2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение06.04.2017, 07:52 


21/02/16
209
Продолжаю прорешивать задачи из книжки Давидовича и ко http://www.mccme.ru/free-books/57/davidovich.pdf.
Этой темой начинаю 9 класс, здесь будут листки 11,12 (предел последовательности).
Прошу уважаемых форумчан проверить мои доказательства, как и в моих предыдущих темах.

Определение 1. Интервал $]a-\varepsilon,a+\varepsilon[$, где $\varepsilon>0$, называется $\varepsilon$-окрестностью точки (числа) $a$ и обозначается $U_\varepsilon (a)$.

Задача 1.
Доказать, что число $x$ принадлежит $\varepsilon$-окрестности точки $a$ тогда и только тогда, когда $|x-a|<\varepsilon$.

Доказательство.
Пусть $|x-a|<\varepsilon$. По определению модуля, это означает
$$
		0\le x-a<\varepsilon \land
		0<a-x<\varepsilon 
$$ $$
\Leftrightarrow
		a\le x<a+\varepsilon \land
		a-\varepsilon<x<a
$$ $$
\Rightarrow
a-\varepsilon<x<a+\varepsilon,
$$
т.е. $x\in U_\varepsilon (a)$.
Пусть теперь $x\in U_\varepsilon (a)$, т.е.
$$
a-\varepsilon<x<a+\varepsilon
\Leftrightarrow
-\varepsilon<x-a<\varepsilon.
$$
Здесь
$$
-\varepsilon<x-a 
\Leftrightarrow
a-x<\varepsilon.
$$
Объединяя неравенства $a-x<\varepsilon$ и $x-a<\varepsilon$, получим $|x-a|<\varepsilon$.

-- 06.04.2017, 07:57 --

Для удобства продублирую тут определения.

Определение 2. Бесконечная последовательность действительных чисел -- это запись вида $x_1,x_2,x_3,\ldots$, сопоставляемая отображению $x:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ по правилу $x(i)=x_i$. Обозначение: $(x_n)$.

Определение 3. Число $a$ называется пределом последовательности $(x_n)$, если $\forall\varepsilon>0$ $\exists k\in\mathbb{N}$ $\forall n>k$ $|x_n-a|<\varepsilon$. Обозначения: (1) $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a$; (2) $x_n\to a$ при $n\to\infty$.

Определение 4. Говорят, что почти все члены последовательности $(x_n)$ удовлетворяют некоторому условию, если существует лишь конечное число таких элементов $i\in\mathbb{N}$, что $x_i$ не удовлетворяет этому условию.

Определение 5. Число $a$ называется пределом последовательности $(x_n)$, если любая $\varepsilon$-окрестность точки $a$ содержит почти все члены этой последовательности.

-- 06.04.2017, 08:07 --

Задача 2.
Докажите эквивалентность определений 3 и 5.

Доказательство.
Пусть $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a$ по определению 3, т.е. $\forall\varepsilon>0$ $\exists k\in\mathbb{N}$ $\forall n>k$ $x\in U_\varepsilon (a)$ (согласно задаче 1). Это значит, что начиная с некоторого индекса $k+1$, все члены $(x_n)$ принадлежат $U_\varepsilon (a)$. Всего таких членов бесконечное число, т.к. множество $\mathbb{N}\setminus\{1,\ldots,k\}$ очевидно счетно. Таким образом, любая $\varepsilon$-окрестность точки $a$ содержит почти все члены последовательности $(x_n)$, т.е. выполнено определение 5.
Пусть теперь $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a$ по определению 5, т.е. любая $\varepsilon$ не содержит лишь конечное число последовательности $(x_n)$. Возьмем произвольное $\varepsilon>0$ и обозначим как $k$ наибольший индекс элемента $x_n$, не принадлежащего $U_\varepsilon (a)$. Тогда $\forall n>k$ все элементы $x_n\in U_\varepsilon (a)$, т.е. с учетом задачи 1 выполнено неравенство $|x_n-a|<\varepsilon$ -- это определение 3.

