2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача про конику
Сообщение11.04.2017, 11:44 


09/12/16
12
Одной линейкой постройте треугольник, вписанный в данную гладкую конику так, что его стороны проходят через три данные точки. Сколько решений бывает у этой задачи?

Есть пара мыслей. Можем построить любой вписанный треугольник, затем перевести его в нужный нам. Но как перевести, не знаю.
Или как-нибудь использовать треугольник с вершинами в данных точках. Может кто помочь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про конику
Сообщение11.04.2017, 12:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1899
СПб
Возьмите точку на конике (заданной в каноническом виде), проведите прямые через эту точку и две из трех данных.
Получите две точки пересечения этих прямых с коникой.
Запишите условие "две точки пересечения лежат на одной прямой с третьей из данных точек".
Двигайте точку на конике до тех пор, пока не выполнится условие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про конику
Сообщение11.04.2017, 12:46 


09/12/16
12
alcoholist
Мысль понятна. Но не совсем понял про канонический вид. У меня просто нарисована коника, никаких координат и прочей алгебраической радости.
И какое условие про точки Вы имеете ввиду?
Ну и по поводу движения точки. Я же не могу непрерывно двигать точку и прямые с ней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про конику
Сообщение11.04.2017, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1899
СПб
я не заметил, что задача на построение

-- Вт апр 11, 2017 13:26:22 --

кстати, подумайте, что будет в случае окружности

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про конику
Сообщение19.04.2017, 01:35 
Заслуженный участник


10/01/16
1296
Nickspa
Тяжелая задача, однако...
1. Все коники (конические сечения) - "одинаковы" (получаются друг из друга центральным проектированием плоскости на плоскость из вершины конуса). Поэтому будем считать коникой - единичную окружность $\gamma$.
2. Пусть точка $a$ не лежит на $\gamma$, и $f_a$ - отображение, ставящее в соответствие точке $z \in\gamma$ точку пересечения с $\gamma$ прямой $az$.
Прямые выкладки дают: $f_a(z) = \frac{a-z}{1-\bar{a}z}$, так что $f_a$ - конформный автоморфизм круга на себя (если $a$ - внутри).
3. Пусть $a,b,c$ - три точки не на $\gamma$. Условие "есть тр-к (с вершинами $A,B,C$ на $\gamma$), такой, что прямые $AB,BC,CA$ содержат точки $a,b,c$" означает : $f_a(A)=B, f_b(B)= C, f_c(C)= A$, так что $A$ - неподвижная точка для композиции $F=f_c \circ f_b \circ f_a$.
4. $F$ - дробно-линейное, и имеет либо одну, либо две неподвижных точки (либо - тождественно)
5. $F$ переводит $\gamma$ в себя.
6. Если неподвижная точка $F$ не лежит на $\gamma$, то симметричная ей - тоже неподвижна (из 5)), и на $\gamma$ нет неподвижных.
7. $f_a$ - инволюция: $f_a \circ f_a = id$

-- 19.04.2017, 03:59 --

8. (Из 4 и 6). На $\gamma$ $F$ имеет либо 0, либо 1, либо 2, либо $\infty$ неподвижных точек. Значит, и ЗАДАЧА имеет столько же решений.
9. Примеры:
а) Три точки около центра - нет решений
б) Вписанный правильный треугольник; точка $a$ - середина основания $AB$, две других - (симметрично) - на боковых сторонах. Т.к. $F(A) = A,$ но $F(B)\ne B$, то $F\ne id$, и ЗАДАЧА имеет конечное, причем нечетное (из симметричности) число решений. Значит, одно.
в) (Вписанная) звезда Давида дает два решения
г) (следует из потомных выкладок) Для $a=2-2i, b=\frac{1}{2}, c=2+\frac{3}{2}i$ решений б. много

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про конику
Сообщение19.04.2017, 02:45 
Заслуженный участник


10/01/16
1296
10. Пусть $f_{ab} = f_b\circ f_a$, прямая $ab$ пересекает $\gamma$ в точках $p$ и $q$. Тогда $p$ и $q$ - неподвижные для $f_{ab}$

11. Построение неподвижных для $ f=f_{ab}$: пусть $z_j \in \gamma$, $x_j = f_a(z_j), y_j = f_b(x_j), j=1,2,3$. По теореме Паскаля, точка пересечения $M$ прямых $z_1y_2$ и $z_2y_1$ лежит на прямой $ab$. Построив по другой паре точек еще одну точку на этой прямой, найдем прямую $ab$. Точки ее пересечения с $\gamma$ и есть точки $p,q$. ВАЖНО: использовали только линейку, и само отображение $f$
12. $f_{ab}(z) = e^{i\theta}\cdot\frac{C-z}{1-\bar{C}z}$, (1) где
$e^{i\theta} = \frac{b\bar{a}-1}{1-a\bar{b}}, C=\frac{a-b}{1-b\bar{a}}$ (2)
13. Лемма. Любое $f$ вида (1) совпадает с некоторым $f_{ab}$
Док-во: решим систему (2)
14. Итог: Из 4 и 5: $F$ имеет вид $(1)$, и "линейко-выполним" . Из 13: его неподвижные точки можно построить линейкой по 11.

-- 19.04.2017, 04:52 --

Точнее: мы построили некую прямую $MN$; точки ее пересечения с $\gamma$ и есть искомые неподвижные $z$ (0,1 или 2). При $M=N$: все точки неподвижны

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача про конику
Сообщение19.04.2017, 08:54 


01/12/11
998
Nickspa в сообщении #1208574 писал(а):
Одной линейкой постройте треугольник, вписанный в данную гладкую конику так, что его стороны проходят через три данные точки. Сколько решений бывает у этой задачи?

Есть пара мыслей. Можем построить любой вписанный треугольник, затем перевести его в нужный нам. Но как перевести, не знаю.
Или как-нибудь использовать треугольник с вершинами в данных точках. Может кто помочь?

Рассмотрите обратную задачу.
Сколькими способами можно расположить три точки на вписанном треугольнике?
Для каждого способа подсчитать количество решений.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group