2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 $\frac{2017^n -1}{15^n -1} $
Сообщение19.03.2017, 08:04 


31/05/14
46
Найти все положительные целые числа $n$такие, что $\frac{2017^n -1}{15^n -1} $ быть квадратным.


P / S-1: Я доказал $n\equiv\m1\pmod{24}$, но принимая модуль {17,37,73} в отчаянии.
P/S-2:

 Профиль  
                  
 
 Re: $\frac{2017^n -1}{15^n -1} $
Сообщение22.03.2017, 16:25 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5143
Странная задача. $2017^n-1$ не обязано делиться на $15^n-1$. А если речь идёт о рациональных квадратах, то логичнее было бы рассматривать целочисленое произведение $(2017^n-1)(15^n-1)$, которое является квадратом тогда же, когда и дробь. На форуме уже была подобная задача с элементарным решением:
topic6414.html

 Профиль  
                  
 
 Re: $\frac{2017^n -1}{15^n -1} $
Сообщение22.03.2017, 17:11 


31/05/14
46
Но, к сожалению, подход Szalay и Florian Luca и то, что вы сделали при решении вышеупомянутой проблемы, не работает над этой проблемой, поскольку $n$ является нечетным, а тип уравнения pell у нас есть, то же самое .. ..

 Профиль  
                  
 
 Re: $\frac{2017^n -1}{15^n -1} $
Сообщение22.03.2017, 18:43 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5143
Navid, статью Walsh (есть по ссылке) смотрели?

 Профиль  
                  
 
 Re: $\frac{2017^n -1}{15^n -1} $
Сообщение22.03.2017, 21:32 


31/05/14
46
Да, я снова обратился к нему прямо сейчас, как я уже говорил в этой проблеме, $ n$ является нечетным, просто основное обоснование Walsh статей не работает!

 Профиль  
                  
 
 Re: $\frac{2017^n -1}{15^n -1} $
Сообщение27.03.2017, 22:16 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5143
Navid в сообщении #1201716 писал(а):
P / S-1: Я доказал $n\equiv\m1\pmod{24}$, но принимая модуль {17,37,73} в отчаянии.

Вычислением символов Якоби $(2017^n-1)(15^n-1)$ по различным простым модулям, получаем:
  • модуль 5 даёт $n\equiv 1\pmod4$;
  • модули $31,41$ дают $n\equiv 1\pmod{40}$;
  • модули $19,37$ дают $n\equiv 1\pmod{9}$;
  • модуль $271$ даёт $n\equiv 1\pmod{270}$.
Итого имеем $n\equiv 1\pmod{1080}$.
Можно продолжать и дальше, и конца здесь не видно. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: $\frac{2017^n -1}{15^n -1} $
Сообщение28.03.2017, 09:20 


31/05/14
46
Большое спасибо!,
Эта проблема кажется труднее, чем любой другой случай уравнения $(a^n -1)(b^n -1)=x^2$, поскольку я пытался использовать методы, реализованные в существующей литературе, но все они не работали.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group