2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение10.04.2017, 06:55 


21/02/16
346
grizzly в сообщении #1208076 писал(а):
Я бы пытался сэкономить на рассуждениях.

Ок, хорошая идея.

-- 10.04.2017, 06:57 --

Иду дальше.

Определение 6.
Число $a$ называется предельной точкой последовательности $(x_n)$, если $\forall\varepsilon>0$ $\forall k\in\mathbb{N}$ $\exists n>k$ $|x_n-a|<\varepsilon$.

Задача 6.
Число $a$ есть предельная точка последовательности $(x_n)$, если и только если любая $\varepsilon$-окрестность точки $a$ содержит бесконечное число членов этой последовательности.

Доказательство.
Пусть $a$ -- предельная точка последовательности $(x_n)$, и $\varepsilon$ -- произвольное положительное число.
Возьмем минимальное $n>1$ такое что $|x_n-a|<\varepsilon$ (определение 6 гарантирует нам существование такого $n$), и обозначим его $n_1$. Затем возьмем минимальное $n>n_1$ такое что $|x_n-a|<\varepsilon$, обозначив его $n_2$. Будем повторять этот процесс, на $i$-м шаге добавляя в нашу последовательность некоторое $n_i$. В итоге получим счетную последовательность$(x_{n_i})$ чисел таких что $|x_{n_i}-a|<\varepsilon$. Согласно задаче 1, это означает что все члены $(x_{n_i})$ принадлежат $U_\varepsilon (a)$, т.е. $U_\varepsilon (a)$ содержит бесконечное число членов $(x_n)$.
Пусть теперь любая $\varepsilon$-окрестность точки $a$ содержит бесконечное число членов $(x_n)$. Возьмем произвольный $\varepsilon>0$ и расположим все члены из $U_\varepsilon (a)$ по возрастанию их индекса в $(x_n)$: $x_{k_1},x_{k_2},x_{k_3},\ldots$, где $k_i\ge i$ для любого натурального $i$. Другими словами, $\forall i\in\mathbb{N}$ $\exists k_i\ge i$ $|x_{k_i}-a|<\varepsilon$, т.е. выполнено определение 6, согласно которому $a$ -- предельная точка $(x_n)$.

-- 10.04.2017, 07:00 --

Задача 7.
Доказать, что если последовательность сходится к $a$ (то есть $a$ является ее пределом), то она не имеет предельных точек, отличных от $a$.

Доказательство.
От противного. Пусть $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a$. Предположим, что существует $b\ne a$ -- предельная точка $(x_n)$. Возьмем непересекающиеся $\varepsilon$-окрестности $U_\varepsilon (a)$ и $U_\varepsilon (b)$. По определению предела, вне $U_\varepsilon (a)$ находится не более чем конечное число членов $(x_n)$. Согласно задаче 6, в $U_\varepsilon (b)$ должно находиться бесконечно много членов $(x_n)$. $U_\varepsilon (b)$ целиком находится вне $U_\varepsilon (a)$. Следовательно, наше предположение неверно, и $b$ не может быть предельной точкой $(x_n)$ при $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение10.04.2017, 10:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15007
Новомосковск
irod в сообщении #1208095 писал(а):
Число $a$ называется предельной точкой последовательности $(x_n)$, если $\forall\varepsilon>0$ $\forall k\in\mathbb{N}$ $\exists n>k$ $|x_n-a|<\varepsilon$.
Неправильное определение. Правильное определение такое: $a$предельная точка последовательности $(x_n)$, если $\forall\varepsilon>0\;\exists k\in\mathbb N\;(0<\lvert x_k-a\rvert<\varepsilon)$.

Для того, что у Вас, мне встречалось название "частичный предел последовательности".

P.S. 1) В формуле должна быть одна пара долларов: в начале и в конце (или две: одна пара в начале и одна пара в конце, если Вы хотите, чтобы формула была в отдельной строке в центре).
2) Если Вы хотите вставить пробел между частями формулы, для этого существуют специальные команды. Например: $a\ b$.
Подробнее: http://dxdy.ru/post443191.html#p443191.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение10.04.2017, 10:53 
Заслуженный участник


