Какая-то странная прогрессия

[Rusit8800]

Нужно "свернуть" такую последовательность:

$$\[n({10^3} - 1) + {n^2}({10^4} - 1) + {n^3}({10^5} - 1) + \ldots + {n^{k - 1}}({10^{k + 1}} - 1)\]$$

Сначала я подумал, что это геометрическая прогрессия, со знаменателем $\[an\]$, где $a$ - какое-то число. Но это не так: величина $\[\frac{{{{10}^k} - 1}}{{{{10}^{k - 1}} - 1}}\]$ зависит от $k$. Далее решил проверить, является ли константой изменение изменения знаменателя, но и это оказалось неправдой: $\[\frac{{{{10}^k} - 1}}{{{{10}^{k - 1}} - 1}} - \frac{{{{10}^{k - 1}} - 1}}{{{{10}^{k - 2}} - 1}}\]$ также зависит от $k$. У меня два вопроса:
1) Что это за прогрессия?
2) Есть ли формула суммы первых членов обобщенной геометрической прогрессии, в которой можно задать скорость изменения знаменателя(как в обычной геометрической прогрессии), скорость изменения изменения знаменателя, скорость изменения изменения изменения знаменателя и т.д. по аналогии со скоростью, ускорением, рывком...?

[ewert]

Rusit8800 в сообщении #1219378 писал(а):

Сначала я подумал, что это геометрическая прогрессия

Это очевидная разность двух геомпрогрессий.

[Rusit8800]

Ох, точно. Спасибо.

[Rusit8800]

Вопрос 2 остается открытым.

[Aritaborian]

Это приводит к страшным гипергеометрическим функциям.

[Mikhail_K]

Rusit8800 в сообщении #1219378 писал(а):

в которой можно задать скорость изменения знаменателя(как в обычной геометрической прогрессии)

В обычной геометрической прогрессии знаменатель постоянный, не изменяется. Какая скорость изменения знаменателя?
А если Вы имеете в виду "скорость изменения члена последовательности", то она постоянная в арифметической прогрессии, а не в геометрической.
Короче, запишите свою "обобщённую геометрическую прогрессию" в виде формулы.

[arseniiv]

Мне подумалось, речь идёт о последовательностях (назовём их $(n+1)$-геометрическими прогрессиями) вида $(aq_i^i)_i$, где $(q_i)_i$ — $n$-геометрическая прогрессия, и 1-г. п. — это просто г. п. (Rusit8800: найдите, что такое 0-г. п. и $(-1)$-г. п.).

-- Вс май 28, 2017 22:56:09 --

С другой стороны, в качестве первой из тех штуковин могла иметься в виду $(aq_i^i)_i$, где $(q_i)_i$ — арифметическая прогрессия. Тогда красивую иерархию не построить, если не занумеровать её индексами из моноида $\{A,G\}^+$, и в обратную сторону в ней идти чуть менее тривиально. И, разумеется, формулы для сумм — отдельная проблема.