2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Среднее квадратичное для величин со средним квадратичным
Сообщение19.04.2017, 14:39 


30/01/15
54
Дубна
Всем доброго!
Не могу найти однозначного ответа по такому вопросу:
Как определить среднее квадратичное отклонение для величин, каждая из которых, имеет своё среднее квадратичное?
Попробую привести пример.
Проводятся несколько серий экспериментов, в каждой из который выполняется несколько измерений величины $x_i$, где $i$ - номер измерения.
Соответственно, для каждой серии мы получаем среднее значение $\bar{x}_i$ и $\sigma(x_i)$.
Теперь по этим сериям экспериментов необходимо найти свои $\bar{x}$ и $\sigma(\bar{x}_i)$.
C $\bar{x}$ проблем нет $\bar{x}=\frac{1}{N}\sum\limits_{1}^{N}\bar{x}_i$, где $N$ - общее количество серий, но чему будет ровна $\sigma(\bar{x}_i)$? Столкнулся с несколькими вариантами, но так и не понял, какой из них верный :-(

1)$\sigma(\bar{x}_i)=\frac{1}{N}\sum\limits_{1}^{N}\sigma({x}_i);$ 2)$\sigma(\bar{x}_i)=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum\limits_{1}^{N}\sigma({x}_i);$ 3)$ \sigma(\bar{x}_i)=\frac{1}{N\sqrt{N}}\sum\limits_{1}^{N}\sigma({x}_i)$

Склоняюсь ко второму варианту, т. к. нашел его в учебнике Худсона "Статистика для физиков", но это формула описана там крайне сжато. Буду признателен за помощь или отсылке к какому-нибудь литературному или электронному ресурсу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее квадратичное для величин со средним квадратичным
Сообщение19.04.2017, 14:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12872
Москва
Kocmoz в сообщении #1210758 писал(а):
C $\bar{x}$ проблем нет $\bar{x}=\frac{1}{N}\sum\limits_{1}^{N}\bar{x}_i$

Какое-то бессмысленное и беспощадное среднее. Представим себе две серии экспериментов: в одной серии $1000$ экспериментов, и каждый раз с.в. была равна $1$. Во второй - один эксперимент, в котором с.в. была равна$ -1$. Первое и второе средние равны, соответственно, $1$ и $-1$. Разум понимает, что среднее объединения результатов этих серий равно "почти" $ 1$, а ваша формула дает $0$. :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее квадратичное для величин со средним квадратичным
Сообщение19.04.2017, 15:02 


30/01/15
54
Дубна
Brukvalub
Согласен с Вашим замечанием, не указал в условии, что количество экспериментов во всех сериях одинаково (т. е. все значения имеют равный вес)

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее квадратичное для величин со средним квадратичным
Сообщение19.04.2017, 15:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12872
Москва
Kocmoz, в такой ситуации нужную формулу быстрее вывести самому, чем спрашивать. Например, дисперсия равна разности мат.ожидания квадрата с.в. и квадрата ее мат.ожидания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее квадратичное для величин со средним квадратичным
Сообщение20.04.2017, 11:17 


30/01/15
54
Дубна
Цитата:
дисперсия равна разности мат.ожидания квадрата с.в. и квадрата ее мат.ожидания

Таким образом получаем $\sigma^2(x_i)$ для каждой серии, тут вопросов нет. А вот, когда ищем результат по всем сериям, у нас же каждая с.в. задана как $\bar{x_i}\pm\sigma(x_i)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее квадратичное для величин со средним квадратичным
Сообщение20.04.2017, 11:26 
Заслуженный участник


14/01/11
1601
Kocmoz в сообщении #1210970 писал(а):
у нас же каждая с.в. задана как $\bar{x_i}\pm\sigma(x_i)$

Ну так нельзя ли отсюда получить что-нибудь с учётом вышесказанного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее квадратичное для величин со средним квадратичным
Сообщение20.04.2017, 14:18 


30/01/15
54
Дубна
Sender, можно получить вот так
$\sigma^2(\bar{x})=\frac{1}{n}\sum\limits_{1}^{n}(\bar{x_i}-\bar{x})^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{1}^{n}(\bar{x_i}\pm\sigma(x_i)-\bar{x})^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{1}^{n}(\bar{x_i}\pm\sigma(x_i)-\frac{1}{n}\sum\limits_{1}^{n}{\bar{x_i}})^2$
Если в последнем выражении можно сократить суммы с $\bar{x_i}$, то можно с полной уверенностью сказать, что формула №2, которую приводил в начале поста, верна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group