16/02/13
2885
Владивосток
Someone в сообщении #1208117 писал(а):
Правильное определение такое
Странное у вас какое-то правильное определение. Беру последовательность $1,2,3\dots$ — и для любого $\varepsilon$ существует $k=1$ такое что $|x_k-1|<\varepsilon$ — и вуаля, единица становится предельной точкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение10.04.2017, 11:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15007
Новомосковск
iifat в сообщении #1208124 писал(а):
Странное у вас какое-то правильное определение.
Да, Вы правы, очень странное. Естественно, должно быть $$\forall\varepsilon>0\;\forall k\in\mathbb N\;\exists n>k\;(0<\lvert x_n-a\rvert<\varepsilon).$$
А я ещё смотрел на своё "определение" и думал: почему это у меня в одном месте $k$, а в другом $n$? И исправил не там.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение10.04.2017, 13:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4652
Someone
(Чуть ниже Давидович будет давать определение "предельной точки множества". Вот там у него такая же идея -- с проколотой окрестностью.)

Я пробежался по учебникам и поиском по гугло-книгам. Если где-то оно назвается "предельной точкой последовательности", то определение даётся именно так, как у Давидовича (я ни разу не встретил Вашего определения). Примеры книг:

    Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), стр.91,
    Энгелькинг Л. Общая топология (там даётся в духе Давидовича определение "предельной точки направленности"), стр.88.

-- 10.04.2017, 13:57 --

Someone в сообщении #1208126 писал(а):
Естественно, должно быть $$\forall\varepsilon>0\;\forall k\in\mathbb N\;\exists n>k\;(0<\lvert x_n-a\rvert<\varepsilon).$$
Это определение "предельной точки множества значений последовательности"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение10.04.2017, 14:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15007
Новомосковск
grizzly, может быть, и так. Но у меня в голове с первого курса (математический анализ нам читал И. А. Вайнштейн) с определением из Давидовича прочно связан термин "частичный предел последовательности". Фактически ведь это определение означает, что существует подпоследовательность, имеющая эту точку своим пределом. То же самое верно и для направленностей, по крайней мере, если под "поднаправленностью" понимать "более тонкую направленность".
И мне хотелось бы, чтобы понятия "предельная точка последовательности" и "предельная точка множества значений последовательности" не противоречили друг другу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение10.04.2017, 16:39 
Заслуженный участник


16/02/13
2885
Владивосток
Someone в сообщении #1208126 писал(а):
должно быть
А в чём, не напомните, сакральный смысл «$0<$»? Не, я понимаю, в соответствии с этим определением $1$ не есть предельная точка последовательности $1, 2, 1, 3, 1, 4, \dots$ — но для чего, Холмс?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение10.04.2017, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4652
iifat в сообщении #1208208 писал(а):
для чего, Холмс?
    Someone в сообщении #1208161 писал(а):
    чтобы понятия "предельная точка последовательности" и "предельная точка множества значений последовательности" не противоречили друг другу.


 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение11.04.2017, 16:30 


21/02/16
346
Someone
grizzly
так все же какое определение мне дальше использовать? Учитывая что я занимаюсь именно по Давидовичу и в другие учебники сейчас почти не заглядываю, и ранее сталкивался тоже именно с таким определением (сейчас не вспомню конкретных учебников), может мне его и использовать, как считаете?

-- 11.04.2017, 16:31 --

grizzly
есть ли какие-нибудь замечания по задачам 6 и 7?

-- 11.04.2017, 16:37 --

Пока выложу еще сделанные задачи.

Задача 8.
Для каждой из следующих последовательностей указать все ее предельные точки:
а) $y_n=\frac{n+1}{n}$.
Ответ: $1$.
Доказательство.
Аналогично пунктам а) и г) задачи 5 доказывается, что $1$ является пределом последовательности $(y_n)$ (берем $k>\frac{1}{\varepsilon}$ и применяем определение 3). Тогда, согласно задаче 7, $1$ будет также единственной предельной точкой $(y_n)$.

б) $y_n=(-1)^n$.
Ответ: $1$ и $-1$.
Доказательство.
$(y_n)$ состоит из бесконечного числа чисел $1$ и $-1$. В задаче 5.в для такой же последовательности было показано, что в любых $\varepsilon$-окрестностях точек $1$ и $-1$, и только этих точек, содержится бесконечно много членов последовательности. Тогда по задаче 6, $1$ и $-1$ -- предельные точки.

в) $y_n=n$.
Ответ: нет предельных точек.
Доказательство. См. доказательство задачи 5.б.

г) $y_n=n^{(-1)^n}$.
Ответ: $0$.
Доказательство.
$(y_n)$ состоит из членов видов $y_{2n}=2n$ и $y_{2n-1}=\frac{1}{2n-1}$. У $(y_{2n})$ нет предельных точек (см. пункт в), а у $(y_{2n-1})$ предел и по совместительству (согласно задаче 7) единственная предельная точка $0$ (доказательство предела аналогично доказательству пунктов а) и г) задачи 5).

