуге. Ссылка на файл для GeoGebra:
https://drive.google.com/file/d/0B_M2iqfYcJmyeEwwcTBmTTE2VWc/view?usp=drivesdk

 Профиль  
                  
 
 Re: Трисекция угла и теорема Гаусса-Ванцеля.
Сообщение02.08.2017, 12:14 


05/09/16
2098
Soul Friend в сообщении #1237586 писал(а):
Ссылка на файл для GeoGebra:

Может вы сделаете трисекцию например угла 120 градусов тогда, в геогебре?
угол в 120 градусов легко построить, получившиеся после трисекции три угла по 40 градусов будут хорошо видны в геогебре.
Можете просто попробовать построить угол в 40 градусов, без трисекций...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group