2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Плоские электрические волны
Сообщение26.03.2017, 00:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Пусть есть уравнение д'Аламбера в веществе
$$
\square \ \mathbf E = 0,
$$
где
$$
\square = \dfrac{\varepsilon \mu}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} -\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} - \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} - \dfrac{\partial^2}{\partial z^2},
$$
и условие того, что в рассматриваемом веществе нет ни поляризационных зарядов, ни свободных:
$$
\operatorname{div} \mathbf E = 0.
$$

Будем искать решение в виде плоской волны, где фазовые плоскости ортогональны оси $z$ и в которых электрический вектор постоянен: $\mathbf E(x, y, z_0, t_0) = \operatorname{const}$ для произвольных $x, y$ и фиксированных $z_0$ и $t_0$. Из последнего соотношения
$$
\begin{cases}
\mathrm d E_x = \dfrac{\partial E_x}{\partial x} \mathrm dx + \dfrac{\partial E_x}{\partial y} \mathrm dy = 0, \\
\mathrm d E_y = \dfrac{\partial E_y}{\partial x} \mathrm dx + \dfrac{\partial E_y}{\partial y} \mathrm dy = 0, \\
\mathrm d E_z = \dfrac{\partial E_z}{\partial x} \mathrm dx + \dfrac{\partial E_z}{\partial y} \mathrm dy = 0,
\end{cases}
$$
где равенство нулю тождественное, откуда
$$
\dfrac{\partial \mathbf E}{\partial x} = \dfrac{\partial \mathbf E}{\partial y} = 0.
$$

Из уравнения для дивергенции ещё найдём $\dfrac{\partial E_z}{\partial z} = 0$ как следствие сказанного выше. То есть, получается, что для $z$-компоненты уравнение д'Аламбера будет
$$
\dfrac{\varepsilon \mu}{c^2}\dfrac{\partial^2 E_z}{\partial t^2} - \Delta E_z = 0,
$$
причём $\Delta E_z = \dfrac{\partial^2 E_z}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 E_z}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 E_z}{\partial z^2} = 0$, откуда я получаю вот что:
$$
\dfrac{\partial^2 E_z}{\partial t^2} = 0,
$$
в то время как для остальных двух компонент член, содержащий $\partial/\partial z$ не пропадает, и уравнения как положено волновые:
$$
\begin{align*}
\dfrac{\varepsilon \mu}{c^2}\dfrac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} - \dfrac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = 0,\\
\dfrac{\varepsilon \mu}{c^2}\dfrac{\partial^2 E_y}{\partial t^2} - \dfrac{\partial^2 E_y}{\partial z^2} = 0.
\end{align*}
$$

То, что член пропал, это хорошо? Если да, то выходит, что по времени $E_z$ не более, чем линейная функция: $E_z(\ldots, t) = at + b$. Коэффициент $a = 0$ потому, что волна должна существовать в любой момент времени и оставаться конечной по амплитуде, а почему $b$ должно быть равно нулю? Или вовсе не должно?

У меня такое ощущение складывается, что уровень понимания уравнений, которые я пишу, обратно пропорционален количеству уже написанных уравнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоские электрические волны
Сообщение26.03.2017, 01:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
StaticZero,
А давайте напишем частное решение, удовлетворяющее всем Вашим условиям. Например, такое:
$$
\begin{align}
E_y&=E_z=0\\
E_x&=\exp(i(kz-\omega t))\\
k^2&=\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\omega^2
\end{align}
$$
и, мне кажется, что Вы сами найдете, где дырка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоские электрические волны
Сообщение26.03.2017, 01:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Выписал почти все использованные равенства:
$$
\operatorname{div} \mathbf E = 0.
$$
$$
\begin{cases}
\square \ E_x = \dfrac{\varepsilon \mu}{c^2} (-i \omega)^2 - (ik)^2 = - \dfrac{k^2 c^2}{\varepsilon \mu} \dfrac{\varepsilon \mu}{c^2} + k^2 = 0, \\
\square \ E_y = \square \ E_z = 0.
\end{cases}
$$
$$
\mathbf E(x, y, z_0, t_0) = \begin{pmatrix}
\exp(i k z_0) \exp(- i \omega t_0) \\
0 \\
0
\end{pmatrix} = \operatorname{const}.
$$
$$
\dfrac{\partial \mathbf E}{\partial x} = \dfrac{\partial \mathbf E}{\partial y} = 0.
$$
$$
\dfrac{\partial E_z}{\partial z} = 0.
$$
Противоречий не вижу...

