2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 О непротиворечивости арифметики, теореме Гёделя, etc.
Сообщение09.03.2017, 14:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3389
kp9r4d в сообщении #1169500 писал(а):
Мне кажется, вы слишком платонист и именно поэтому столь сильно упрощаете ситуацию.

kp9r4d в сообщении #1169599 писал(а):
Удивляет, опять же, потому, что это серьезный контраргумент против различного платонизма и математического реализма и по сути сильно компрометирует (по крайней мере для меня) такие несепарабельные конструкции как "модель", "истинность", "стандартная модель натуральных чисел", ...

kp9r4d в сообщении #1169599 писал(а):
получается "стандартная модель натуральных чисел" - это вообще нечто совсем эфимерное и спекулятвное, что никакими логическими финитарными средствами не потрогаешь.

Доказательство теоремы Гёделя о неполноте существенным образом использует содержательные свойства натуральных чисел "стандартной модели". Так что пытаться обойти представление о натуральных числах, которое формируются с детских лет и далее развивается постепенно до аксиом Пеано (с аксиомой индукции в логике второго порядка), просто невозможно. Говорить о теореме Гёделя и отрицать "платоническую реальность" натуральных чисел бессмысленно. Если у кого-то нет представления о "стандартной модели" натуральных чисел, то он просто не поймет доказательство теоремы Гёделя (а может и её формулировку!). Множество натуральных чисел существует (и единственно с точностью до изоморфизма). Это неформальная аксиома (и теорема). Теорема Гёделя - неформальное метаматематическое утверждение, и её доказательство - такое же. Её можно формализовать в рамках какой-либо формальной теории, но это ничего не добавит к её убедительности. Потому что возникнут вопрос, а какое отношение эта формализация имеет к тому, чт мы подразумеваем под теоремой Гёделя. Итог: все нельзя формализовать в математике, всегда будет оставаться содержательный неформализованный метауровень!

Кстати, в который раз вспоминаю Кронекера, который сказал: "Бог создал целые числа, всё остальное - творение человека".

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять о теореме Геделя
Сообщение16.03.2017, 18:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3389
Возник такой вопрос, в продолжение моего поста http://dxdy.ru/post1198430.html#p1198430. Часто при формулировке теоремы Гёделя делается оговорка, мол, если арифметика Пеано не противоречива. Но как она может быть противоречива, если она имеет модель в виде обычных натуральных чисел? Оговорка получается лишней. А если кто-то сомневается в существовании системы натуральных чисел, то ему и теорема Гёделя вовсе не теорема. Ибо в ней эти числа существенно используются при доказательстве. В общем, не пойму я смысла этой оговорки. Может я чего-то не понимаю?

Вот оговорка про непротиворечивость теории множеств мне понятна. Кто их знает, эти множества, тем более прецеденты были. Если противоречивость вскроется, нужно будет подправить аксиомы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять о теореме Геделя
Сообщение16.03.2017, 18:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4078
Padawan в сообщении #1200954 писал(а):
Но как она может быть противоречива, если она имеет модель в виде обычных натуральных чисел?
А нам точно известно, что это именно модель, а не просто интерпретация?

-- 16.03.2017, 19:48 --

Padawan в сообщении #1200954 писал(а):
Ибо в ней эти числа существенно используются при доказательстве.
Существенно, но всё-таки ограниченно, так что доказательство можно аксиоматизировать (в другой аксиоматике, не Пеано).

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять о теореме Геделя
Сообщение16.03.2017, 18:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3389
В чем разница между моделью и интерпретацией? В моем понимании модель для арифметики Пеано - это множество, на котором заданы операции $0,s,+,\cdot$, удовлеторяющие тем соотношениям, которые приняты в АП за аксиомы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять о теореме Геделя
Сообщение16.03.2017, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18791
Уфа
Ну да, модель теории — это интерпретация, в которой все теоремы теории истинны, и если теория аксиоматизирована каким-то множеством аксиом, достаточно, чтобы в этой интерпретации все они были истинны, как вы написали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять о теореме Геделя
Сообщение16.03.2017, 23:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4078
Вот и возникает вопрос ­— как проверить, что аксиомы в стандартной интерпретации истинны? Аксиом много, натуральных чисел тем более...

