Среднее квадратичное для величин со средним квадратичным

[Kocmoz]

Всем доброго!
Не могу найти однозначного ответа по такому вопросу:
Как определить среднее квадратичное отклонение для величин, каждая из которых, имеет своё среднее квадратичное?
Попробую привести пример.
Проводятся несколько серий экспериментов, в каждой из который выполняется несколько измерений величины $x_i$, где $i$ - номер измерения.
Соответственно, для каждой серии мы получаем среднее значение $\bar{x}_i$ и $\sigma(x_i)$.
Теперь по этим сериям экспериментов необходимо найти свои $\bar{x}$ и $\sigma(\bar{x}_i)$.
C $\bar{x}$ проблем нет $\bar{x}=\frac{1}{N}\sum\limits_{1}^{N}\bar{x}_i$, где $N$ - общее количество серий, но чему будет ровна $\sigma(\bar{x}_i)$? Столкнулся с несколькими вариантами, но так и не понял, какой из них верный

1)$\sigma(\bar{x}_i)=\frac{1}{N}\sum\limits_{1}^{N}\sigma({x}_i);$ 2)$\sigma(\bar{x}_i)=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum\limits_{1}^{N}\sigma({x}_i);$ 3)$ \sigma(\bar{x}_i)=\frac{1}{N\sqrt{N}}\sum\limits_{1}^{N}\sigma({x}_i)$

Склоняюсь ко второму варианту, т. к. нашел его в учебнике Худсона "Статистика для физиков", но это формула описана там крайне сжато. Буду признателен за помощь или отсылке к какому-нибудь литературному или электронному ресурсу.

[Brukvalub]

Kocmoz в сообщении #1210758 писал(а):

C $\bar{x}$ проблем нет $\bar{x}=\frac{1}{N}\sum\limits_{1}^{N}\bar{x}_i$

Какое-то бессмысленное и беспощадное среднее. Представим себе две серии экспериментов: в одной серии $1000$ экспериментов, и каждый раз с.в. была равна $1$. Во второй - один эксперимент, в котором с.в. была равна$ -1$. Первое и второе средние равны, соответственно, $1$ и $-1$. Разум понимает, что среднее объединения результатов этих серий равно "почти" $ 1$, а ваша формула дает $0$.

[Kocmoz]

Brukvalub
Согласен с Вашим замечанием, не указал в условии, что количество экспериментов во всех сериях одинаково (т. е. все значения имеют равный вес)

[Brukvalub]

Kocmoz, в такой ситуации нужную формулу быстрее вывести самому, чем спрашивать. Например, дисперсия равна разности мат.ожидания квадрата с.в. и квадрата ее мат.ожидания.

[Kocmoz]

Цитата:

дисперсия равна разности мат.ожидания квадрата с.в. и квадрата ее мат.ожидания

Таким образом получаем $\sigma^2(x_i)$ для каждой серии, тут вопросов нет. А вот, когда ищем результат по всем сериям, у нас же каждая с.в. задана как $\bar{x_i}\pm\sigma(x_i)$

[Sender]

Kocmoz в сообщении #1210970 писал(а):

у нас же каждая с.в. задана как $\bar{x_i}\pm\sigma(x_i)$

Ну так нельзя ли отсюда получить что-нибудь с учётом вышесказанного?

[Kocmoz]

Sender, можно получить вот так
$\sigma^2(\bar{x})=\frac{1}{n}\sum\limits_{1}^{n}(\bar{x_i}-\bar{x})^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{1}^{n}(\bar{x_i}\pm\sigma(x_i)-\bar{x})^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{1}^{n}(\bar{x_i}\pm\sigma(x_i)-\frac{1}{n}\sum\limits_{1}^{n}{\bar{x_i}})^2$
Если в последнем выражении можно сократить суммы с $\bar{x_i}$, то можно с полной уверенностью сказать, что формула №2, которую приводил в начале поста, верна.