Сходимость по мере

[Nickspa]

$f(x)$ - измеримая по Лебегу функция, принимающая конечные значения на $[-1; 1]$. Докажите, что $f_n(x)=f(x-\frac{1}{n})$ сходятся по мере к $f(x)$ при $n\to\infty, x\in[0, 1]$.

Может кто помочь? Знаю определение сходимости по мере и измеримой по Лебегу функции. Но как их тут применить, не знаю.

Определение сходимости по мере: $\forall \varepsilon>0 \lim\limits_{n\to\infty}\mu(x: \left\lvert f_n(x)-f(x)\right\rvert>\varepsilon )=0}$.
Соответственно равенство нулю предела по определению: $\forall\delta>0 \exists N: \forall n>N \Rightarrow \left\lvert \mu(x: \left\lvert f_n(x)-f(x)\right\rvert>\varepsilon)\right\rvert<\delta$.
То есть, если я буду следовать определению предела, то должен указать номер, начиная с которого мера будет меньше наперед заданного положительного числа.

[Lia]

А Вы начните с чего-нибудь. Хоть и с определений. И вообще, какие мысли есть.

И индекс поправьте.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

Воспользуйтесь т. Лузина и теоремой Кантора о равномерной непрерывности непрерывной на компакте функции.