-- 06.04.2017, 08:09 --

Задача 3.
Могут ли два разных числа быть пределами одной последовательности?

Ответ.
Предположим, что могут: $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a$, $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=b$, $a\ne b$. Это означает (по определению 5), что любая $\varepsilon$-окрестность $a$ и $b$ содержит почти все члены $(x_n)$. Возьмем положительный $\varepsilon<|b-a|/2$, тогда $U_\varepsilon (a)\cap U_\varepsilon (b)=\varnothing$, и при этом 1) лишь конечное число членов $(x_n)$ не принадлежит $U_\varepsilon (a)$, 2) лишь конечное число членов $(x_n)$ не принадлежит $U_\varepsilon (b)$. Эти два утверждения не могут быть истинными одновременно для нашего $\varepsilon$, следовательно наше предположение неверно, и два разных числа не могут быть пределами одной последовательности.

-- 06.04.2017, 08:09 --

Задача 4.
Что означает, что число $a$ не является пределом последовательности $(x_n)$?

Ответ.
Отрицание определения 3:
$$
\neg(\forall\varepsilon>0\ \exists k\in\mathbb{N}\ \forall n>k\ |x_n-a|<\varepsilon)
\Leftrightarrow
$$ $$
\exists\varepsilon>0\ \forall k\in\mathbb{N}\ \exists n>k\ |x_n-a|\ge\varepsilon.
$$
Отрицание определения 5:
$\neg$ (любая $\varepsilon$-окрестность точки $a$ содержит почти все члены этой последовательности) $\Leftrightarrow$ существует $\varepsilon$-окрестность точки $a$, которая содержит лишь конечное число членов этой последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение06.04.2017, 08:56 


21/05/16
174
Аделаида
irod в сообщении #1206879 писал(а):
Возьмем положительный $\varepsilon<|b-a|/2$, тогда $U_\varepsilon (a)\cap U_\varepsilon (b)=\varnothing$

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение06.04.2017, 10:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3454
К задаче 2:
irod в сообщении #1206879 писал(а):
Всего таких членов бесконечное число, т.к. множество $\mathbb{N}\setminus\{1,\ldots,k\}$ очевидно счетно. Таким образом, любая $\varepsilon$-окрестность точки $a$ содержит почти все члены последовательности
Перед "Таким образом" нужно было сказать что-то совсем другое: число элементов, не попадающих в $\varepsilon$-окрестность -- не более чем $k$.

К задаче 3.
irod в сообщении #1206879 писал(а):
тогда $U_\varepsilon (a)\cap U_\varepsilon (b)=\varnothing$
вот Вы свели первую часть рассуждения к этому, а потом нигде его не использовали в доказательстве. Потом Вы повторяете определение, делаете какие-то операции в уме и выносите вердикт: "не сошлось".
Не принимается.

К задаче 4.
irod в сообщении #1206879 писал(а):
существует $\varepsilon$-окрестность точки $a$, которая содержит лишь конечное число членов этой последовательности.
Что-что?! Теперь видно, что ошибка в задаче 2 была не просто оговоркой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.04.2017, 16:20 


21/02/16
209
kotenok gav в сообщении #1206887 писал(а):
Почему?

Вынесу это утверждение в отдельную лемму, мне кажется оно еще не раз пригодится.

Лемма (к задаче 3). $\varepsilon$-окрестности двух различных чисел $a,b$ не пересекаются при $\varepsilon<\frac{|a-b|}{2}$.