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять о теореме Геделя
Сообщение17.03.2017, 05:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3389
warlock66613
Аксиомы Пеано. См., например Ландау Основы анализа. Там из них выводятся все свойства натуральных чисел. Какая именно из аксиом у Вас вызывает сомнение? Аксиома индукции? Да даже не в этом дело. Натуральные числа определяется как множество, с выделенным элементом и операцией следования, удовлетворяющих аксиомам Пеано. Существование натуральных чисел постулируется. На них основана вся математика, а не только теорема Геделя. Без натуральных чисел Вы даже не сможете определить что такое формула в каком либо формальном исчислении. В той же АП. Да даже что такое конечный набор символов алфавита.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять о теореме Геделя
Сообщение17.03.2017, 10:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4078
Padawan в сообщении #1201077 писал(а):
Без натуральных чисел Вы даже не сможете определить что такое формула в каком либо формальном исчислении. В той же АП. Да даже что такое конечный набор символов алфавита.
Смогу. "Настоящие" натуральные числа можно заменить объектами из всё той же арифметики Пеано или любой другой аксиоматизации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять о теореме Геделя
Сообщение17.03.2017, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
18791
Уфа
Ну, тут не так всё просто, т. к. у арифметики Пеано есть нестандартные модели с «числами», идущими после всех стандартных, и мы, разумеется, никак не можем отделить их средствами языка арифметики от стандартных, и если начнём определять вывод, у нас возникнут в такой модели выводы со счётным (и более, если мощность модели больше) числом шагов. И формулы с термами тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: О непротиворечивости арифметики, теореме Гёделя, etc.
Сообщение17.03.2017, 21:06 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8621
 i  Выделено из темы «Опять о теореме Геделя»

 Профиль  
                  
 
 Re: О непротиворечивости арифметики, теореме Гёделя, etc.
Сообщение17.03.2017, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4078
Ну не знаю тогда. Есть интуитивное чувство, что ответ на загаданную Padawan загадку лежит за пределами теорий первого порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: О непротиворечивости арифметики, теореме Гёделя, etc.
Сообщение18.03.2017, 05:22 
Аватара пользователя


16/07/14
810
Москва
Может быть, проблема в том, что теоремой Гёделя можно называть как "настоящую" теорему арифметики $\exists \varphi: \varphi \leftrightarrow \neg \Box_{PA} \varphi$ (а 2й $Cons_{PA} \rightarrow \neg \Box_{PA} \ulcorner Cons_{PA}\urcorner$), так и неформальную "если арифметика непротиворечива, то она неполна"?

Формально у нас есть три варианта:
1) $PA$ непротиворечива, и у нее есть модель, соответствующая нашей "интуиции" про стандартную модель: оговорка не нужна
2) $PA$ противоречива: оговорка нужна
3) $PA$ непротиворечива, но у нее есть только "нестандартные" модели: всё очень плохо (непонятно, что вообще "значат" все наши формальные результаты про выводимость)

Тот, кто говорит "арифметика неполна" "прав" (на неформальном уровне) в 1м случае, тот, кто говорит "если непротиворечива, то неполна" - в 1 и 2.

Интересный вопрос, что мы будем делать, если окажется, что $PA \vdash \neg Cons_{PA}$...

 Профиль  
                  
 
 Re: О непротиворечивости арифметики, теореме Гёделя, etc.
Сообщение18.03.2017, 06:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3389
Думаю, что третий вариант невозможен. Т.к. если есть хотя бы одна модель, то в ней найдется подмножество, являющееся стандартной моделью. А именно, множество $0,0',0'',0''',...$, которое можно формально определить как наименьшее по включению множество, содержащее нуль и замкнутое относительно операции следования (правда на языке логике второго порядка). Но я еще раз говорю, если запрещено использовать натуральные числа, то что вообще разрешено?

 Профиль  
                  
 
 Re: О непротиворечивости арифметики, теореме Гёделя, etc.
Сообщение18.03.2017, 06:46 
Аватара пользователя


16/07/14
810
Москва
Padawan в сообщении #1201408 писал(а):
А именно, множество $0,0',0'',0''',...$, которое можно формально определить как наименьшее по включению множество, содержащее нуль и замкнутое относительно операции следования (правда на языке логике второго порядка).
Мало что знаю о логике второго порядка. Там будут какие-то принципиальные отличия от аналогичного определения в $ZF$ ($\mathbb{N}$ - наименьшее индуктивное множество)?
Если мы вводим какую-то метатеорию, в которой будем отличать стандартные модели от нестандартных, то что нас спасет от "нестандартных" моделей этой метатеории?

В конечном итоге, видимо, разрешено использовать "интуицию" про операции со строчками.

Что значит "запрещено использовать натуральные числа"? Формализация неформальных утверждений - операция неформальная:-) И она опирается на неформальную интуицию "стандартной модели". А получившуюся штуку уже можно доказывать формально.

 Профиль  
                  
 
 Re: О непротиворечивости арифметики, теореме Гёделя, etc.
Сообщение24.03.2017, 03:53 


31/12/15
16
Непротиворечивость арифметики простым глазом не видна. Никакой физический опыт нас не убеждает в существовании числа $10^{10^{100}}$. По поводу единственности: в настоящее время придуманы содержательные комбинаторные утверждения о натуральных числах, не доказуемые и не опровержимые в ZF (содержательные в отличии от малонаглядных неразрешимых формул Гёделя), их в огромном количестве производит Харви Фридман и выкладывает на FOM
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/
вот его свежая похвальба
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/201 ... 20392.html
Таким образом, никакой единственности натурального ряда больше нет - есть разные натуральные ряды, в которых выполнены разные комбинаторные утверждения, как есть разные геометрии. Как вообще устроен "реальный" натуральный ряд (ряд километров, уходящий в космос), мы мало знаем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group