Предел функции

[Anna from Svetl]

Здравствуйте.
Вопрос довольно простой, но никак не могу разобраться, в чем проблема. Нужно вычислить предел

$$ \lim_{x\rightarrow +\infty}{\dfrac{\mathrm{e}^{-x/2}}{\dfrac{\pi\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2\mathrm{e}^{3x/2}}{\mathrm{e}^{2x}+1}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\ln\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}-\sqrt{2}\mathrm{e}^{x/2}+1}{\mathrm{e}^{x}+\sqrt{2}\mathrm{e}^{x/2}+1}\right)-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\arctg\left(\sqrt{2}\mathrm{e}^{x/2}-1\right)-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\arctg\left(\sqrt{2}\mathrm{e}^{x/2}+1\right)}}=$$

$$=\left|\dfrac{0}{0}\right|$$

Если применить правило Лопиталя, то получается

$$ \lim_{x\rightarrow +\infty}{\dfrac{-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-x/2}}{-\dfrac{\mathrm{e}^{-x/2}}{\ch^2{x}}}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}{\dfrac{\ch^2{x}}{2}}=+\infty. $$

В то же время Maple утверждает, что предел этой функции равен нулю.
Пожалуйста, подскажите, ошибка в Maple или у меня.

[Lia]

У Вас неопределенности нет изначально.

[Metford]

Боюсь ошибиться - пусть меня поправят, но если Лопиталь выдаёт что-то нехорошее, то это не значит, что всё нехорошо.
Не будет лучше умножить предварительно числитель и знаменатель на $e^{x/2}$?

[DeBill]

Anna from Svetl
Предел знаменателя не равен 0.

[Anna from Svetl]

В формуле опечатка, сейчас поправлю. Там потерялся логарифм.

[Евгений Машеров]

А в том, что Вы скормили Maple?

[Mikhail_K]

Metford в сообщении #1225938 писал(а):

Боюсь ошибиться - пусть меня поправят, но если Лопиталь выдаёт что-то нехорошее, то это не значит, что всё нехорошо.

Если изначально неопределённость есть, то значит. Если неопределённости нет, то не значит.
Если неопределённость есть и остаётся после применения правила, то правило можно применить ещё раз.

[kalin]

да, Мапл показывает и вычислениями, и графически, что про +беск. будет 0, а при -беск. будет (-0,5):

[Anna from Svetl]

Евгений Машеров, в Maple, разумеется, все правильно вбито.
kalin, Вы потеряли "$+1$" в знаменателе дроби

$$ \dfrac{2\mathrm{e}^{2x/3}}{\mathrm{e}^{2x}+1}, $$

при поиске предела на $+\infty$ это особой роли не играет, а при $x\rightarrow -\infty$ получается бесконечность.
Я тоже пробовала рисовать картинки, и тоже получается такая же нерегулярность, но если присвоить Digits очень большое значение (при диапазоне от $-1000$ до $1000$ требуется значение Digits не менее $600$), то получается вполне гладкий график.


Любопытно, что если сделать замену переменной $\mathrm{e}^{x/2}=t$ и взять предел при $t\rightarrow +\infty$, то ответ получается $+\infty$.

[gris]

Anna from Svetl в сообщении #1226162 писал(а):

Любопытно, что если сделать замену переменной $\mathrm{e}^{x/2}=t$ и взять предел при $t\rightarrow +\infty$, то ответ получается $+\infty$.

Очень любопытно. Опровергает правило нахождения предела сложной функции.

[Anna from Svetl]

gris, собственно, вот.

Получается, Maple неправильно считает?

[Ms-dos4]

Anna from Svetl
Действительно, видимо Maple неверно вычисляет. Mathematica даёт нужный ответ (бесконечность) с исходного выражения, без всяких подстановок.

[Anna from Svetl]

Ms-dos4, вот как даже. Интересно, почему Maple не справляется.

[gris]

Математика пытается символьно разложить это дело в ряды и производит домножения. А Мапл находит численно. Вдруг ему не хватает 600 знаков? Там некоторые слагаемые в знаменателе могут занулиться раньше времени, и мы получим в знаменателе что-то положительное и постоянное на некотором интервале. А в результате ноль.
А вот если домножить, как советовал Metford, то знаков может хватить. И получим ли мы ноль в пределе?

[Anna from Svetl]

gris, изначально так и было: в числителе $1$, а в знаменателе $\mathrm{e}^{x/2}$. Он был перенесем в числитель исключительно ради избавления от неопределенности $0\cdot \infty$. Потому что Maple изначально выдал ноль именно в таком варианте, и я стала искать способ, как взять предел вручную (очевидно, по Лопиталю, не вижу другого способа).
В справке сказано, что Maple считает пределы, в основном, посредством разложения в ряд. Получается, не в этом случае?