Доказательство.
$U_\varepsilon (a)\cap U_\varepsilon (b)=\varnothing$ означает, что не существует $x$ такого что одновременно выполнено $a-\varepsilon<x<a+\varepsilon$ и $b-\varepsilon<x<b+\varepsilon$. Это возможно в двух случаях: либо $a+\varepsilon\le b-\varepsilon$ (при $a<b$), либо $b+\varepsilon\le a-\varepsilon$ (при $a>b$). Найдем подходящие $\varepsilon$ для этих случаев по отдельности.
1) Пусть $a<b$. Возьмем $\varepsilon<\frac{b-a}{2}$, тогда $-\varepsilon>-\frac{b-a}{2}=\frac{a-b}{2}$, и
$$
a+\varepsilon<a+\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}=b+\frac{a-b}{2}<b-\varepsilon.
$$
2) Пусть $a>b$. Возьмем $\varepsilon<\frac{a-b}{2}$, тогда $-\varepsilon>-\frac{a-b}{2}=\frac{b-a}{2}$, и
$$
b+\varepsilon<b+\frac{a-b}{2}=\frac{b+a}{2}=a+\frac{b-a}{2}<a-\varepsilon.
$$
Объединение наших исходных условий на $\varepsilon$ в первом и втором случаях дает неравенство $\varepsilon<\frac{|a-b|}{2}$, при котором, как показано выше, $\varepsilon$-окрестности точек $a,b$ не пересекаются.

-- 08.04.2017, 16:20 --

grizzly в сообщении #1206903 писал(а):
Перед "Таким образом" нужно было сказать что-то совсем другое: число элементов, не попадающих в $\varepsilon$-окрестность -- не более чем $k$.

Ок.

-- 08.04.2017, 16:24 --

grizzly в сообщении #1206903 писал(а):
К задаче 3.
irod в сообщении #1206879 писал(а):
тогда $U_\varepsilon (a)\cap U_\varepsilon (b)=\varnothing$
вот Вы свели первую часть рассуждения к этому, а потом нигде его не использовали в доказательстве. Потом Вы повторяете определение, делаете какие-то операции в уме и выносите вердикт: "не сошлось".
Не принимается.

Новый вариант.
irod в сообщении #1206879 писал(а):
Задача 3.
Могут ли два разных числа быть пределами одной последовательности?

Ответ.
Предположим, что могут: $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a$, $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=b$, $a\ne b$.

Возьмем не пересекающиеся $\varepsilon$-окрестности $U_\varepsilon (a),U_\varepsilon (b)$ (см. вспомогательную лемму). По определению 5, $U_\varepsilon (a)$ содержит почти все члены $(x_n)$, т.е. вне $U_\varepsilon (a)$ может находиться не более чем конечное число членов $(x_n)$. $U_\varepsilon (b)$ находится целиком вне $U_\varepsilon (a)$, и значит может содержать не более чем конечное число членов $(x_n)$. Но согласно тому же определению 5, $U_\varepsilon (b)$ должно содержать почти все члены $(x_n)$ чтобы точка $b$ была пределом $(x_n)$. Следовательно, наше предположение неверно, и $b$ не может быть пределом $(x_n)$ одновременно с $a$, т.е. два разных числа не могут быть пределами одной последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.04.2017, 16:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3454
irod в сообщении #1207562 писал(а):
Новый вариант [Задачи 3].
Принимается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.04.2017, 16:38 


21/05/16
174
Аделаида
grizzly в сообщении #1206903 писал(а):
Что-что?! Теперь видно, что ошибка в задаче 2 была не просто оговоркой.

А где тут ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.04.2017, 16:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3454
kotenok gav
Касательно этого и предыдущего вопросов в этой теме. Если Вы хотите понять детали обсуждений в разделе ПРР, не следует этого делать в чужих темах ПРР. Следует создать свою тему, задать там вопрос и привести собственные попытки понять или найти решение. Тогда Вам помогут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.04.2017, 17:49 


21/02/16
209
grizzly в сообщении #1207564 писал(а):
irod в сообщении #1207562 писал(а):
Новый вариант [Задачи 3].
Принимается.