-- 11.04.2017, 16:50 --

Задача 9.
Существует ли последовательность, множество предельных точек которой есть

а) $\mathbb{N}$.
Ответ: да, это последовательность, каждый член которой (с номером $m$) является последовательностью $x_n^m=m+\frac{1}{n}$.
Доказательство.
Доказательство $\lim\limits_{n\to\infty} x_n^m=m$ для любого натурального $m$ аналогично доказательству задачи 8.а. Т.е. в любой $\varepsilon$-окрестности любого натурального числа находится бесконечное число членов всей родительской последовательности, что по задаче 6 и означает что $\mathbb{N}$ является множеством предельных точек последовательности.

б) $[0,1]$.
Ответ: да, это последовательность из всех рациональных чисел интервала $[0,1]$, ведь для любого $x\in[0,1]$ любая $U_\varepsilon (x)$ содержит бесконечно много рациональных точек из $[0,1]$.

в) $\mathbb{Q}$.
Ответ: да, это последовательность, состоящая из всех точек самого $\mathbb{Q}$, т.к. любая $\varepsilon$-окрестность любого рационального числа содержит бесконечно много рациональных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение11.04.2017, 17:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4652
irod в сообщении #1208670 писал(а):
grizzly
так все же какое определение мне дальше использовать?
Определение не меняем. Вопрос в том, как правильно назвать определяемое. И я тоже согласен, что "частичный предел" лучше, чем "предельная точка". Но я бы не стал уже ничего менять в книге (оно встретится нам здесь ещё только несколько раз), просто имейте в виду на будущее.

Прошлые задачи -- ок. Эти нет (не все).
irod в сообщении #1208670 писал(а):
в) $y_n=n$.
Ответ: нет предельных точек.
Доказательство. См. доказательство задачи 5.б.
Не годится. Ни обозначения, ни техника того доказательства здесь не применима. Нужно переписать с соответствующими изменениями.
irod в сообщении #1208670 писал(а):
г) $y_n=n^{(-1)^n}$.
Ответ: $0$.
Доказательство.
...
У $(y_{2n})$ нет предельных точек (см. пункт в), а у $(y_{2n-1})$
Мне это не очень нравится. Вы ввели новые сущности (это, может быть, и хорошо само по себе) и никак не аргументируя используете их свойства (а это потенциальный источник проблем). Здесь можно было привычными приёмами указать в любой окрестности 0 бесконечное много членов последовательности и для произвольной другой точки найти такие $\varepsilon $ и $k$, что члены последовательности с большими номерами не попадают в эту окрестность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение12.04.2017, 18:36 


21/02/16
346
grizzly
Понял. Исправляю недочеты, пока один пункт - 8.в
irod в сообщении #1208670 писал(а):
в) $y_n=n$.
Ответ: нет предельных точек.

В задаче 5.б было доказано, что вне любой $U_\varepsilon(a)$ произвольной точки $a$ находится бесконечно много членов последовательности. Следовательно, согласно задаче 6, ни одна точка не может быть предельной точкой $(y_n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение12.04.2017, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4652
irod в сообщении #1209058 писал(а):
вне любой $U_\varepsilon(a)$ произвольной точки $a$ находится бесконечно много членов последовательности. Следовательно, согласно задаче 6, ни одна точка не может быть предельной точкой $(y_n)$.
Стал бы я придираться по мелочам? Я даже не хочу указывать, в чём ошибка. Ещё раз читаем определения и внимательно смотрим, что нужно доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение13.04.2017, 12:47 


21/02/16
346
grizzly
Тьфу, извиняюсь за такую глупую ошибку! Надо заменить первую фразу на следующую.
В $U_{1/3}(a)$ произвольной точки $a$ содержится не более одного члена $(y_n)$ (при $a\le 0$ -- ни одного члена).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение13.04.2017, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4652
irod в сообщении #1209153 писал(а):
любой произвольной точки $a$ содержится не более одного
Произвольная точка не может быть не любой (шутка :)
Вы хотели сказать "не более двух"? Тогда засчитано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности (задачи из Давидовича)
Сообщение13.04.2017, 13:00 


21/02/16
346
grizzly
Подправил свое сообщение, не успел до Вашего быстрого ответа )

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 160 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group