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоские электрические волны
Сообщение26.03.2017, 03:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
А, так это Вы условие поперечности пытаетесь получить. Извиняюсь, не врубился. Так любое постоянное во всем пространстве поле удовлетворяет всему на свете. Поэтому $E_z=\operatorname{const}$ можно добавлять к любому решению, также как $E_x=\operatorname{const}$ итд. Так что формально все правильно, только очень вычурно. Из начальных данных можно сразу написать, что все $E$ есть функции от $kz\pm\omega t$, откуда сразу все получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоские электрические волны
Сообщение26.03.2017, 03:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Если решение в виде плоской волны, с фазовыми плоскостями, перпендикулярными $z$, то решение зависит только от $t,z$. Но тогда $E_z$ в силу условия на дивергенцию, не зависит и от $z$, а тогда и от $t$, т.е. постоянно, a $E_x,E_y$ решения одномерного волнового уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоские электрические волны
Сообщение26.03.2017, 14:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
StaticZero в сообщении #1203526 писал(а):
выходит, что по времени $E_z$ не более, чем линейная функция: $E_z(\ldots, t) = at + b$. Коэффициент $a = 0$ потому, что волна должна существовать в любой момент времени и оставаться конечной по амплитуде, а почему $b$ должно быть равно нулю? Или вовсе не должно?

Не должно. Это просто слагаемое, по которому бежит волна.

Математически мы к любому решению можем прибавить любое решение. Например, к любому электростатическому полю мы можем прибавить решение уравнения Лапласа - гармоническое поле, неограниченно растущее на бесконечности или константу. Уменьшают этот произвол граничными условиями, и их аналогами (условия на бесконечности, условия постоянства, периодичности, различные симметрии, нормировки). Но вот, в данном случае уменьшили не до конца. Одно число осталось (это, в принципе, немного). Можно было бы наложить ещё какое-то условие, но трудно придумать осмысленное. Может быть, $\langle E_z\rangle=0.$

Физически, это означает, что волны бегут как в пустом пространстве, так и в каком-то наложенном внешнем поле. Например, мы можем взять плоский конденсатор, и в нём пустить волну. Никто же не запрещает? Конечно, нас интересует сама волна, поэтому увидев в решении постоянное слагаемое, мы можем его выкинуть просто со словами "нам это не интересно". Но других поводов избавиться от него - нет. Связано это с тем, что такое поле на волну никак не влияет, электромагнитное поле подчиняется принципу суперпозиции, уравнения электродинамики линейны. (В квантовом случае в сильных полях нелинейны, но это отдельная история.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоские электрические волны
Сообщение26.03.2017, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Munin в сообщении #1203657 писал(а):
Может быть, $\langle E_z\rangle=0$.

Вот у одномерного волнового уравнения есть решение $f(z-ct)$, где $f$ имеет разные пределы на $\pm\infty $. Где здесь постоянный фон и где бегущая волна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоские электрические волны
Сообщение26.03.2017, 16:09 


27/08/16
9426
StaticZero в сообщении #1203526 писал(а):
Будем искать решение в виде плоской волны, где фазовые плоскости
Вы всё ещё не наложили никаких условий на форму этой плоской волны, хоть и упомянули про "фазовые плоскости". Эта плоская волна всё ещё может иметь любую форму как функция времени. Обычно после этого раскладывают волну по частотам при помощи преобразования Фурье во временной области, и решают уравнения для одной гармонической волны. Тогда "постоянный фон" исчезнет сам собой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоские электрические волны
Сообщение26.03.2017, 16:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
realeugene в сообщении #1203709 писал(а):
Тогда "постоянный фон" исчезнет сам собой.

Разумеется, не сам собой.