Ура :-)

-- 08.04.2017, 17:51 --

grizzly в сообщении #1206903 писал(а):
К задаче 4.
irod в сообщении #1206879 писал(а):
существует $\varepsilon$-окрестность точки $a$, которая содержит лишь конечное число членов этой последовательности.
Что-что?! Теперь видно, что ошибка в задаче 2 была не просто оговоркой.

Я посмотрел на определение предельной точки последовательности и кажется понял в чем моя ошибка.
Попробую еще раз.
Отрицание определения 5:
$\neg$ (любая $\varepsilon$-окрестность точки $a$ содержит почти все члены этой последовательности) $\Leftrightarrow$
существует $\varepsilon$-окрестность точки $a$, для которой неверно, что она содержит почти все члены этой последовательности $\Leftrightarrow$
существует $\varepsilon$-окрестность точки $a$, вне которой содержится бесконечное число членов этой последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.04.2017, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3454
irod в сообщении #1207603 писал(а):
Отрицание определения 5:
Ок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение08.04.2017, 22:49 


21/02/16
209
Задача 5.
Какие из следующих последовательностей имеют пределы:

а) $1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\ldots$
Ответ: предел равен нулю.
Доказательство.
Запишем нашу последовательность в виде $x_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n}$. Согласно аксиоме Архимеда, $\forall\varepsilon>0$ $\exists n>\frac{1}{\varepsilon}$. Тогда $|x_n|=\Big |\frac{(-1)^{n+1}}{n}\Big |=\frac{1}{n}<\varepsilon$.

б) $1,2,3,4,5,6,\ldots$
Ответ: предела не существует.
Доказательство.
От противного. Предположим, $\lim\limits_{n\to\infty} n=a$.
Возьмем минимальное $k\in\mathbb{N}$ такое что $k>a$, и возьмем положительный $\varepsilon<k-a$. Тогда $\forall n>k$ имеем $|n-a|=n-a>k-a>\varepsilon$, т.е. вне $U_\varepsilon (a)$ находится бесконечно много членов $(x_n)$. Этим доказана ошибочность нашего предположения.

в) $-1,1,-1,1,-1,1,\ldots$
Ответ: предела не существует.
Доказательство.
Возьмем положительный $\varepsilon<1/2$, тогда $U_\varepsilon (-1)\cap U_\varepsilon (1)=\varnothing$. При этом и в $U_\varepsilon (-1)$ и в $U_\varepsilon (1)$ содержится бесконечно много членов последовательности, следовательно $1$ и $-1$ не могут быть пределами одновременно (см. отрицание определения 5 в задаче 4), значит предела не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение09.04.2017, 02:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3454
irod в сообщении #1207701 писал(а):
Согласно аксиоме Архимеда, $\forall\varepsilon>0$ $\exists n>\frac{1}{\varepsilon}$. Тогда $|x_n|=\Big |\frac{(-1)^{n+1}}{n}\Big |=\frac{1}{n}<\varepsilon$.
Этого недостаточно для доказательства.
irod в сообщении #1207701 писал(а):
При этом и в $U_\varepsilon (-1)$ и в $U_\varepsilon (1)$ содержится бесконечно много членов последовательности, следовательно $1$ и $-1$ не могут быть пределами одновременно (см. отрицание определения 5 в задаче 4), значит предела не существует.
уж очень коряво звучит это "следовательно".

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение09.04.2017, 09:50 


21/02/16
209
grizzly в сообщении #1207756 писал(а):
Этого недостаточно для доказательства.

Согласно аксиоме Архимеда, $\forall\varepsilon>0$ $\exists k>\frac{1}{\varepsilon}$. Тогда $\forall n>k$ имеем $|x_n|=\Big |\frac{(-1)^{n+1}}{n}\Big |=\frac{1}{n}<\frac{1}{k}<\varepsilon$.
grizzly в сообщении #1207756 писал(а):
уж очень коряво звучит это "следовательно".

