Условное мат. ожидание в двойном аукционе

[Edmonton]

Стоит задача двойного аукциона: есть продавец и покупатель, которые подают заявки одновременно и независимо друг от друга. У продавца есть издержки на производство товара, у покупателя есть ценность, в которую он оценивает этот товар. Издержки и ценность равномерно распределены на отрезке от 0 до 1, причем каждый игрок точно знает свою оценку стоимости, а об оценке стоимости другого у него есть только вероятностное представление. Сделка состоится, если требуемая цена продавца не больше предлагаемой цены покупателя, причем цена в этом случае определяется как среднее арифметическое от предложений игроков.
Стратегии игроков в данной игре -- это их функции заявки от издержек (для продавца) $p_B(v_B)$ и ценности (для покупателя) $p_S(v_S)$.

Рассматривается случай линейных стратегий (заявки имеют линейную зависимость от стоимостей):
$p_S(v_S) = a_S+c_S\cdot v_S,\qquad p_B(v_B)=a_B+c_B\cdot v_B$

В равновесии каждый из игроков стремится максимизировать свою ожидаемую прибыль. Для продавца выигрыш равняется разнице цены и издержек: $p_S-v_S$, для покупателя -- разнице ценности и цены: $v_B-p_B$

Поэтому выражение для максимизации выигрыша покупателя имеет вид:

$\left[ v_B - \frac{p_B+\mathbb{E}(p_s(v_S)|p_B\ge p_S(v_S))}{2} \right] \cdot \mathbb{P}(p_B\ge p_S (v_S))$

Проблема:
У меня возникают трудности с подсчетом мат.ожидания:
$\mathbb{E}(p_s(v_S)|p_B\ge p_S(v_S))$

Поскольку в нашем случае рассматриваются линейные стратегии, то заменяем $p_S$ на $a_S+c_S\cdot v_S$:

$\mathbb{E}(p_s(v_S))|p_B\ge p_S(v_S) = \mathbb{E}(a_S+c_S\cdot v_S | p_B \ge a_S+c_S\cdot v_S)$

Интуитивное понимание того, как надо это брать, приводит меня к тому, что при переходе к интегралу я заменяю нижний предел с 0 на $\frac{p_B-a_S}{c_S}$:
$\mathbb{E}(a_S+c_S\cdot v_S | p_B \ge a_S+c_S\cdot v_S) = \int\limits_{\frac{p_B-a_S}{c_S}}^{1}(a_S +c_S \cdot v_S) \,dv_S$, но этот ход приводит меня к неправильному ответу, и по всей видимости, надо действовать как-то иначе.

Чтобы начать интегрировать, нужно найти условную плотность распределения:
$f_{a_S+c_S\cdot v_S | p_B \ge a_S + c_S \cdot v_S},$
однако я не очень понимаю, что это такое, если учесть, что $p_B$ -- это число. Не могли бы вы подсказать, с какой стороны будет правильно подступиться к этой задаче?

[Brukvalub]

Edmonton в сообщении #1202308 писал(а):

Издержки и ценность равномерно распределены на отрезке от 0 до 1, причем каждый игрок точно знает свою оценку стоимости

Вот эта фраза прилично изорвала мой шаблон, прямо в клочья!

[dsge]

Brukvalub в сообщении #1202312 писал(а):

Вот эта фраза прилично изорвала мой шаблон, прямо в клочья!

Похоже на гугловский перевод с английского.
Edmonton
Не пробовали разделить соответствующие ожидания и плотности на вероятность условия?

[Edmonton]

Цитата:

Похоже на гугловский перевод с английского.

Ну камон, никакой это не перевод, конечно. Просто мне показалось логичным обозвать стоимость продавца издержками, а стоимость покупателя -- ценностью, но видимо, я ошибался.

Цитата:

Не пробовали разделить соответствующие ожидания и плотности на вероятность условия?

Не совсем понимаю, что Вы имеете в виду под словосочетанием "вероятность условия". Условная вероятность? Перейти к ней и обычному мат.ожиданию?

-- Чт мар 23, 2017 14:41:00 --

Хм. Появилась тут версия. Раз у нас стоит ограничение p_B \ge a_S + c_S \cdot v_S, а величина $v_S$ изначально распределена от 0 до 1, то значит, теперь мы ее сверху ограничиваем значением $v_S < \frac{p_B-a_S}{c_S}$, и потому ее условное распределение будет всего лишь $\frac{1}{\frac{p_B-a_S}{c_S}}$?