n*n!=k^2

[Ktina]

Среди чисел 1, 4, 18, 96, 600, ... (общий член $n\cdot n!$) два квадрата видны невооружённым глазом. И такое ощущение, что больше квадратов там нет. А было бы интересно исследовать этот вопрос...

[mihaild]

Возьмем простое число между $\frac{n}{2}$ и $n$ - оно входит в это произведение в первой степени, так что произведение не является квадратом.

[Ktina]

mihaild
Осталось лишь доказать, что между $\dfrac{n}{2}$ и $n$ найдётся простое число.

[mihaild]

Это в чистом виде постулат Бертрана.

[Ktina]

mihaild в сообщении #1216648 писал(а):

Это в чистом виде постулат Бертрана.

(Оффтоп)

Вики пишет, что Бертран проверил свой постулат до $n=3000000$, и это в 1845г! Как такое можно осуществить, не пользуясь компьютером?

[mihaild]

Ktina в сообщении #1216651 писал(а):

Вики пишет, что Бертран проверил свой постулат до $n=3000000$, и это в 1845г! Как такое можно осуществить, не пользуясь компьютером?

Достаточно найти возрастающую последовательность простых, следующее число в которое меньше удвоенного предыдущего. Для этого берем текущее последнее число, удваиваем его и идем вниз, пока не наткнемся на простое (проверить число порядка миллиона на простоту вручную можно).
Для этого нужны

(такие проверки)

prime: 3
prime: 5
9 % 3 = 0
prime: 7
prime: 13
25 % 5 = 0
prime: 23
45 % 3 = 0
prime: 43
85 % 5 = 0
prime: 83
165 % 3 = 0
prime: 163
325 % 5 = 0
prime: 323
645 % 3 = 0
prime: 643
1285 % 5 = 0
prime: 1283
2565 % 3 = 0
prime: 2563
5125 % 5 = 0
prime: 5123
10245 % 3 = 0
prime: 10243
20485 % 5 = 0
prime: 20483
40965 % 3 = 0
prime: 40963
81925 % 5 = 0
prime: 81923
163845 % 3 = 0
prime: 163843
327685 % 5 = 0
prime: 327683
655365 % 3 = 0
prime: 655363
1310725 % 5 = 0
prime: 1310723
2621445 % 3 = 0
prime: 2621443
5242885 % 5 = 0
prime: 5242883

Считаем, что четные числа мы сразу отбрасываем - надо обнаружить, что приведенные составные числа имеют нужные делители - так везет, что достаточно $3$ и $5$, и еще надо проверить на простоту 23 числа. Имея под рукой таблицу простых чисел до $3000$ вполне можно управиться за несколько часов.
(я не знаю, проверял ли он так, или использовал какие-то еще соображения)

[Ktina]

mihaild
Большое спасибо!

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: деление обеих частей на $n^2$ упрощает задачу до неприличия. В таких задачах следует приводить попытки решения и постить их в ПРР