$U_\varepsilon (-1)$ и $U_\varepsilon (1)$ не пересекаются, при этом в каждой их них содержится бесконечно много членов последовательности. По определению 5, если $-1$ -- предел, то вне $U_\varepsilon (-1)$ может находиться не более чем конечное число членов последовательности. Но у нас вне $U_\varepsilon (-1)$ находится бесконечно много членов, следовательно, $-1$ не может быть пределом. Аналогично, $1$ не может быть пределом. Таким образом, $1$ и $-1$ не могут быть пределами одновременно, значит предела не существует.

-- 09.04.2017, 10:19 --

Продолжаю
irod в сообщении #1207701 писал(а):
Задача 5.
Какие из следующих последовательностей имеют пределы:

г) $0,\frac{1}{2},0,\frac{1}{3},0,\frac{1}{4},\ldots$
Ответ: предел равен нулю.
Доказательство.
В этой последовательности $(x_n)$ бесконечное число членов равны нулю, остальные члены можно записать в виде $x_{2n}=\frac{1}{n+1}$. Согласно аксиоме Архимеда, $\forall\varepsilon>0$ $\exists k>\frac{1}{\varepsilon}-1$. Тогда $\forall n>k$ имеем $|x_{2n}|=\Big |\frac{1}{n+1}\Big |=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{k+1}<\varepsilon$. Таким образом, $\forall\varepsilon>0$ $\exists k\in\mathbb{N}$ $\forall n>k$ $|x_n|<\varepsilon$, т.е. $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=0$ по определению 3.

Аксиома Архимеда оказалась крайне полезной штукой :-)

-- 09.04.2017, 10:30 --

д) $0.2,0.22,0.22,\ldots$
Вот тут я сходу ничего не придумал. Возможно здесь мне аукнется мой пропуск листка 9 по десятичной записи действительного числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение09.04.2017, 10:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3454
irod в сообщении #1207791 писал(а):
Таким образом, $1$ и $-1$ не могут быть пределами одновременно, значит предела не существует.
Вот этого "таким образом" я по-прежнему понять не могу. Или Вы говорите не то, что думаете или плохо думаете :D (Поскольку это повторилось дважды подряд, я в недоумении.)

Утверждение "$1$ и $-1$ не могут одновременно быть пределами одной последовательности" действительно верно. Но оно верно не в силу приведенных Вами аргументов, а в силу Задачи 3.

Впрочем, это не самое худшее. Посмотрите, что Вам нужно доказать и что Вы на самом деле доказываете. Я не приму эту задачу пока не увижу понятного доказательства.

-- 09.04.2017, 11:21 --

irod в сообщении #1207791 писал(а):
Вот тут я сходу ничего не придумал.
А существует предел или нет? Разрешается просто угадать предел, а потом доказывать, что это он и есть.
irod в сообщении #1207791 писал(а):
Возможно здесь мне аукнется мой пропуск листка 9 по десятичной записи действительного числа.
Скорее всего. А если записать то же в виде обыкновенных дробей? (хотя в данном случае это читерство, наверное)
Можно пропустить пока задачу. На горизонте не видно других подобных. Но тема про десятичную запись сама по себе важна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение09.04.2017, 22:35 


21/02/16
209
grizzly в сообщении #1207799 писал(а):
Можно пропустить пока задачу. На горизонте не видно других подобных. Но тема про десятичную запись сама по себе важна.

Ок. Пока пропускаю эту задачу.

-- 09.04.2017, 22:36 --

grizzly в сообщении #1207799 писал(а):
Посмотрите, что Вам нужно доказать и что Вы на самом деле доказываете. Я не приму эту задачу пока не увижу понятного доказательства.