Red_Herring
Да, вы правы, но мне кажется, в частном случае $E_z$ моё условие провозгласить можно. В физике часто так делается: высасывают из пальца чего хочется, и под это подводятся  размахивания руками  обоснования. Разумеется, в жизни я бы посоветовал семь раз подумать, но тут задача учебная, и первым делом надо понять, как вообще устроены волны, так что от обрезков и стружек можно отмахнуться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоские электрические волны
Сообщение26.03.2017, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Munin в сообщении #1203724 писал(а):
частном случае $E_z$ моё условие провозгласить можно

А зачем? В этом частном случае $E_z$ просто постоянно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоские электрические волны
Сообщение26.03.2017, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
realeugene в сообщении #1203709 писал(а):
Вы всё ещё не наложили никаких условий на форму этой плоской волны

Ну, я предполагаю произвольный электрический импульс $f(z, t)$.

Рассмотрел сейчас случай произвольного направления, задающегося вектором $\mathbf s$, $s = 1$. Получил, что электрическое поле будет иметь вид
$$
\mathbf E(\mathbf r, t) = \mathbf E_1 \left(\dfrac{ct}{\sqrt{\varepsilon \mu}} + (\mathbf s \cdot \mathbf r) \right) + \mathbf E_2 \left(\dfrac{ct}{\sqrt{\varepsilon \mu}} - (\mathbf s \cdot \mathbf r) \right),
$$
фазовые плоскости задаются уравнением $(\mathbf s \cdot \mathbf r) = \operatorname{const}$.

Теперь я хочу получить плоские монохроматические волны. Пусть они будут распространяться в одну сторону. Я должен написать что-то вроде
$$
\mathbf E = \mathbf E_0 \cos \left((\mathbf s \cdot \mathbf r) - \dfrac{ct}{\sqrt{\varepsilon \mu}} + \varphi \right).
$$
Вопрос такой: а может, правильно
$$
\begin{pmatrix}
E_{0x} \cos (\ldots + \varphi_1) \\
E_{0y} \cos (\ldots + \varphi_2) \\
E_{0z} \cos (\ldots + \varphi_3),
\end{pmatrix}
$$
ведь иначе у меня не получаются всякие разные поляризации. Вопрос второй: про поляризацию речь ведут, когда $\mathbf E$ шатается в фазовой плоскости, то есть тогда у вектора $\mathbf E$ есть три независимые гармонические составляющие, а у меня должно быть их лишь две. Как тут разобраться честным образом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоские электрические волны
Сообщение26.03.2017, 17:46 
Заслуженный участник


28/12/12
7739
StaticZero в сообщении #1203733 писал(а):
Вопрос второй: про поляризацию речь ведут, когда $\mathbf E$ шатается в фазовой плоскости, то есть тогда у вектора $\mathbf E$ есть три независимые гармонические составляющие, а у меня должно быть их лишь две.

Если выбрать одну из координатных осей перпендикулярно плоскости постоянной фазы, останется две. Собственно, если не выбирать, их тоже две, только более сложно выраженных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоские электрические волны
Сообщение26.03.2017, 17:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
DimaM в сообщении #1203735 писал(а):
Если выбрать одну из координатных осей перпендикулярно плоскости постоянной фазы, останется две.

Да, а из исходной системы координат уравнение, привязывающее третью компоненту, можно получить? Я подозреваю, что этим уравнением могло бы стать то, что проекция электрического вектора на $\mathbf s$ должна быть постоянной, но что-то гложет меня сомнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоские электрические волны
Сообщение26.03.2017, 17:53 
Заслуженный участник


28/12/12
7739
StaticZero в сообщении #1203736 писал(а):
Да, а из исходной системы координат уравнение, привязывающее третью компоненту, можно получить?

Конечно.

StaticZero в сообщении #1203736 писал(а):
Я подозреваю, что этим уравнением могло бы стать то, что проекция электрического вектора на $\mathbf s$ должна быть постоянной

Для чистой волны - нулевой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плоские электрические волны
Сообщение27.03.2017, 00:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Red_Herring
Спасибо, вы меня прогнали из этой темы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group