Вы правы, я все это время что-то не то доказывал.
Новая попытка.
Что означает, что предела $(x_n)$ не существует (с использованием определения 5): не существует такой точки $a$, для которой выполнено определение предела $\Leftrightarrow$ $\forall a\in\mathbb{R}$ существует $\varepsilon$-окрестность $a$, вне которой содержится бесконечное число членов $(x_n)$ (см. задачу 4).
irod в сообщении #1207701 писал(а):
в) $-1,1,-1,1,-1,1,\ldots$

Очевидно, кандидатов в предел нашей последовательности всего два: $1$ и $-1$, т.к. для любой другой точки $a$ достаточно взять $\varepsilon$ меньшим расстояния от $a$ до ближайшей к ней из точек $1,-1$ и получить тем самым $U_\varepsilon (a)$, вне которой будет содержаться бесконечное число членов последовательности.
Далее частично повторим предыдущее доказательство:
irod в сообщении #1207791 писал(а):
$U_\varepsilon (-1)$ и $U_\varepsilon (1)$ не пересекаются, при этом в каждой их них содержится бесконечно много членов последовательности. По определению 5, если $-1$ -- предел, то вне $U_\varepsilon (-1)$ может находиться не более чем конечное число членов последовательности. Но у нас вне $U_\varepsilon (-1)$ находится бесконечно много членов, следовательно, $-1$ не может быть пределом. Аналогично, $1$ не может быть пределом.

И осталось только сказать, что раз никакая точка, включая $1$ и $-1$, не является пределом, то предела не существует.

-- 09.04.2017, 22:39 --

irod в сообщении #1207701 писал(а):
Задача 5.
Какие из следующих последовательностей имеют пределы:

е) $0,1\frac{1}{2},-\frac{2}{3},1\frac{1}{4},-\frac{4}{5},1\frac{1}{6},\ldots$
Ответ: предела не существует.
Доказательство. Перепишем для удобства $(x_n)=0,1,\frac{3}{2},-\frac{2}{3},\frac{5}{4},-\frac{4}{5}$. Тогда вся $(x_n)$ состоит из членов $x_1=0$, $x_{2n}=\frac{2n+1}{2n}=1+\frac{1}{2n}$ и $x_{2n+1}=-\frac{2n}{2n+1}$.
Рассмотрим $(x_{2n})$.
По аксиоме Архимеда $\forall\varepsilon>0$ $\exists k$ такое что $k>\frac{1}{2\varepsilon}$. Тогда $\forall n>k$ имеем
$$
|x_{2n}-1|=\bigg |1+\frac{1}{2n}-1\bigg |=\frac{1}{2n}<\frac{1}{2k}<\varepsilon,
$$
т.е. в любой $\varepsilon$-окрестности точки $1$ содержатся почти все члены вида $(x_{2n})$.
Рассмотрим $(x_{2n+1})$.
По аксиоме Архимеда $\forall\varepsilon>0$ $\exists k$ такое что $k>\frac{1-\varepsilon}{2\varepsilon}$. Заметим, что $\forall k\in\mathbb{N}$ $0<\frac{2k}{2k+1}<1$, поэтому $\Big |1-\frac{2k}{2k+1} \Big |=1-\frac{2k}{2k+1}=\frac{1}{2k+1}$. Тогда $\forall n>k$ имеем
$$
\Big |1-\frac{2n}{2n+1}\Big |=\frac{1}{2n+1}<\frac{1}{2k+1}<\frac{1}{\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}+1}=\varepsilon,
$$
т.е. в любой $\varepsilon$-окрестности точки $-1$ содержатся почти все члены вида $(x_{2n+1})$.
Таким образом, в $U_\varepsilon (1)$ содержится бесконечно много членов $(x_n)$, и в $U_\varepsilon (-1)$ также содержится бесконечно много членов $(x_n)$. Повторив доказательство пункта в), получим что предела не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение09.04.2017, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3454
Теперь согласен.

Я бы пытался сэкономить на рассуждениях. Например, для пункта в):
Произвольная точка $a\ge 0$ не может быть пределом, поскольку вне окрестности $U_{a+1}(a)$ находится бесконечно много членов последовательности, равных $-1$. Аналогично для $a<0$.

Экономия здесь не шибко большая, но подобный подход в п.е) позволил бы здорово сократить выкладки, я считаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 51 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group